Значение слова «сфера»

В словаре Даля

ж. греч. шар, шарообразное тело или пустота, или изображенье
его на бумаге; в приложении к небесным телам: шар обращаемый на оси
своей, представляющий землю нашу, или небесную твердь, с означеньем всех
воображаемых кругов. Армилярная сфера, земля наша, изображенная шаром. |
Сфера, атмосфера, расстоянье околицы какого-либо тела, простор, на
который сягают силы, влиянье, или связь этого тела, круг действия. Сфера
солнечного притяженья. Сфера силы электричества. Каждый человек в своей
сфера хорош, в своем кругу. Сфера болотных испарений, предел расширенья
их. | Вообще, известный, чем-либо ограниченный простор духа. Сфера
добра, — зла. Иные полагают, что духовный мир разделен на сферы, по
нравственым качествам жителей. Сферический, к сфере относящ.;
шарообразный, -видный, шар. Сфероид м. или -дальное тело, шар, сжатый
немного с концов оси. Земля, говоря строго, не шар, а сфероид. Сферонит,
ископаемая, допотопная окаменелость шарообразного слизня. Сферосадерит,
ископаемое, углекислая закись железа, в шариках.

В словаре Словарь иностранных слов

ы, ж.

1. Замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от центра. Сферический — в форме сфе-ры. Небесная сфера (астр.) — воображаемая сфера произвольного (но достаточно большого) радиуса, на которую проецируют с Земли небесные светила.||Ср. СФЕРОИД» title=’СФЕРОИД, СФЕРОИД это, что такое СФЕРОИД, СФЕРОИД толкование’>СФЕРОИД.

2. Область, пределы распространения чего-нибудь С. деятельности. Работать в сфере бизнеса. С. обслу-живания (весь круг бытовых услуг населению).||Ср. РАДИУС» title=’РАДИУС, РАДИУС это, что такое РАДИУС, РАДИУС толкование’>РАДИУС.

3. Среда, общественное окружение. Высшие сферы (о правящих кругах общества).

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L=R⋅arccos⁡(cos⁡θ1⋅cos⁡θ2+sin⁡θ1⋅sin⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

Однако, если угол θ{\displaystyle \theta } задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L=R⋅arccos⁡(sin⁡θ1⋅sin⁡θ2+cos⁡θ1⋅cos⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

В этом случае θ1{\displaystyle \theta _{1}} и θ2{\displaystyle \theta _{2}} называются широтами, а ϕ1{\displaystyle \phi _{1}} и ϕ2{\displaystyle \phi _{2}} долготами.

Определение слова «Сфера» по БСЭ:

Сфера — Сфера (от греч. sphбira — шар)1) замкнутая поверхность. 2) Область действия, пределы распространения чего-либо (например, Сфера действия тяготения). 3) Обстановка, среда, общественное окружение. См. также Сфера материального производства, Сфера обслуживания.

Сфера — Сфера (математический)замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра С.). Отрезок, соединяющий центр С. с какой-либо её точкой (а также его длина), называется радиусом С. Площадь поверхности С. S = 4&pi.RІ, где R — радиус С. Часть пространства, ограниченная С. и содержащая её центр, называется шаром. объём шара V = 4/3&pi.Rі. С точки зрения аналитической геометрии С. является центральной поверхностью 2-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид (х — а)2 + (y — b)2 + (z — c)2 = RІ,здесь а, b, с — координаты центра С. О геометрии и тригонометрии на С. см. Сферическая геометрия и Сферическая тригонометрия.25/2501234.tif

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2=R2,{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},}

где (x,y,z){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} — координаты центра сферы, R{\displaystyle R} — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x,y,z){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}:

{x=x+R⋅sin⁡θ⋅cos⁡ϕ,y=y+R⋅sin⁡θ⋅sin⁡ϕ,z=z+R⋅cos⁡θ,{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}

где θ∈,π{\displaystyle \theta \in } и ϕ∈,2π).{\displaystyle \phi \in [0,2\pi ).}

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Что такое социальная сфера

Существует несколько определений социальной сферы.

