Главная » Что это такое?

Ископаемый уголь

Обновлено

Угледобыча по странам

См. также: Список стран по добыче угля

Производство угля в год (млн. тонн)
Страны 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2014 Доля Насколько хватит разведанных запасов (лет)

Китай

1722,0 1992,3 2204,7 2380,0 2526,0 2782,0 3050,0 3240,0 3520,0 3650,0 3874,0 46,9 % 38

США

972,3 1008,9 1026,5 1053,6 1040,2 1062,8 973,2 984,6 992,8 922,1 906,9 12,9 % 245

Индия

375,4 407,7 428,4 447,3 478,4 521,7 557,6 569,9 588,5 605,8 536,5 3,9 % 105

ЕС

638,0 628,4 608,0 595,5 593,4 587,7 536,8 535,7 576,1 580,7 491,5 7,1 % 55

Австралия

351,5 366,1 378,8 385,3 399,0 401,5 409,2 423,9 415,5 431,2 644,0 6,2 % 186

Индонезия

114,3 132,4 146,9 195,0 217,4 229,5 252,5 305,9 324,9 386,0 458,0 7,2 % 17

Россия

276,7 281,7 298,5 309,2 314,2 326,5 298,1 316,9 323,5 354,8 357,6 4,3 % 420

ЮАР

237,9 243,4 244,4 244,8 247,7 250,4 250,0 253,8 255,1 260,0 260,5 3,8 % 122

Германия

204,9 207,8 202,8 197,2 201,9 192,4 183,7 182,3 188,6 196,2 185,8 1,1 % 37

Польша

163,8 162,4 159,5 156,1 145,9 143,9 135,1 133,2 139,2 144,1 137,1 1,4 % 56

Казахстан

84,9 86,9 86,6 96,2 97,8 111,1 101,5 110,8 115,6 116,4 108,7 1,4 % 308

На начало 2020-х имеется крайне высокая неопределенность относительно перспектив международного угольного рынка: снижение спроса на уголь в экономике ЕС будет компенсироваться ростом объема импорта в странах Южной и Юго-Восточной Азии (где будет увеличиваться потребность в высококачественных углях), а также в странах Ближнего Востока и Африки. Объёмы торговли и цены на рынке будут зависеть прежде всего от политических решений, которые будут приняты в отношении потребления угля Китаем и Индией: в Китае и развитых странах Азии (Япония, Южная Корея) возможна стабилизация объемов импорта угля. Однако, ввиду того что ряд производителей по разным причинам в дальнейшем планируют сокращать свои объемы экспорта (Колумбия, в перспективе до 2030 года, исчерпает основные месторождения, а Индонезия будет вынуждена перенаправить часть экспортного угля на удовлетворение внутреннего спроса), основными поставщиками угля на мировой рынок останутся Австралия и Россия.

Россия

Основная статья: Угольная промышленность России

В странах бывшего СССР одним из известных месторождений угля является Донбасс (Украина) и Кузбасс (Россия).

В 1990-х добыча угля в России неуклонно снижалась, упав к 1998 году почти на 1/3.
С 2001 года наметился рост (исключая спад в 2009 году).
В 2008 в России добыто 329 млн тонн угля.
В 2010-е годы Россия увеличивала объем добычи угля примерно на 20 млн т в год. В 2020 году потребление угля в России выросло до 180 млн т, а на экспорт было направлено 210 млн т. Согласно программе стратегии развития, которую готовится, к 2035 году РФ может стать крупнейшим экспортером на угольном рынке.

Крупнейшие российские производители угля
В 2004 году добыча составляла:

  • СУЭК — 74,5 млн тонн.
  • Кузбассразрезуголь — 39,3 млн тонн.
  • Южкузбассуголь — 18,1 млн тонн.
  • Южный Кузбасс — 15,6 млн тонн.

В 2015 году добыча угля составляла

  • Кузбассразрезуголь — 48 млн тонн
  • СУЭК-Кузбасс — 30 млн тонн
  • Бородинский разрез — 19 млн тонн
  • Воркутауголь — 14 млн тонн
  • Тугнуйский разрез — 14 млн тонн
  • СУЭК-Хакассия — 13 млн тонн
  • Востсибуголь — 12 млн тонн
  • Распадская — 11 млн тонн
  • Южкузбассуголь — 11 млн тонн
  • Южный Кузбасс — 10 млн тонн

ГЕОГРАФИЯ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА ОБЩЕРОССИЙСКОГО ОТРАСЛЕВОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ РАБОТОДАТЕЛЕЙ УГОЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ (ОООРУП) -Росуглепроф

По данным Министерства энергетики РФ в 2014 году добыча осуществлялась 89 шахтами и 107 разрезами . Добыто 358 млн тонн угля.

