Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Что можно назвать прямым

Для того чтобы разобраться со значением слова «прямая», вспомним, как мы используем его в обычной речи. Затем пройдемся по каждому пункту отдельно. Итак, простым перечислением можно назвать следующие фразы с данным словом:

прямая дорога;
прямой разговор;
прямой угол;
прямая зависимость;
прямая линия;
прямое значение;
прямая речь;
прямой рейс;
прямое направление;
и так далее.

В каждом случае объяснение значения будет совершенно различным, несмотря на использование во всех словосочетаниях одного и того же слова. Например, прямое направление – это просто указание на то, в какую сторону нужно двигаться. А прямой рейс – это сообщение о том, что движение состоится из одного пункта в другой без остановок и изменений маршрута.

Как выстроить нужный угол без транспортира

Иногда в обычной жизни необходимо применить или вычислить точное значение угла. Существует несколько простых способов для этого.

Если взять лист от любой тетради или книги, то все его углы равны 90 градусам.
При складывании такого листа с аккуратным совмещением двух соседних сторон образуется угол в 45 градусов.
Если по одной стороне тетрадного или любого другого листа бумаги отмерить 10 см, а по другой – 17,3 см, а затем соединить эти точки линией, то можно получить шаблон, углы которого равняются 90, 60 и 30 градусам.

Что такое прямая зависимость результата от действий? На конкретный ответ могут повлиять самые разные факторы. Одно неизменно: если выполнять действия в нужном направлении, делать последовательные шаги и применять полученные знания на практике, то результат будет обязательно положительным.

Математика — это просто!

ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ: · Отрезок, луч, прямая
· Угол
· Разновидности углов
· Признаки параллельности
МНОГОУГОЛЬНИКИ: · Виды треугольников
· Биссектриса и высота
· Признаки равенства треугольников
· Равнобедренные треугольники
· Площадь треугольника
· Теорема Пифагора
· Теорема синусов
· Теорема косинусов
· Подобные треугольники
· Параллелограмм
· Ромб, квадрат
· Трапеция
ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ: · Что такое окружность
· Что такое круг
· Касательная к окружности
· Вписанная окружность
· Описанная окружность
ВЕКТОРЫ: · Что такое вектор
· Сложение и вычитание векторов
· Умножение вектора на число
· Координаторы вектора
· Угол между векторами
· Скалярное произведение векторов
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

О параллельных прямых и фантастических мирах

Что такое прямая? Точка – это основное понятие в геометрии, это что-то, не имеющее частей. Ровная, вытянутая линия без начала и конца, которая имеет бесконечное количество точек, является прямой.

Чтобы объяснить, что такое параллельные прямые, математики применяют разные определения и сравнения. Вот одна из аксиом: линии прямые, которые нигде и никогда не могут пересекаться, являются параллельными. Можно использовать еще один способ, чтобы определить параллельность линий. Если из каждой точки на одной из прямых выстроить перпендикулярно (то есть под прямым углом) ко второй равные отрезки, то эти прямые не смогут пересекаться и будут являться параллельными.

Что такое параллельные прямые, ясно. А как это связано с фантастическими мирами? Ответ достаточно прост, так как и в этом случае имеет место перенос понятий, о которых шла речь выше. Возможная реальность, не пересекающаяся, а находящаяся рядом с нашей, в одном и том же пространстве и времени, и является параллельным миром. Считается верным утверждение, что процессы, которые происходят там, никак не влияют на наш мир.

Представим мир без геометрии

Знания о том, что такое прямая, отрезок, точка, угол, нужны не только школьникам и студентам для получения хороших оценок. Их применяют архитекторы и дизайнеры, портные и строители, геодезисты и геологи, мебельщики и автомобилестроители, а также огромное количество других специалистов. Разве кто-то хочет носить уродливое платье или жить в доме с кривыми, падающими стенами?

Что такое прямой угол? Линии, отрезки, плоскости, точки и углы — это, можно сказать, основа архитектуры. Наука о домостроении так же невозможна без математических вычислений и геометрических понятий, как и литература без слов, точек, запятых, восклицательных знаков и прямой речи.

Что такое прямая дорога? Это путь, ведущий из одного пункта в другой (или от одного понятия к другому, от невежественности к эрудиции, например), с возможными остановками во времени, но без отклонений от выбранного маршрута.