Социальная сфера жизни общества представляет собой систему, организованную для удовлетворения материальных и духовных человеческих потребностей.

Она включает в себя:

• Образовательные и воспитательные учреждения (детские сады, школы, кружки по интересам, колледжи, университеты);

• Организации, занимающиеся медицинским обслуживанием (больницы, госпитали, поликлиники, медицинские центры, лаборатории);

• Культурные организации (музеи, дворцы и дома культуры, парки культуры и отдыха, цирки, театры, концертные залы, ботанические сады, галереи);

• Спортивные организации (спортивные клубы, футбольные и хоккейные лиги, спортивные школы, секции, центры);

• Социальное обеспечение (организации, оказывающие материальную помощь старикам, лицам, лишившимся трудоспособности, матерям-одиночкам, безработным, лицам без определенного места жительства);

• Общественное питание;

• Коммунальное обслуживание — ряд служб по хозяйственному обслуживанию района, города, области (водоканал, городской транспорт, жилищно-коммунальное хозяйство, электростанции);

• Пассажирский транспорт, связь.

Таким образом, благодаря многочисленным организациям, социальная сфера общественной жизни обеспечивает условия труда и отдыха, заботится о физическом развитии человека, его здоровье, образовании.

Согласно другому подходу, социальная сфера представляет демографические группы населения, отличающиеся между собой по возрасту, полу, личным особенностям. В этом случае социальная сфера общества включает в себя: стариков, детей, подростков, мужчин, трудоспособных граждан, женщин, пенсионеров.

Третье определение универсальное: социальная сфера общества – это поле деятельности людей, объединенных в различные социальные общности. Эти группы различаются между собой уровнем образования, дохода, доступом к власти.

Социальная сфера и благосостояние граждан страны

В зависимости от того, на какой ступени развития находится социально-культурная сфера страны, можно получить представление о благосостоянии граждан страны.

Именно в этой области находятся все отрасли, имеющие важное значения для качественной жизнедеятельности людей:

здравоохранение

Важно качество бесплатного медицинского обслуживания и количество бесплатных больниц и клиник по сравнению с платным медицинским обслуживанием;

образование. Здесь имеет значение доступность и уровень бесплатного школьного и высшего образования для всех слоев населения;

социальное обеспечение

Это социальные программы, которые направлены на помощь малоимущим людям или многодетным семьям

культура. Посещение объектов культуры с предметами достояния народа должно быть доступно всем слоям населения. Здесь так же важна защита интеллектуальной собственности деятелей культуры и достойная оплата их труда и творчества;

спорт и физическое воспитание. Главной задачей в этой области является поддержание здоровья и красоты, увеличение продолжительности жизни населения.

Таким образом, если во внутренней политике государства социальная сфера занимает одно из ведущих мест, то можно сказать о процветании населения страны.

Какие функции выполняет типичная семья

Для того чтобы раскрыть тему, что такое семья необходимо упомянуть о её функциях. Не каждый человек желает заводить семью и причины этому бывают разные, но главная из них это незнание функций семьи. Выходит, что обычный человек не понимает, для чего ему нужен брак, а потому расскажем о самых важных функциях типичной семьи:

основным функционалом семьи является продолжение рода, ведь большая часть людей хочет оставить частицу себя в этом мире

В жизни случается так, что женщина может родить ребёнка и не выходить замуж, а что самое важное вообще не иметь никаких отношений с партнёром. Вот только традиционно принято рожать детей в полноценной семье, где существует любовь и взаимоуважение супругов;
ведение не только общего хозяйства, но и его создание, а также накопление материальных благ

Ни для кого не будет секретом, что в одиночку тяжело не только зарабатывать деньги, но и мотивировать себя на великие свершения. Создавать и накапливать материальные блага вдвоём намного легче, ведь каждый из супругов может поддержать морально, а также способен вносить личную лепту в семейный бюджет. Когда люди создают семью, им намного быстрей удаётся купить жильё и удовлетворить повседневные потребности, как в еде, так и в комфортном отдыхе. Немаловажным фактором является распределение работы по дому, что в результате облегчает жизнь супругов;
функция под названием воспитание. Если ребёнок родился в благополучной семье, его родители стараются правильно воспитывать, и они много уделяют этому времени. Это способствует правильному развитию ребёнка, а также прививает ему необходимых ценностей. В результате дети вырастают полноценными членами общества с минимальным количеством страхов перед взрослой жизнью, и они имеют меньше комплексов;
сохранность и вовлечение в семейные традиции. Эта функция необходима для крепкой связи между разными (возрастными) поколениями, а также в кругу семьи.