Внутреннее потребление — энергетического угля -140 млн тонн, коксующегося угля -38 млн тонн.

Угольные предприятия России расположены в 7 федеральных округах.

Украина

Основная статья: Угольная промышленность Украины

Угольная промышленность на Украине, млн т
год 1880 1890 1900 1910 1913 1920 1925 1929 1935
угля, млн т 1,3 2,9 10,7 16,3 23,5 4,1 18,2 30,5 59,7
год 1940 1945 1950 1955 1959 1961 1963 1965 1967
угля, млн т 83,3 30,1 76,4 116,3 167,3 171,5 179,7 194,3 199,0
год 1969 1971 1973 1975 1976 1977 1979 1981 1983
угля, млн т 204,4 209,4 212,6 215,7 218,1 217,2 204,7 191,1 190,9
год 1985 1987 1990 1996 1999 2000 2001 2002 2003
угля, млн т 189 191,9 164,8 75,4 81 81,1 83,4 81,8 80,2
год 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
угля, млн т 81,3 78,8 80,2 76,8 79,5 73,8 75,2 81,9 85,9
год 2013 2014 2015 2016 2017 2018
угля, млн т 83,6 65 39,8

Добыча и применение

Ископаемый уголь

Добывается он двумя методами: подземным и наружным. Наиболее распространен первый, так как наружные его выходы на поверхность земли довольно редки и быстро истощаются. При подземном нужно строить шахты, где в глубине земли пласты угля дробятся разными способами, а затем поднимаются наружу, где происходит сортировка и погрузка.

Процесс этот связан с различного рода опасностью — завалами, затоплениями, взрывами метана. К тому же угольная пыль часто содержит в себе канцерогенные вещества, и шахтерам приходится носить респираторы, которые затрудняют дыхание и, как следствие, газовый обмен в крови.

Применяется уголь в ряде отраслей, начиная с электростанций, заканчивая обычным отоплением деревенских домов.

Определение

Ископаемый уголь

Все хоть раз, но слышали такое слово, как угли или уголь. Так что это такое? Если для ответа на этот вопрос обращаться к толковому словарю Ожегова, то там можно найти следующие определения: уголь — это ископаемое твердое горючее вещество, которое образовалось из древних растений. Углями также называют, к примеру, остатки пережженной древесины — угли костра, пожара, печи и прочее. К слову, к каменному углю после того, как он перегорел, данное употребление не корректно, в этом случае его остатки называются шлаком.

Также, отвечая на вопрос: «Что такое угли?», стоит упомянуть древесные — они имеют свойство жарко тлеть даже после длительной термической обработки. В древние времена это их полезное свойство применяли при изготовлении железа из руды, а также кузнецы для поддержания больших температур в горнах. А еще древесный уголь раньше использовался как один из составных элементов черного пороха. Но позже от классической схемы «селитра, сера, древесный уголь» отказались в пользу нового бездымного пороха. Так что мы разобрались с тем, что такое угли, и более подробно остановимся на каменном угле – полезном ископаемом, которое в свое время помогло людям совершить промышленную революцию.

Антрацит (А)

Это самый качественный уголь, с точки зрения теплоты сгорания. Содержание углерода в нем может достигать 98 %. Больше только у графита. И по внешнему виду антрацит сильно отличается от других марок. Он имеет темно-черный цвет с ярко выраженным металлическим отливом. Также он обладает повышенной термостойкостью и электропроводностью. Температура горения у антрацита довольно высока, поэтому как топливо применять его можно не во всех типах печей. Кроме этого, он используется в металлургии, для изготовления фильтров, электродов, карбида кальция, микрофонного порошка. Этот уголь не спекается, поэтому он не нашел применения в коксовании, хотя даже без этого процесса может заменять кокс в некоторых процессах.