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

A1x+B1y+C1=,A2x+B2y+C2={\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}

или

y=k1x+b1,y=k2x+b2{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}}

пересекаются в точке

x=B1C2−B2C1A1B2−A2B1=b1−b2k2−k1,y=C1A2−C2A1A1B2−A2B1=k2b1−k1b2k2−k1.{\displaystyle x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.}

Угол γ12{\displaystyle \gamma _{12}} между пересекающимися прямыми определяется формулой

tgγ12=A1B2−A2B1A1A2+B1B2=k2−k11+k1k2.{\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}

При этом под γ12{\displaystyle \gamma _{12}} понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1{\displaystyle A_{1}}, B1{\displaystyle B_{1}}, C1{\displaystyle C_{1}}, k1{\displaystyle k_{1}} и b1{\displaystyle b_{1}}) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A1B2−A2B1={\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0} или k1=k2{\displaystyle k_{1}=k_{2}}, и перпендикулярны, если A1A2+B1B2={\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0} или k1=−1k2{\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}}.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением A1x+B1y+C1=,{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,} можно выразить уравнением A1x+B1y+C={\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.} При этом расстояние между этими прямыми будет равно

δ=C1−C±A12+B12;{\displaystyle \delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};}

Если же уравнение прямой задано как y1=kx1+b1{\displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}, а уравнение прямой параллельной ей y=kx+b{\displaystyle y=kx+b}, то расстояние можно вычислить, как

δ=|b1−b|1+k2.{\displaystyle \delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}.}

Если знак перед радикалом противоположен C1,{\displaystyle C_{1},} то δ{\displaystyle \delta } будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

A1x+B1y+C1=,A2x+B2y+C2=,A3x+B3y+C3={\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

|A1B1C1A2B2C2A3B3C3|={\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.}

Если A2=−B1{\displaystyle A_{2}=-B_{1}} и B2=A1{\displaystyle B_{2}=A_{1}}, то прямые A1x+B1y+C1={\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0} и A2x+B2y+C2={\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0} перпендикулярны.

Точка на прямой

Точка на прямой это почти магия. Сама по себе прямая это множество точек, но стоит отметить одну из них и геометрическую фигуру можно назвать как прямой, так и двумя лучами с началом в одной точке. Если поставить две точки на прямой, то они будут отделять часть прямой, которую называют отрезком.

Любой отрезок является частью прямой.

Что мы узнали?

Мы дали определении линиям, выделили виды линий, а так же рассмотрели, какая из линий может называться прямой. Поговорили о том, как обозначаются прямые и как они могут располагаться в пространстве относительно друг друга. Выяснили, что точка на прямой может сделать из прямой отрезок или луч.

Как отличить прямое, ровное от кривого

Что такое прямая? В учебниках геометрии есть объяснение этого понятия. Прямой называют простейшую геометрическую фигуру — ровную линию, не имеющую ни начала, ни конца. Ограниченная двумя точками часть прямой называется отрезком. Что такое прямая и отрезок, мы разобрались.

Любая черта может быть изогнутой или волнистой, то есть кривой. Если последовательно соединить несколько самостоятельных «натянутых» отрезков без соблюдения одного направления (в разные стороны), то получится кривая или ломаная линия. Когда черта состоит из дуг, изгибов и плавных поворотов, ее называют изогнутой, волнистой. Что такое прямая в геометрии? Если идти от обратного, то это каждая линия, которая не является кривой, волнистой, ломаной или изогнутой.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

r→=r→+ta→,t∈(−∞,+∞),{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}

где r→{\displaystyle {\vec {r}}_{0}} — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M,{\displaystyle M_{0},} лежащей на прямой, a→{\displaystyle {\vec {a}}} — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

x=x+tα,y=y+tβ,z=z+tγ,t∈(−∞,+∞),{\displaystyle x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}

где (x,y,z){\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})} —
некоторой фиксированной точки M,{\displaystyle M_{0},} лежащей на прямой; (α,β,γ){\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )} — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

x−xα=y−yβ=z−zγ,{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},}

Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно :

(r→,N→1)+D1={\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0} и (r→,N→2)+D2=,{\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

{(r→,N→1)+D1=,(r→,N→2)+D2={\displaystyle {\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}}

Векторное уравнение прямой в пространстве:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой r→{\displaystyle {\vec {r}}} на фиксированный направляющий вектор прямой a→{\displaystyle {\vec {a}}}:

r→,a→=M→,{\displaystyle ={\vec {M}},}

где фиксированный вектор M→{\displaystyle {\vec {M}}}, ортогональный вектору a→{\displaystyle {\vec {a}}}, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Определение прямой

Определение прямой начинается с определения линии. Что такое линия? Это множество точек, соединенных между собой. Линия может быть прямой, кривой, ломанной, непрерывной и даже разомкнутой. И именно из-за этого разнообразия линии очень трудно определить в пространстве. Непонятно, как пройдет та или иная кривая, когда выйдет за пределы листа. Поэтому был выделен отдельный вид линий – прямые.