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2=R2,{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},}

где (x,y,z){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} — координаты центра сферы, R{\displaystyle R} — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x,y,z){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}:

{x=x+R⋅sin⁡θ⋅cos⁡ϕ,y=y+R⋅sin⁡θ⋅sin⁡ϕ,z=z+R⋅cos⁡θ,{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}

где θ∈,π{\displaystyle \theta \in } и ϕ∈,2π).{\displaystyle \phi \in [0,2\pi ).}

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Значение слова Сфера по словарю Ушакова:

СФЕРА сферы, ж. . 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в к-рых существует, действует, развивается, применяется что-н. (книжн.). Смотря по свойству поэтического таланта и по степени его выработанности, сфера, доступная художнику, может суживаться или расширяться. Дбрлбв (о Гончарове). …Полная победа социалистической системы во всех сферах народного хозяйства является теперь фактом. Сталин . Сфера деятельности. Научный интерес в определенной сфере знаний. Половая сфера человека. В сфере пулеметного огня. 3. перен. Среда, общественное окружение, обстановка (книжн.). Иван Ильич наш слыл, по крайней мере, любезником в своей симбирской сфере. Лермонтов . Обаяние и чад бальной сферы, гром музыки… не дадут ему уснуть целую ночь. Гончаров . В своей сфере. || только мн., со словом высший или без него. Круг влиятельных людей высших, привилегированных слоев общества (книжн. устар.). О ней говорили все, даже в высших сферах. Тургенев . Слухи из сфер. музыка сфер — см. музыка. Небесная сфера (астр.) — видимый небосвод, небо. Сфера влияния (полит.) — территория или часть территории полуколониальной страны. фактически подчиненная в экономическом и политическом отношении империалистическому

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L=R⋅arccos⁡(cos⁡θ1⋅cos⁡θ2+sin⁡θ1⋅sin⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

Однако, если угол θ{\displaystyle \theta } задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L=R⋅arccos⁡(sin⁡θ1⋅sin⁡θ2+cos⁡θ1⋅cos⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

В этом случае θ1{\displaystyle \theta _{1}} и θ2{\displaystyle \theta _{2}} называются широтами, а ϕ1{\displaystyle \phi _{1}} и ϕ2{\displaystyle \phi _{2}} долготами.

Свойства

Сфера является поверхностью вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.
Сфера является поверхностью шара. Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, также из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Поэтому тела сферической формы встречаются в природе, например, маленькие капли воды при свободном падении приобретают сферическую форму именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения.

Объём цилиндра, объём вписанного в него шара, касающегося обоих его оснований, и объём конуса, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3 : 2 : 1.

«Кубок Кеплера»: модель Солнечной системы из пяти правильных многогранников и их вписанных и описанных сфер.

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

(x−x)2+(y−y)2+(z−z)2=R2,{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},}

где (x,y,z){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} — координаты центра сферы, R{\displaystyle R} — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x,y,z){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}:

{x=x+R⋅sin⁡θ⋅cos⁡ϕ,y=y+R⋅sin⁡θ⋅sin⁡ϕ,z=z+R⋅cos⁡θ,{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}

где θ∈,π{\displaystyle \theta \in } и ϕ∈,2π).{\displaystyle \phi \in [0,2\pi ).}

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Значение в естествознании

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. У древних греков возникло представление о вращающейся хрустальной сфере, к которой прикреплены звёзды

Также в среде древнегреческих учёных появились космологические модели со сферической Землёй и прикреплёнными к вращающимся сферам из эфира планетами. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (лат. De revolutionibus orbium coelestium).

Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью». Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (лат. Mysterium Cosmographicum), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами, являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений). Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге показал, что движение комет, в частности, Большой кометы 1577 года, несовместимо с существованием твердых небесных сфер. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

В словаре Ожегова

СФЕРА, -ы, ж. 1. Область, пределы распространения чего-н. С. деятельности. С. влияния^ 2. Среда, общественное окружение. В своей сфере. Высшие сферы (о правящих, аристократических кругах). 3. Замкнутая поверхность, все точки к-рой равно удалены от центра; поверхность и внутреннее пространство шара (спец.). * В сфере чего, предлог с род. п. (книжн.) — в деле (во 2 знач.), в области чего-н.; в кругу чьей-н. деятельности. Хорошо осведомлен в сфере судопроизводства. Успехи в сфере науки. Небесная сфера (спец.) — воображаемая вспомогательная сфера (в 3 знач.) произвольного радиуса, на к-рую проецируются небесные светила. Сфера услуг или сфера обслуживания — весь круг бытовых услуг населению. || прил. сферический, -ая, -ое (к 3 знач.).

В словаре Д.Н. Ушакова

СФЕ́РА, сферы, ·жен. ·греч. sphaira-шар.1. То же, что шар (мат.).2. перен. Область, место, пределы, в которых существует, действует, развивается, применяется что-нибудь (·книж. ). «Смотря по свойству поэтического таланта и по степени его выработанности, сфера, доступная художнику, может суживаться или расширяться.» Добролюбов (о Гончарове). «…Полная победа социалистической системы во всех сферах народного хозяйства является теперь фактом.» Сталин. Сфера деятельности. Научный интерес в определенной сфере знаний. Половая сфера человека. В сфере пулеметного огня.3. перен. Среда, общественное окружение, обстановка (·книж. ). «Иван Ильич наш слыл, по крайней мере, любезником в своей симбирской сфере.» Лермонтов. «Обаяние и чад бальной сферы, гром музыки… не дадут ему уснуть целую ночь.» Гончаров. В своей сфере.| только мн., со словом «высший» или без него. Круг влиятельных людей высших, привилегированных слоев общества (·книж. ·устар. ). «О ней говорили все, даже в высших сферах.» А.Тургенев. Слухи из сфер.• Музыка сфер — см. музыка. Небесная сфера (астр.) — видимый небосвод, небо. Сфера влияния (полит.) — территория или часть территории полуколониальной страны, фактически подчиненная в экономическом и политическом отношении империалистическому *****

Значение в естествознании

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. У древних греков возникло представление о вращающейся хрустальной сфере, к которой прикреплены звёзды

Также в среде древнегреческих учёных появились космологические модели со сферической Землёй и прикреплёнными к вращающимся сферам из эфира планетами. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (лат. De revolutionibus orbium coelestium).

Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью». Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (лат. Mysterium Cosmographicum), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами, являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений). Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге показал, что движение комет, в частности, Большой кометы 1577 года, несовместимо с существованием твердых небесных сфер. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L=R⋅arccos⁡(cos⁡θ1⋅cos⁡θ2+sin⁡θ1⋅sin⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

Однако, если угол θ{\displaystyle \theta } задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L=R⋅arccos⁡(sin⁡θ1⋅sin⁡θ2+cos⁡θ1⋅cos⁡θ2⋅cos⁡(ϕ1−ϕ2)).{\displaystyle L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

В этом случае θ1{\displaystyle \theta _{1}} и θ2{\displaystyle \theta _{2}} называются широтами, а ϕ1{\displaystyle \phi _{1}} и ϕ2{\displaystyle \phi _{2}} долготами.

Значение в естествознании

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. У древних греков возникло представление о вращающейся хрустальной сфере, к которой прикреплены звёзды

Также в среде древнегреческих учёных появились космологические модели со сферической Землёй и прикреплёнными к вращающимся сферам из эфира планетами. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (лат. De revolutionibus orbium coelestium).

Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью». Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (лат. Mysterium Cosmographicum), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами, являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений). Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге показал, что движение комет, в частности, Большой кометы 1577 года, несовместимо с существованием твердых небесных сфер. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.