Значение слова «единица»

В словаре Даля

ж. один, первый по счету, и | числительный знак, выражающий
число это, 1; | всякая вещь или предмет отдельно, по себе взятый; всякая
мера, принятая в этом случае для измеренья чего-либо; считая расстоянье
саженями, одна сажень будет единицею; считая его верстами, одна верста
единица и пр. В арифметич. счет и самые знаки до девяти включительно,
назыв. единицами. Единицею, единою, единощи, единожды, единым, однажды,
однова, один раз, одним разом; | некогда, когда-то. Единичный, к единице
относящийся, ее составляющий; соединенный с чем нераздельно или
односущий. Единичник м. составляющий с кем или с чем единицу, одно
целое. Единичность ж. свойство или состояние единицы, единичного, не
множественного. Единый или едный, один, или единственный. Единый тут, а
другой там. Един по единому ушли, один за другим. Ни единого гроша нет.
Ни едною долей не оделил нас, ничего не дал. Бог един, да совесть не у
всех едина. Ни единой денежки не дам. Наедине, на одних или глаз на
глаз, самдруг, вдвоем. Едино, все едино, одно или равно, одно и то же. В
сложении слов. то же, что одно и означает одиночество, отсутствие
двойственного или множественного. Не все едино, что хлеб, что мякина. Не
для чего иного прочего другого, а для единого единства и дружного
компанства. Все едино, что хлеб, что рябина: оба кислы. Единец м.
одинец, единый, единственный в своем роде, чему нет дружки или
подобного. Единость ж. единство ср. свойство единого, составляющего одно
целое; единодушие, единомыслие. Единство этого ученья противоположно
двойственности другого. Единство стремлений наших вам известно.
Единствовать, быть единым, одним, нераздельным.

Для комплексных чисел

i{\displaystyle i} на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i{\displaystyle i} или j{\displaystyle j}. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)={\displaystyle f(x)=0} с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x2+1={\displaystyle x^{2}+1=0} не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i»

Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i{\displaystyle i} через радикал (как −1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i{\displaystyle i}  — это одно из решений уравнения

x2+1=,{\displaystyle x^{2}+1=0,}   или   x2=−1.{\displaystyle x^{2}=-1.}

И тогда его вторым решением уравнения будет −i{\displaystyle -i}, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i{\displaystyle i} повторяются в цикле:

…{\displaystyle \ldots }

i−3=i{\displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{\displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{\displaystyle i^{-1}=-i}

i=1{\displaystyle i^{0}=1}

i1=i{\displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{\displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{\displaystyle i^{4}=1}

…{\displaystyle \ldots }

Что может быть записано для любой степени в виде:

i4n=1{\displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{\displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i.{\displaystyle i^{4n+3}=-i.}

где n — любое целое число.

Отсюда: in=inmod4{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}
где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из следует, что число ii{\displaystyle i^{i}} является вещественным:

ii=e(iπ2)i=ei2π2=e−π2=0,20787957635…{\displaystyle i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots }.

Точнее, в комплексном анализе : xy=exp⁡(y⋅Ln⁡x){\displaystyle x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)} является многозначной функцией, поэтому

ii=e−π(1+4n)2{\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}}, где n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }.

Также верно, что (−i)(−i)=ii{\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i!=Γ(1+i)≈0.4980−0.1549i.{\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}

Также

|i!|=πsinh⁡(π)≈0.521564….{\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564….}

Корни из мнимой единицы

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

uk=cos⁡π2+2πkn+i sin⁡π2+2πkn,k=,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

i=cos⁡ π2+i sin⁡ π2{\displaystyle i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}}

В частности, i={1+i2; −1−i2}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}} и i3={−i; i+32; i−32}{\displaystyle {\sqrt{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

uk=e(π2+2πk)in,k=,1,…,n−1{\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,…,n-1}

К вопросу об интерпретации и названии

В словаре Д.Н. Ушакова

ЕДИНИ́ЦА, единицы, ·жен.1. Цифра, изображающая число один (1).| Отметка, самый низший балл в знач. «худо» (·дорев. ). Ученик получил единицу по арифметике.2. перен. О ком-чем-нибудь, имеющем значение, ант. нуль» title=’что такое нуль, значение слова нуль в словаре Ушакова’>нуль. «Мы почитаем всех нулями, а единицами себя.» Пушкин. «Он что-нибудь, он какая-то единица, у него есть звание, есть вид.» А.Островский.3. только мн. Последняя цифра многозначных чисел (мат.). При сложении двузначных чисел единицы складываются с единицами, десятки с десятками.4. Величина, которою измеряются другие однородные величины (·книж. ). Единицами меры в физике являются сантиметр, грамм, секунда. Единицей силы тока служит ампер. Монетная единица.5. Отдельная, обособленная часть среди подобных (·книж. ). Наиболее крупной административной единицей в России была губерния. В состав этого треста входят несколько заводов в качестве самостоятельных хозяйственных единиц. Эскадра состояла из десяти боевых единиц — линейных кораблей и крейсеров.6. Отдельное лицо, отдельный член общества (·книж. ). «Нравственность единицы — одно, а нравственность государства — другое.» Достоевский.| только мн. Немногие (·книж. ). Общественная кампания прошла дружно, уклонились только единицы.