Рис. 1. Виды прямых.

Когда в разговоре вы слышите прямая – люди имеют в виду прямую линию, но последнее слово в словосочетании принято опускать.

Что такое прямая в математике? Прямые это бесконечные непрерывные линии, которые не имеют искривлений. Первое правило линий: через любые две точки можно провести линию. А вот через три точки уже не всегда. Чаще всего через три точки можно провести три прямых.

Если прямая проходит через три точки, то про эти точки говорят, что они лежат на одной прямой. Прямые, как правило, обозначают малой латинской буквой или по названию двух точек на прямой.

Почему двух, а не трех? Очень просто: через две точки может пройти только одна прямая. Тогда как через одну: бесконечное множество. А три точки не имеет смысла использовать: ни к чему усложнять обозначение.

Какой угол является прямым

Прежде всего любой угол – это самостоятельная геометрическая фигура. Если соединить между собой три точки, лежащие не на одной прямой, то острие (или вершина) этой конструкции и будет являться углом. Если внутри любой окружности провести несколько пересекающихся между собой линий, то в точке их пересечения образуется несколько углов с парными значениями. Количество их будет равняться числу проведенных линий, умноженному на два.

Все углы измеряются в градусах, и полное значение суммы всех углов в круге равно 360 градусам. Углы бывают острые и тупые, прямые и развернутые, смежные, вертикальные и дополнительные.

Что такое прямой угол? Как его получить, где найти? Внутри круга, разделенного проведенными через его центр двумя перпендикулярными между собой линиями, образуется четыре одинаковых угла. Они называются прямыми и значение каждого из них – 90 градусов.

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Как отличить прямое, ровное от кривого

Что общего между прямым разговором и прямой речью

Судя по объяснению авторитетных словарей, прямым разговором называется серьезная беседа, требующая откровенности и правдивости от всех участников этого процесса. Для этого не обязательно знать, что такое прямая речь, достаточно без утайки рассказывать о том, что спрашивают, или делать конкретные предложения. Во время прямых разговоров иногда выясняются разные тайны или сокрытые подробности событий. Чаще всего такие беседы происходят между близкими людьми, друзьями или родственниками.

А вот чтобы точно передать или записать данную беседу на бумагу, уже необходимо вспомнить знаки препинания, что такое прямая речь, слова автора и другие термины литераторов.

Правописание требует, чтобы слова говорящего отделялись от слов автора (рассказчика) двоеточием, кавычками, запятыми и тире. На выделение речи влияет расположение слов «героя» в тексте, в абзаце, в строке и так далее. То есть прямой речью называют воспроизведенные дословно чьи-либо слова, включенные в основной сюжет рассказа.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки (x1,y1){\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}, (x2,y2){\displaystyle (x_{2},\;y_{2})} и (x3,y3){\displaystyle (x_{3},\;y_{3})} лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

|x1y11x2y21x3y31|={\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}

Отклонение точки (x1,y1){\displaystyle (x_{1},\;y_{1})} от прямой Ax+By+C={\displaystyle Ax+By+C=0} может быть найдено по формуле

δ=Ax1+By1+C±A2+B2,{\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},}

где знак перед радикалом противоположен знаку C.{\displaystyle C.} Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки (x1,y1,z1){\displaystyle (x_{1},\;y_{1},\;z_{1})} до прямой, заданной параметрическим уравнением

{x=x+tα,y=y+tβ,t∈Rz=z+tγ,{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}}

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t{\displaystyle t} этой точки может быть найден по формуле

tmin=α(x1−x)+β(y1−y)+γ(z1−z)α2+β2+γ2.{\displaystyle t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.}

О параллельных прямых и фантастических мирах

геометрии, это

Скрещивающиеся прямые

Две прямые, имеющие одну общую точку, называются скрещивающимися.

Частный случай скрещивающихся прямых — перпендикулярные прямые.

Перпендикулярными прямыми называются две скрещивающиеся прямые, при пересечении которых образуются четыре прямых угла.

Чтобы сделать вывод являются ли скрещивающися прямые перпендикулярными, достаточно знать величину одного из четырех углов, которые образуют скрещивающиеся прямые — если любой из таких углов равен 90°, то и все три остальных будут также равны 90°, т. е., прямые будут перпендикулярными. Если же какой-либо из углов не равен 90°, то ни один из углов не будет равен 90°, а, значит, такие прямые не будут перпендикулярными.

Доказать это очень просто.

При пересечении двух прямых образуются 4 угла (см. рисунок выше): AOC, COD, DOB, BOA.

