Параллельные прямые

Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а, необходимо:

Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.

Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:

$a \parallel b$, т. $M \in b$.

Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.

Параллельные прямые в архитектуре

На представленных изображениях архитектурные сооружения содержат параллельные прямые. Использование параллельности прямых в строительстве помогает увеличить срок службы таких сооружений и придает им необычайную красоту, привлекательность и величие.
Линии электропередач также умышленно проводятся параллельно, чтобы избежать их пересечения или соприкосновения, что привело бы к замыканию, перебоям и отсутствию электричества. Чтобы поезд мог беспрепятственно перемещаться рельсы также выполнены параллельными линиями.

В живописи параллельные линии изображают сводящимися в одну линию или близкими к тому. Такой прием называется перспективой, которая следует из иллюзии зрения. Если долго смотреть вдаль, то параллельные прямые будут похожи на две сходящиеся линии.

Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку, с помощью циркуля и линейки.

Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.

Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.

На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.

Рассмотрим этапы построения параллельной прямой:

Выберем произвольную точку на данной прямой и назовем ее $В$

обратим внимание, что выбор точки абсолютно произвольный, т.к. не влияет на результат построения.
С помощью циркуля и начертим окружность радиуса $АВ$ с центром в точке $В$.

На пересечении окружности и прямой отметим точку и назовем ее $С$.

С тем же радиусом $АВ$ построим окружность с центром в точке $С$

Обратим внимание, что вторая построенная окружность обязательно должна пройти через точку В при правильном выполнении построения.

С прежним радиусом $АВ$ построим третью окружность с центром в точке $А$.

Отметим точку пересечения второй и третьей построенных окружностей и назовем ее $D$. Отметим, что третья окружность при правильном построении также должна пройти через точку $В$.

Через точки $А$ и $D$ проведем прямую, которая будет параллельной заданной.
Таким образом, получили параллельные прямые $ВС$ и $АD$:
$BC \parallel AD$, т. $A \in AD$.

На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Параллельность прямых — признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7-9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

В геометрии Лобачевского

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C{\displaystyle C} вне данной прямой AB{\displaystyle AB} проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB{\displaystyle AB}.
Прямая CE{\displaystyle CE} называется равнобежной прямой AB{\displaystyle AB} в направлении от A{\displaystyle A} к B{\displaystyle B}, если:

точки B{\displaystyle B} и E{\displaystyle E} лежат по одну сторону от прямой AC{\displaystyle AC};
прямая CE{\displaystyle CE} не пересекает прямую AB{\displaystyle AB}, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE{\displaystyle ACE}, пересекает луч AB{\displaystyle AB}.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB{\displaystyle AB} в направлении от B{\displaystyle B} к A{\displaystyle A}.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными.
Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

Свойства

Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

Историческая справка

В древние века, буквально 2500 лет назад, в известной школе Пифагора греческое слово «параллелос» начали употреблять, как геометрический термин, хотя определения параллельных прямых в те времена еще не знали. Но исторические факты говорят о том, что древнегреческий ученый Евклид в третьем веке до нашей эры, в своих книгах все же, раскрыл смысл такого понятия, как параллельные прямые.

Как вам уже известно, из пройденного материала в предыдущих классах, термин «параллелос» в переводе с греческого языка обозначает рядом идущий или проведенный друг возле друга.

В математике для обозначения параллельных прямых существует специальный знак. Правда, не всегда знак параллельности имел теперешний вид. Так, например, древнегреческий математик Папп в третьем веке нашей эры для обозначения параллельности пользовался знаком равно «=». И лишь в восемнадцатом веке, благодаря Уильяму Оутреду для обозначения параллельных прямых, стали использовать знак «//». Если есть, например, параллельные а и в, то на письме их следует записывать, как а//в

А вот знак «=» во всеобщее обращение ввел Рекорд и его стали использовать, как знак равенства.

В геометрии Лобачевского

точки B{\displaystyle B} и E{\displaystyle E} лежат по одну сторону от прямой AC{\displaystyle AC};
прямая CE{\displaystyle CE} не пересекает прямую AB{\displaystyle AB}, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE{\displaystyle ACE}, пересекает луч AB{\displaystyle AB}.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB{\displaystyle AB} в направлении от B{\displaystyle B} к A{\displaystyle A}.

Свойства

В геометрии Лобачевского

точки B{\displaystyle B} и E{\displaystyle E} лежат по одну сторону от прямой AC{\displaystyle AC};
прямая CE{\displaystyle CE} не пересекает прямую AB{\displaystyle AB}, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE{\displaystyle ACE}, пересекает луч AB{\displaystyle AB}.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB{\displaystyle AB} в направлении от B{\displaystyle B} к A{\displaystyle A}.