Ископаемый уголь

Другие виды классификаций

Помимо тех марок, что представлены выше, существует и множество промежуточных марок, например коксовый жирный (КЖ), газовый спекающийся (ГС), длиннопламенный газовый (ДГ).

Также уголь каждой марки может иметь разные размеры кусков. В таком случае буква, обозначающая сорт, располагается после буквы, обозначающей марку. Например, антрацит-орех (АО), жирный-плита (ЖП), коксовый семечко (КС).

Существует и классификация угля по происхождению. Весь уголь, как уже было сказано, образуется из растений в течение миллионов лет. Но растения могут иметь разную природу. Так, угли делятся на гумусовые (из древесины, листьев, стеблей) и сапропелитовые (из остатков низших растений, например водорослей).

Образование угля

В разное время и в разных местах в геологическом прошлом Земли существовали густые леса в водно-болотных низинах. Из-за естественных процессов, таких как наводнения, эти леса оказывались погребены под землёй. По мере того, как слой почвы над ними увеличивался, росло давление. Температура также поднималась по мере опускания. В таких условиях растительный материал был защищён от биодеградации и окисления. Поглощённый растениями углерод в огромных торфяниках в конечном итоге был покрыт и глубоко погребён отложениями. Под высоким давлением и высокой температурой мёртвая растительность постепенно преобразуется в уголь. Так как уголь состоит в основном из углерода, конверсия мёртвой растительности в уголь называется карбонизацией.

Уголь образуется в условиях, когда гниющий растительный материал накапливается быстрее, чем происходит его бактериальное разложение. Идеальная обстановка для этого создаётся в болотах, где стоячая вода, бедная кислородом, препятствует жизнедеятельности бактерий и тем самым предохраняет растительную массу от полного разрушения. На определённой стадии процесса выделяющиеся кислоты предотвращают дальнейшую деятельность бактерий. Так возникает торф — исходный продукт для образования угля. Если затем происходит его захоронение под другими наносами, то торф испытывает сжатие и, теряя воду и газы, преобразуется в уголь.

Под давлением наслоений осадков толщиной в один километр из 20-метрового слоя торфа получается пласт бурого угля толщиной 4 метра. Если глубина погребения растительного материала достигает трёх километров, то такой же слой торфа превратится в пласт каменного угля толщиной в 2 метра. На большей глубине, порядка шести километров, и при более высокой температуре 20-метровый слой торфа становится пластом антрацита толщиной в 1,5 метра.

Для образования угля необходимо обильное накопление растительной массы. В древних торфяных болотах, начиная с девонского периода (примерно 400 млн лет назад), накапливалось органическое вещество, из которого без доступа кислорода формировались ископаемые угли. Большинство промышленных месторождений ископаемого угля относится к этому периоду, хотя существуют и более молодые месторождения. Возраст самых древних углей оценивается примерно в 300—400 миллионов лет.

Образование больших объёмов угля, скорее всего, прекратилось после появления грибов, так как белая гниль грибов полностью разлагает лигнин.

В широких, неглубоких морях каменноугольного периода существовали идеальные условия для формирования угля, хотя известны угли из большинства геологических периодов. Исключением является угольный пробел в ходе Пермско-Триасового вымирания, где уголь является редкостью. Уголь, встречающийся в Докембрийских слоях, которые предшествуют наземным растениям, как предполагается, возник из остатков водорослей.

В результате движения земной коры угольные пласты испытывали поднятие и складкообразование. С течением времени приподнятые части разрушались за счёт эрозии или самовозгорания, а опущенные сохранялись в широких неглубоких бассейнах, где уголь находится на уровне не менее 900 метров от земной поверхности. Образование наиболее мощных угольных пластов связано с областями земной поверхности, на площадь которых происходили излития значительных объёмов битумных масс, как, например, в Хат-Крик (англ.)русск. (Канада), суммарная мощность пакета угольных пластов достигает 450 м.

Каменный уголь

Результатом следующего «шага» метаморфоз, происходящих при образовании угля, является каменный уголь. Этот вид угля образовывался на более глубоких уровнях, под большим давлением и при высокой температуре. Соответственно, его химический состав и физические характеристики уже существенно отличаются.