Если один из углов, например, АОС, равен 90°, то и смежный с ним угол COD также будет равен 90° (см. Что такое угол). Также будет прямым и другой смежный угол BOA.

Углы AOC и DOB также будут равны между собой, поскольку являются вертикальными углами.

Если же, какой-либо из углов (например, угол АОС) не является прямым, то прямыми не будут и смежные с ним углы COD и BOA. Поскольку, углы AOC и DOB являются вертикальными, то они равны между собой, а, т. к., угол АОС не равен 90°, то и угол DOB также не будет прямым.

Свойство перпендикулярных прямых: через любую точку плоскости можно провести тлько одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

Крылатая птица и крылатые слова

Мы выяснили, что такое прямая в геометрии и в литературе, пора двигаться далее. Кстати, в предыдущем предложении одно из слов было использовано в переносном смысле (двигаться). То есть было образовано второе, не прямое значение, связанное с основным только названием. Произошел перенос наименования по действию. Оказывается, некоторые слова, которыми мы пользуемся, имеют разные значения:

прямое, или основное;
переносное, или вторичное.

Что такое прямое значение слова? Ответ заложен в самом вопросе. Это название признака, действия, предмета или явления, которое сразу же вызывает о них представление, вне зависимости от контекста. Многозначность понятия формируется переносом названия на что-то другое, никак не связанное с основным, прямым значением слова. Например:

двигаться на телеге — двигаться по тексту;
золотой самородок — золотые руки;
шоколадная конфета — шоколадная кожа.

Как выстроить нужный угол без транспортира

Если взять лист от любой тетради или книги, то все его углы равны 90 градусам.
При складывании такого листа с аккуратным совмещением двух соседних сторон образуется угол в 45 градусов.
Если по одной стороне тетрадного или любого другого листа бумаги отмерить 10 см, а по другой – 17,3 см, а затем соединить эти точки линией, то можно получить шаблон, углы которого равняются 90, 60 и 30 градусам.

Несколько общеизвестных аксиом

В математическом мире аксиома – это утверждение, для которого не требуются доказательства. Ниже приведены некоторые из таких истин.

Любую из геометрических или иных фигур можно увеличить с соблюдением пропорций.
Две прямые, расходящиеся в одном направлении, обязательно будут сходиться в другом.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны и друг другу.
Если две прямые линии сближаются, они когда-нибудь пересекутся.
Если прямые сближаются, они не смогут разойтись в том же направлении без пересечения.
Через две любые точки можно провести окружность или прямую.
Сумма трех углов является одинаковой у всех треугольников, и она равна суме двух прямых углов.
Прямоугольник – это фигура с четырьмя прямыми углами.

Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут располагаться по-разному. Самый простой и частый случай это пересечение. Если две прямые имеют одну общую точку, про такие прямые говорят, что они пересекаются.

Рис. 2. Взаимное расположение прямых.

А как прямые назвать, если они не пересекаются? Тогда – параллельные, то есть прямые, которые не имеют общих точек.

А что будет, если у двух прямых две и больше общих точек? Тогда прямые совпадут.

При пересечении двух прямых образуется две пар вертикальных углов. Вертикальные углы в каждой паре равны между собой.

Если угол пересечения равен 90 градусов, то прямые перпендикулярны друг другу.

Рис. 3. Пересечение прямых.

Совпадающие прямые

Две прямые, расположенные в одной плоскости, могут либо пересекаться друг с другом (иметь одну общую точку), либо не пересекаться друг с другом (не иметь общих точек).

Возьмем произвольные четыре точки A, B, C, D, расположенные в одной плоскости и лежащие на одной прямой.

Проведем одну прямую через точки A и D, а вторую прямую — через точки В и С.

Очевидно, что вторая прямая наложится на первую. Говорят, что прямые AD и BC совместились или совпали.

Совпадающие прямые не являются ни пересекающимися, ни параллельными, поскольку имеют бесконечное множество общих точек. Все же, некоторые авторы совмещенные прямые рассматривают, как частный случай параллельных прямых, что, в общем-то, недалеко от истины.

Несколько общеизвестных аксиом

Любую из геометрических или иных фигур можно увеличить с соблюдением пропорций.
Две прямые, расходящиеся в одном направлении, обязательно будут сходиться в другом.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны и друг другу.
Если две прямые линии сближаются, они когда-нибудь пересекутся.
Если прямые сближаются, они не смогут разойтись в том же направлении без пересечения.
Через две любые точки можно провести окружность или прямую.
Сумма трех углов является одинаковой у всех треугольников, и она равна суме двух прямых углов.
Прямоугольник – это фигура с четырьмя прямыми углами.