Свойства

Параллельные прямые в пространстве

В 7 классе мы уже . При этом мы рассматривали только прямые, находящиеся на одной плоскости. Сформулируем определение параллельных прямых, которое используется в стереометрии.

Для обозначения параллельности прямых используется специальный символ «||». В частности, запись а||b означает, что а и b– это параллельные прямые.

Рассмотрим для наглядности пример.

На этом рисунке m||n. В свою очередь пары прямых р и m, р и n непараллельны, ведь у них есть общая точка. Прямые h и nтакже непараллельны, но по другой причине – они находятся в разных плос-тях (такие прямые называют скрещивающимися).

Напомним, что в геометрии параллельными могут быть не только прямые, но также отрезки и лучи. Для параллельности отрезков требуется, чтобы они находились на параллельных прямых. Аналогичное правило действует и в отношении лучей.

Докажем одну довольно простую теорему (для удобства мы будем их нумеровать, чтобы потом ссылаться на их номера).

Действительно, пусть в пространстве есть прямая m и точка А. Мы уже знаем, что через них можно провести плос-ть. Обозначим ее буквой α.

По аксиоме параллельности мы можем через А провести единственную прямую n, параллельную m, причем n будет находиться в α. Любая другая прямая в плос-ти α, проходящая через А, не может быть параллельной m, это будет противоречить аксиоме параллельности. Любая прямая, проходящая через А и не находящаяся в α, также не будет параллельна m, ведь в противном случае она по определению параллельности находилась бы с m в одной плос-ти, и тем самым получилось бы, что через m и А проведены две различные плос-ти, а это невозможно.

Заметим ещё один очевидный факт.

Существование такой плос-ти прямо вытекает из определения параллельности. Но нам надо показать, что эта плос-ть – единственная. Пусть есть прямые m и n, причем m||n. Отметим на m точку Р, а на n точки Н и К:

Если бы через m и n можно было провести более одной плос-ти, то каждая из них проходила бы через точки Р, Н и К. Однако через них можно провести лишь единственную плос-ть. Значит, и через m и n проходит лишь одна плос-ть, ч. т. д.

Доказанная теорема показывает, что параллельные прямые однозначно определяют (или задают) плос-ть, проведенную через них.

Докажем ещё одну теорему.

Доказательство. Пусть есть прямые m и n, и m||n. Прямая m пересекает плос-ть α некоторой точке М. Нам надо показать, что и n пересекает α. Проведем через m и nплос-ть β (это можно сделать по теор. 2). Точка M как часть прямой m будет ей принадлежать. Но она же принадлежит и α. Значит, у α и β есть общая точка, то есть они пересекаются. Тогда у них должна быть и общая прямая, которую мы обозначим буквой h:

Точка М должна находиться на прямой h, то есть m и h пересекаются в ней.Значит, h пересекает и прямую n. В противном случае получилось бы, чтобы через M проведено две прямые, h и m, каждая из которых была бы параллельна n. А это невозможно по теор. 1. Обозначим точку пересечения n и h буквой N. Оно будет общей для n и α.

Осталось лишь показать, что других общих точек у n и α нет. Действительно, если бы такая точка была, то вся прямая n должна бы принадлежать β. Тогда n стала бы общей прямой α и β, то есть совпала бы с р.Но р пересекается с m, а n – нет, то есть на самом деле это различные прямые. Получается, что α и n имеют единственную общую точку N, ч. т. д.

Параллельные прямые в быту и повседневной жизни

С параллельными прямыми мы часто встречаемся в окружающей нас жизни, хотя, как правило, редко на этом акцентируем свое внимание. На уроках музыки, открывая нотную тетрадь, сразу же невооруженным взглядом мы видим линии нотного стана

Но параллельные линии вы можете увидеть не только в нотных тетрадях и сборниках песен, но и если внимательно присмотритесь к музыкальным инструментам. Ведь струны гитары, арфы или органа также расположены параллельно.

Подняв на улице глаза вверх, вы видите параллельно проходящие электрические провода. Оказавшись в метро или на железной дороге, также не сложно заметить, что рельсы расположены параллельно друг к другу.

Параллельные линии можно встретить повсюду. Они нам постоянно встречаются в быту, живописи. Без них не обойтись и в архитектуре, так как в строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.

Если вы внимательно посмотрите на изображение, то сразу же заметите в этих архитектурных сооружениях присутствие параллельных прямых. Возможно, они служат так долго и остаются красивыми благодаря тому, что архитекторы и инженеры при создании этих культовых зданий использовали параллельные прямые.

