Высота треугольника

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Высота треугольника – опущенный из вершины треугольника перпендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение.

Свойства высоты треугольника:

Если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник — равнобедренный
В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному
В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащих на двух сторонах, непараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины этой стороны всегда можно провести окружность
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника

Ортоцентр треугольника

Все три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Для того, чтобы найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке).

Расположение ортоцентра (точка О) определяется видом треугольника.

У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится в плоскости треугольника. (Рис.1).

У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла (Рис.2).

У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится за плоскостью треугольника (Рис.3).

У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Свойства оснований высот треугольника

Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
Другая формулировка последнего свойства:
Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Задача на применение теоремы Пифагора.

Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см.

Найти: Стороны треугольника ABC. Решение.

1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD2+BD2=BC2

CD2+AD2=AC2

поскольку CD=6

36+BD2=BC2

36+AD2=AC2

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5)2=BC2

36+AD2=AC2

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой — равенство не будет нарушено. Получим:

36+36+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC2+BC2=AB2

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид:

AC2+BC2=(AD+BD)2

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

Они имеют общую часть AC2+BC2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5)2+AD2=(AD+AD+5)2

72+AD2+10AD+25+AD2=4AD2+20AD+25

-2AD2-10AD+72=0

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

х₁=-3,5

x₂=4

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

AD=4

Соответственно

BD = AD + 5 = 9

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

BC = корень из (117).

Треугольник (Трикутник)Описание курса Сумма углов треугольника

Примечания

Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity.
Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 33, figure 40, §Exercise 3.2
Сафронова Вера Николаевна,. . Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Дата обращения 19 июля 2017.
Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. С. 9, п. 16. Высоты треугольника. Теорема Архимеда.
Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §175.
Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. . Дата обращения 10 апреля 2020.
Bogomolny, Alexander, . Проверено 17 ноября 2019.
Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §176
Nathan Altshiller-Court. «College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle». Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 94, §177. Theorem.

Об этой статье

Соавтор(ы):

Генеральный подрядчик

Соавтор(ы): . Марк Спелман — генеральный подрядчик из Техаса. Профессионально занимается строительством с 1987 года. Количество просмотров этой статьи: 59 159.

Категории: Потолок, стены и пол

English:Use the 3 4 5 Rule to Build Square Corners

Español:diseñar esquinas usando la proporción 3 4 5 del teorema de Pitágoras

Italiano:Creare Angoli Retti Usando la Proporzione 3 4 5 del Teorema di Pitagora

Français:utiliser la méthode 3 4 5 pour construire des angles droits

Bahasa Indonesia:Menggunakan Kaidah 3 4 5 untuk Membuat Sudut Siku Siku

Nederlands:De 3 4 5 regel gebruiken om haakse hoeken te bepalen

العربية:استخدام قانون 3 4 5 لصنع زوايا مربعة

Deutsch:Die 3 4 5 Regel nutzen um rechtwinklige Ecken zu konstruieren

中文:用3‐4‐5方法构建直角

ไทย:ใช้กฎ 3 4 5 ในการสร้างมุมของสี่เหลี่ยม

Türkçe:Kare Köşeler Oluşturmak İçin 3 4 5 Kuralı Nasıl Kullanılır

Печать

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Свойства оснований высот треугольника

Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
Другая формулировка последнего свойства:
Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.

Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:

Высота совпадает с медианной и биссектрисой
Делит основание на две равные части.

Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4

Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.

Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{25-16}=3$$

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.

Через площадь треугольника

Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.

Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.

Формула площади треугольника: $$S={1\over2}*bh$$, где b – это сторона треугольника ,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:

$$h=2*{S\over b}$$

Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15\over5}=6$$

Через тригонометрическую функцию

Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

$$BH=BC*\cos (60\unicode{xb0})=8*{1\over2}=4$$

Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
		Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
		Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла
		Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача. В ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE треугольнику ABC.

Рис.5

Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны в силу (угол C общий). Следовательно,

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

(рис.5) вытекает важное следствие. Следствие 1

Следствие 1.

Определение 3. Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат исходного треугольника (рис 6).

Рис.6

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2. Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Рис.7

Тогда справедливы равенства

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство. Воспользовавшись следствием 2, получаем:

что и требовалось доказать.

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

Высоты треугольника

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E{\displaystyle A,\ B,\ C,\ E}, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

EA→⋅BC→+EB→⋅CA→+EC→⋅AB→={\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

AB→=EB→−EA→,BC→=EC→−EB→,CA→=EA→−EC→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

Последнее утверждение также является следствием теорем о вершинах подерного треугольника (прямой и обратной)

Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
Если О — центр описанной окружности ΔABC, то OH→=OA→+OB→+OC→{\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}
|OH|=9R2−(a2+b2+c2){\displaystyle |OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}} , где R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности; a,b,c{\displaystyle a,b,c} — длины сторон треугольника.

,
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
Следствия теоремы Гамильтона:
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
- Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1. Высотой треугольника называют , содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Рис.1

На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.

Для высоты , проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Длина высоты , опущенной на , является между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Рис.2

Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

В силу треугольники BCD и ACD . Следовательно,

Таким образом, длина отрезка CD является между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Задача на подобие треугольников.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Решение.

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

DC2=AD*BD

DC2=9*16

DC=12 см

История

Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.
В косвенной форме и в явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410-485) — комментатора Евклида.
Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой.
Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла (William Chapple (surveyor) (англ.)русск.) (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год).
Сам термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом (W. H. Besant (англ.)русск.) в работе «Конические сечения, исследованные геометрически (1869)» () .

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

Высоты треугольника

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
Если О — центр описанной окружности ΔABC, то OH→=OA→+OB→+OC→{\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}
|OH|=9R2−(a2+b2+c2){\displaystyle |OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}} , где R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности; a,b,c{\displaystyle a,b,c} — длины сторон треугольника.

,
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
Следствия теоремы Гамильтона:
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
- Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
У равностороннего треугольника все три высоты равны.