Химический состав каменного угля представляет собой смесь высокомолекулярных ароматических соединений с высоким содержанием углерода, летучих веществ и влаги. Также  в каменном угле содержатся некоторые минеральные примеси, которые после сжигания угля образуют золу. В зависимости от сорта каменного угля, содержание в нем углерода может варьироваться от 75% до 95%. За счет более низкого содержания влаги, чем в буром угле, каменный уголь имеет более высокую теплоту сгорания. Каменный уголь содержит до 32% летучих веществ, которые обеспечивают неплохое воспламенение.

Разновидности каменного угля

Основой промышленной классификации каменного угля в разных странах принимаются разные параметры состава и свойств угля. Так, в США каменный уголь классифицируется по критериям теплоты сгорания, содержания связанного углерода и относительного содержания летучих веществ. Япония классифицирует каменный уголь по так называемому топливному коэффициенту (по сути, по той же теплоте сгорания) и крепости получаемого кокса (или неспособности к коксованию).

Наша страна унаследовала классификацию, которая была выработана в СССР.  До 1954 года в Советском Союзе основой промышленной классификации каменных углей была так называемая Донецкая классификация. Ее называют «марочной». Одновременно она является генетической (так классифицируется каменный уголь ГОСТ 25543-88 по технологическим и генетическим параметрам), так как возложенные в ее основу метаморфозы свойств углей, отражают их изменения, которые обусловлены генетическим развитием органических веществ угля. Для промышленной маркировки каменного угля из разных бассейнов в СССР использовались утвержденные стандартизированные классификации.

По характеру нелетучего остатка (иногда дополнительно к учету спекаемости и величины теплоты сгорания) и усредненной величине выхода летучих веществ каменный уголь делится на 10 марок:

  • длиннопламенные (Д);
  • газовые (Г);
  • газовожирные (ГЖ);
  • жирные (Ж);
  • коксовые жирные (КЖ);
  • коксовые (К);
  • коксовые вторые (К2);
  • слабоспекающие (СС);
  • отощенные спекающиеся (ОС);
  • тощие (Т).

Содержание углерода последовательно увеличивается от 76% до 92% от марки Д до марки Т. Одновременно уменьшается выход летучих веществ до 7-12%. В каждой из марок выделяется несколько технологических групп (кроме марок Д и Г).

Области применения каменного угля

Каменный уголь является очень востребованным сырьем, поэтому поставка каменного угля осуществляется многими компаниями практически непрерывно.

Каменный уголь находит самое разнообразное применение. Его используют в качестве технологического, энерготехнологического и энергетического сырья. При производстве кокса и полукокса побочными продуктами переработки каменного угля являются многие химические продукты (фенолы, нафталин, лак и пр.). На их основе получают пластмассы, синтетические волокна, лаки, краски, удобрения  и многие другие важные и ценные продукты.

Одно из самых перспективных направлений использования каменных углей – это сжижение (гидрогенизация) для получения жидких топлив. Результатом переработки каменного угля также являются активированные угли, искусственные графиты и другие продукты. При переработке каменного угля в больших масштабах получают важные химические элементы: молибден, цинк, ванадий, свинец.

Существуют самые разные схемы неэнергетического применения каменного угля на основе химической, термохимической и других видов переработки с целью его полного комплексного использования. Более подробно эта тема раскрыта в соответствующей статье.

Способы добычи угля

Открыты способ

Открыты способ добычи угля

Открыты способ — это угольные разрезы которые, как правило, имеют огромные размеры и внушительную глубину. Процесс представляет собой вскрытие верхних слоёв земной коры, под которыми находится угольная залежь. Снимается крыша с помощью драглайнов — экскаваторов большой мощности. На открывшемся срезе начинают работать роторные экскаваторы, которые извлекают полезные ископаемые с помощью ковшей. Затем идёт погрузка в вагоны или грузовики.

Подземная добыча

Схема угольной шахты

Подземная добыча — это устройство шахт, ведущих в огромные угольные бассейны. Они имеют множество разветвлений, бывают многоярусными. Эффективность таких выработок намного выше, чем на разрезах, уголь добывается более качественный, потому что в нём меньше примесей. Но такой метод является опасным, поскольку возможны выходы газа, подтопления, обвалы.