А задумывались ли вы когда-нибудь над тем, почему в линиях электропередач, провода располагаются параллельно? И представьте себе, чтобы было, если бы они не были бы параллельными и пересекались или соприкасались друг с другом. А это привело бы к нехорошим последствиям, при которых могло произойти замыкание, перебоям и отсутствию электричества. А что могло произойти с поездом, если бы рельсы не были бы параллельными? Об этом даже страшно подумать.

Вам всем хорошо известно, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Но если вы долго будете смотреть вдаль, в бесконечность, то в итоге можете увидеть, как параллельные прямые пересекаются. В этом случае мы с вами столкнулись с иллюзией зрения. Может быть, только благодаря таким иллюзиям и зрительным искажениям и появилась живопись.

Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой

В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.

Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.

Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.

Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.

Параллельные прямые – основные сведения.

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.. Приведем несколько примеров параллельных прямых

Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать аb.

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b, а также, что прямая b параллельна прямой a.

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Об этой статье

Соавтор(ы):
Штатный редактор wikiHow

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту. wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 26 488.

Категории: Геометрия

English:Figure out if Two Lines Are Parallel

Español:descubrir si dos rectas son paralelas

Português:Descobrir Se Duas Retas São Paralelas

Français:démontrer que deux droites sont parallèles

Bahasa Indonesia:Mengetahui Kesejajaran Dua Garis

Печать

В геометрии Лобачевского

точки B{\displaystyle B} и E{\displaystyle E} лежат по одну сторону от прямой AC{\displaystyle AC};
прямая CE{\displaystyle CE} не пересекает прямую AB{\displaystyle AB}, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE{\displaystyle ACE}, пересекает луч AB{\displaystyle AB}.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB{\displaystyle AB} в направлении от B{\displaystyle B} к A{\displaystyle A}.

Свойства

Две группы свойств параллельных прямых

Свойств у параллельных прямых всего 5, но они делятся на две большие группы: следствия из аксиомы параллельных прямых и следствия из признаков параллельности прямых. Начнем с первой группы.

Следствия из параллельности прямых

Следствие 1

Если одна из двух параллельных прямых, параллельна третьей, то и другая прямая ей параллельна.

Кажется, что это логично и не требует доказательства. Но в геометрии количество утверждений не требующих обоснования крайне мало и каждое из них носит название аксиомы.

Аксиомы были выведены еще на заре геометрии и с тех пор мало что изменилось. Большая часть современных теорем выведена на основании аксиом Древней Греции. Эти утверждения единственные, что в математике не требует доказательства.

Проведем две параллельные прямые а и b. Прямая с параллельная прямой а. Предположим, что при этом с не параллельна прямой b. Тогда у нее должна быть какая-то точка пересечения К. То есть через точку К проходит две прямые с и b. При этом каждая из этих прямых должна быть параллельна прямой а.

То есть, через одну точку на плоскости проведены две прямые, параллельные данной. Это невозможно, потому что противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит изначальное предположение было неверным и прямые с и b параллельны.

Рис. 1. Иллюстрация следствия.

Следствие 2

Следствие 2 очень важно, так как говорит о секущей двух параллельных прямых. Свойство гласит: если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую

Доказательство также ведется методом от противного. Проведем две прямые: а и b. Представим, что прямая с пересекает прямую а, но не пересекает прямую b. Тогда прямые c и b параллельны. При этом с пересекает а, то есть у этих прямых есть общая точка К.

Тогда через точку к проходит прямая а и прямая с, но каждая из них параллельна b. Значит, через одну точку проходит две прямых параллельных прямой b, а это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Значит изначальное предположение было неверным и прямая с пересекает каждую из прямых а и b, что и требовалось доказать.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

Следствия из признаков параллельности

Эту группу запомнить проще всего. Свойств параллельности прямых всего 3 и каждому из них соответствует свое следствие.

Прямые параллельны, если накрест лежащие углы при секущей равны. Следствие вполне логично: Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны.
Прямые параллельны, если соответственные углы равны. Следствие: соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.
Прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180. Следствие: сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равны 180

Рис. 3. Иллюстрация признаков.

Что мы узнали?

Мы дали понятие параллельным прямым, выделили две большие группы свойств параллельных прямых и доказали два свойства. Разобрались с использованием аксиомы параллельных прямых при доказательстве теорем в геометрии.

Тест по теме

Вопрос 1 из 5
- Параллельные прямые не могут иметь общих точек
- Параллельные прямые на протяжении всей своей длинны имеют одинаковое расстояние между собой
- Параллельные прямые могут образовывать угол с секущей
- Все перечисленное верно

Начать тест(новая вкладка)