Гидравлический способ добычи угля

Гидравлический способ добычи угля

Гидравлический способ разработки угольных месторождений считается самым современным. Его стали применять сравнительно недавно в 30 годы прошлого века. Но он оптимально заменяет опасный труд шахтёров, поскольку уголь наверх из забоя подаётся с помощью водного потока под давлением. Для этого используется специальное оборудование — гидромониторы и насосы. Струя воды и откалывает уголь, и транспортирует его по системе труб или желобов в штреках. При этом используются грунтовые воды, что экономит средства, затрачиваемые на процесс добычи.

Самым экономичным способом считается открытая добыча, дорогостоящим — шахтный метод, среднезатратной разработкой и перспективной для будущего специалисты называют гидравлическую технологию.

Отощенно-спекающийся уголь (ОС)

Данная марка угля не сильно отличается от коксового угля: содержание углерода и неорганических примесей находится примерно на том же уровне. Главное его преимущество в высокой теплотворной способности. Она составляет 36 МДж/кг, поэтому иногда его используют как топливо на электростанциях. Но основное его использование — коксохимическая промышленность. Правда, коксуется этот уголь с трудом, поэтому приходится его использовать в смеси с другими видами угля. Такая смесь нескольких марок называется угольной шихтой. Добыча отощенно-спекающегося угля в основном ведется на Кузбассе, в Кемеровском районе и в Южно-Якутском угольном бассейне.

Тощий уголь (Т)

Такое забавное название эта марка угля получила из-за относительно тонких пластов, которыми она залегает в породе. Виной всему большая глубина (6600 м) и большое давление. В отличие от предыдущих двух типов, тощий уголь не обладает способностью к спеканию, и производить из него кокс практически невозможно.

Ископаемый уголь

Зато он обладает очень высокой теплотой сгорания до 40 МДж/кг. Это обуславливает его использование в качестве топлива, а также в металлургии, где необходима крайне высокая температура в печах для плавки металлов. Основные зоны добычи тощего угля — это Араличевский, Байдаевский и Кемеровский районы.

Месторождения и добыча породы

Ископаемое широко распространено – его запасы составляют 15 % от всей суши. Тройка стран-лидеров по добыче каменного угля:

  1. США – мировой лидер. Процент залежей составляет 23 – это более 1600 миллиардов тонн.
  2. Россия. Залежи оцениваются в 13 %.
  3. Китай. Показатель стремится к 11 %.

В России каменный уголь добывают в Кемеровской области, в Кузнецком месторождении, где находится 640 миллиардов тонн ископаемых. Открытие произошло в 1721 году М. Волковым. В 1842 году П. Чихачев оценил запасы бассейна. Во 2-й половине XIX века в Кузбассе начали добывать каменный угль.

В Якутии находится Эльгинское месторождение, его запасы составляют около 2 миллиардов тонн, в Тыве перспективны для разработки Элеготсткие залежи. Другие бассейны – Ленский, Тунгусский, Иркутский, Южно-Якутский, Печерский.

В США самые большие залежи расположены в штате Иллинойс (запас более 360 миллионов тонн).

В Казахстане находится 162 миллиарда тонн ископаемого. Одно из самых крупных месторождений – Экибастузское, другие бассейны:

  • Шубарколь и Кызылтал – по 2 миллиарда тонн;
  • Шоптыколь, Мамыт и Эгинсай – по 1 миллиарду тонн;
  • Каражыра – 890 миллионов тонн.

Месторождения каменного угля обозначают на карте в виде определенного символа – черного квадрата, а бурого – заштрихованного.

В республике Хакассия основное месторождение находится в Минусинской котловине. Разработки ведутся с 1904 г. Хакасский каменный уголь добывают в Изыхском и Черногорском бассейнах.

В Африке добывают минерал на территориях:

  • Зимбабве;
  • Мозамбика;
  • ЮАР.

Страны-экспортеры каменного угля по рейтингу, объем указан в миллионах тонн в год:

  • Австралия – 193;
  • Китай – 91;
  • ЮАР – 69,3;
  • Индонезия – 66,4;
  • США – 44,1;
  • Россия – 41;
  • Колумбия – 37,1;
  • Канада – 30,6;
  • Казахстан – 28;
  • Польша – 23.

Смотрите передачу о добыче камня в России:

Классификация угля по размеру кусков

Чтобы добыть уголь из-под земли, его необходимо измельчить и доставить на поверхность

Получаемые куски могут быть разного размера, что достаточно важно для дальнейшего использования. По этой причине существует государственный стандарт (ГОСТ Р 51586-2000), который определяет классификацию угля по размеру кусков

Эти размеры иногда называют сортами угля, чтобы не путать с марками, о которых речь пойдет позже.

Название класса (сокращение)

Размер в мм

Плитный (П)

От 100

Крупный (К)

50-100

Орех (О)

25-50

Мелкий (М)

13-25

Семечко (С)

6-13

Штыб (Ш)

До 6

Если уголь еще не отсортирован и имеет в своем составе куски совершенно разных размеров, то такой уголь называют рядовым (Р).

Существуют также и смешанные сорта, т. е. смеси углей разного размера в определенных пределах. Но процентное содержание угля каждого класса в данном случае не регламентируется. Смесь может состоять, например, из 95 % семечка и 5 % штыба, и в таком случае сорт будет называться семечко со штыбом.

Название класса (сокращение)

Размер в мм

Крупный с плитным (ПК)

От 50

Орех с крупным (КО)

25-100

Мелкий с орехом (ОМ)

13-50

Семечко с мелким (МС)

6-25

Семечко со штыбом (СШ)

До 13

Мелкий с семечком и штыбом (МСШ)

До 25

Орех с мелким, семечком и штыбом (ОМСШ)

До 50

Классификация каменных углей

В основе классификации лежат химические и физические свойства ископаемого. Общее разделение:

  1. Бурый уголь – образовался позднее других видов. Отличается низкой температурой сгорания.
  2. Каменный – самый распространенный и используемый вид. Добывается открытым способом или в шахтах.
  3. Антрацит – наиболее древний и твердый представитель. Имеет самую большую температуру сгорания из всех видов.

Бурый уголь отличается от каменного:

  • цветом;
  • меньшим содержанием азота и углерода;
  • тем, что легче горит;
  • дает больше дыма;
  • выделяет меньше тепла.

Минерал разделяется по степени углефикации и размерам. На основе этих параметров была придумана и внедрена маркировка, отражающая характеристики конкретного сорта ископаемого. Это удобно для использования в промышленности.

Смотрите познавательный видеообзор про минерал:

По степени обогащения

Перед использованием добытую породу подвергают обработке – обогащению. Это увеличение содержания углерода за счет очищения от минеральных примесей, что повышает горючесть.

Часто применяется мокрый способ – ископаемое загружают в водную среду, в которой идет расслоение на примеси и камень. Это происходит из-за того, что минеральные добавки имеют меньшую плотность. Машины для такого обогащения называются отсадочными.

Промышленное разделение по степени обогащения минерала:

  1. Промпродукты. Используются в металлургии.
  2. Концентраты. Из них получают энергию для электростанций, отопления.
  3. Шламы – мелкая угольная пыль. Идет для нужд населения, для этого ее прессуют в брикеты.

По степени углефикации

Углефикация – процесс превращения торфа в бурый уголь или каменного – в антрацит. Это степень насыщения углеродом конкретного куска ископаемого, определяющая его свойства – горючесть, спекаемость, теплоту сгорания. Зависит от возраста – чем он меньше, тем ниже степень углефикации.

Наивысшей степенью углефикации обладает антрацит, низкой – блестящие угли марок М и Д, остальные типы относятся к средней степени.

По размерам

Добываемые ископаемые отличаются по длине и ширине (это называется фракция), потому существует классификация, где куски определенного размера имеют свое название, сокращенно обозначаемое одной буквой.

Иногда такое разделение называется сортом. Хотя используется буквенное обозначение, к маркам это не имеет отношения.

Классификация по размерам (фракциям):

Название Размер, мм
Плитный (П) Более 100
Крупный (К) 51–99
Орех (О) 25–50
Мелкий (М) 13–24
Семечко (С) 6–12
Штыб (Ш) Менее 6
Рядовой (Р) Несортированный, имеющий в составе куски разного размера

Марки каменного угля

Минерал подразделяют на марки, деление основано на составе и способности к горению:

  • длиннопламенные (Д);
  • газовые (Г);
  • газовые жирные (ГЖ);
  • жирные (Ж);
  • коксовые жирные (КЖ);
  • коксовые (К);
  • отощенные спекающиеся (ОС);
  • тощие (Т);
  • слабоспекающиеся (СС);
  • полуантрациты (ПА);
  • антрациты (А).

Каменный уголь марки Д чаще других используется в ЖКХ и энергетике благодаря следующим свойствам:

  • много летучих веществ (от 39 %);
  • мало серы (менее 0,5 %);
  • мало золы;
  • теплота сгорания 4700–5400 ккал/кг – это хороший показатель;
  • содержание воды – 15–16 %;
  • высокая теплоотдача.

Камень отличается ярким блеском, добывается на территориях Красноярского края и Хакасии.

Что такое древесный уголь и для чего он используется

Древесный уголь используется людьми уже много тысяч лет назад: его находили при раскопках в поселениях пещерных людей. Вряд ли они изготавливали его сами, скорее собирали на пожарах или сохраняли остатки костров, но, видимо, знали о его свойствах и умели пользоваться.

Древесный уголь — высококалорийное топливо

Сегодня в нашей стране этот вид топлива используется большей частью для приготовления пищи: его используют в мангалах и барбекюшницах, подкладывают в костры. Иногда используют для каминов: горит он долго, выделяет много тепла (7800 ККл/кг), а дыма и копоти почти не образуется. Оставшаяся зола является отличным удобрением и используется для удобрения лесных угодий или сельскохозяйственных полей. Зола древесного угля применяется также для производства удобрений.

В промышленности древесный уголь используют для выплавки чугуна. Для производства тонны сплава требуется всего 0,5 тонны этого топлива. При этом чугун получает повышенную стойкость к коррозии и прочность. Как флюс используют каменный уголь при выплавке латуни, бронзы, меди, марганца, цинка и никеля. Из него изготавливают твердую смазку для машиностроения, используют для шлифовки в приборостроении и полиграфии и т.д. Из древесного угля изготавливают фильтры разного назначения.

Сегодня древесный уголь начинают рассматривать как альтернативу традиционному топливу: в отличие от каменного угля, нефти и газа он относится к возобновляемым материалам. Причем современные технологии позволяют получать древесный уголь даже из отходов промышленности: из опилок, трухи, кустарников и т.п. Из такого измельченного сырья формируют брикеты, которые дают в 1,5 раза больше тепла, чем обычный древесный уголь. При этом тепло выделяется более продолжительный промежуток времени и жар получается равномерный.

Главная » Что это такое? » Главная » Что это такое?

Угол. виды углов

Обновлено

Угол и скалярное произведение

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x,y){\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x{\displaystyle x} и y.{\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя ||x||=(x,x).{\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского (Коши — Шварца) для скалярного произведения: |(x,y)|⩽||x||⋅||y||,{\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина (x,y)||x||⋅||y||{\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически — их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x,y)||x||⋅||y||{\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x{\displaystyle x} и y.{\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале a,b{\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f,g)=∫abf(x)g(x)dx,{\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как ||f||2=∫abf2(x)dx.{\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора gij.{\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u,v)=gijuivj,{\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов — ||u||=|gijuiuj|{\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и ||v||=|gijvivj|.{\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos⁡θ=(u,v)||u||⋅||v||=gijuivj|gijuiuj|⋅|gijvivj|.{\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}

Обозначение углов

«∠», обозначение угла в геометрии.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: ∠,{\displaystyle \angle ,} предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ABC.{\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B{\displaystyle B} — вершина, а A{\displaystyle A} и C{\displaystyle C} — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.
См. .

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠(bc){\displaystyle \angle (bc)} — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠BAC{\displaystyle \angle BAC}, α, который надо было бы обозначить ∠(cb){\displaystyle \angle (cb)}.

Так, для рисунка справа записи γ, ∠ACB{\displaystyle \angle ACB} и ∠(ba){\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Литература

  • Сидоров Л. А. Угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 459‒460. — 623 с. — 150 000 экз.
  • Двугранный угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 50. — 552 с. — 150 000 экз.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30‒31. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Угломерные приборы/Угол (плоский) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. XXVI. — С. 459‒460. — 624 с.
  • K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry (англ.) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — P. 721‒745.

Типы углов

В зависимости от величины углы называются следующим образом.

  • Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
  • Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
  • Прямой угол (90°); стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
  • Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
  • Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
  • Развёрнутый угол (180°); сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны.
  • Выпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
  • Невыпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
  • Полный угол (360°) — см. оборот (единица измерения).

Центральный и вписанный угол

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

  • Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.
  • Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, , опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (розового цвета). То есть угол θ не меняет своей величины от вершины к вершине, взятой на окружности (зеленый и голубой углы). Внешний угол для вписанного с другой стороны угла окружности имеет ту же величину θ (коричневого цвета)

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (см. рис.).

Плоские углы

Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия (в том числе двугранного, трёхгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

Вертикальные и прилежащие углы

  • Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.
  • Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями, лежащими в одной плоскости. Величина угла, образованного внешними (не общими) сторонами прилежащих углов равна сумме величин самих прилежащих углов (на рисунке α + β).

Частные случаи прилежащих углов.

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами

Углы с параллельными сторонами.

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180° (см. рисунок) — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы («склеив» сонаправленные стороны).

Внешний угол треугольника

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с внешним углом.

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов αi произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nαi=(n−2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.}

Так,

  • сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
  • четырёхугольника — 360°,
  • пятиугольника — 540° и так далее.

Следствие

Назовём внешним углом βi (внимание, это не обычное определение внешнего угла) угол, дополняющий внутренний угол αi до полного угла: βi = 360° − αi.

Сумма внешних углов произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nβi=n⋅360∘−∑i=1nαi=(n+2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}=n\cdot 360^{\circ }-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n+2)\cdot 180^{\circ }.}

Угол и скалярное произведение

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x,y){\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x{\displaystyle x} и y.{\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя ||x||=(x,x).{\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского (Коши — Шварца) для скалярного произведения: |(x,y)|⩽||x||⋅||y||,{\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина (x,y)||x||⋅||y||{\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически — их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x,y)||x||⋅||y||{\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x{\displaystyle x} и y.{\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале a,b{\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f,g)=∫abf(x)g(x)dx,{\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как ||f||2=∫abf2(x)dx.{\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора gij.{\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u,v)=gijuivj,{\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов — ||u||=|gijuiuj|{\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и ||v||=|gijvivj|.{\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos⁡θ=(u,v)||u||⋅||v||=gijuivj|gijuiuj|⋅|gijvivj|.{\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}

Угол в метрическом пространстве

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X,ρ){\displaystyle (X,\rho )} — метрическое пространство. Пусть далее, x,y,z{\displaystyle x,y,z} — элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y{\displaystyle y} и z{\displaystyle z} с вершиной в точке x{\displaystyle x} как неотрицательное число yxz^{\displaystyle {\widehat {yxz}}}, которое удовлетворяет трём аксиомам:

  • yxz^=zxy^{\displaystyle {\widehat {yxz}}={\widehat {zxy}}}
  • yxz^={\displaystyle {\widehat {yxz}}=0} тогда и только тогда, когда ρ(y,z)=|ρ(x,y)−ρ(x,z)|{\displaystyle \rho (y,z)=|\rho (x,y)-\rho (x,z)|}
  • yxz^=π{\displaystyle {\widehat {yxz}}=\pi } тогда и только тогда, когда ρ(y,z)=ρ(x,y)+ρ(x,z){\displaystyle \rho (y,z)=\rho (x,y)+\rho (x,z)}

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

yxz^w=arccos⁡ρ2(x,y)+ρ2(x,z)−ρ2(y,z)2ρ(x,y)ρ(x,z){\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y−x{\displaystyle y-x} и z−x{\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.

Литература

  • Сидоров Л. А. Угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 459‒460. — 623 с. — 150 000 экз.
  • Двугранный угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 50. — 552 с. — 150 000 экз.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30‒31. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Угломерные приборы/Угол (плоский) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. XXVI. — С. 459‒460. — 624 с.
  • K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry (англ.) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — P. 721‒745.

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB{\displaystyle AB}и CD{\displaystyle CD} (обозначение: ∠(AB,CD){\displaystyle \angle (AB,CD)}) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB{\displaystyle AB} так, чтобы она стала параллельна прямой CD.{\displaystyle CD.} При этом углы, отличающиеся на n·180° (n — целое число), считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD{\displaystyle CD} и AB{\displaystyle AB} не равен ориентированному углу между прямыми AB{\displaystyle AB} и CD{\displaystyle CD} (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а) ∠(AB,BC)=−∠(BC,AB);{\displaystyle \angle (AB,BC)=-\angle (BC,AB);} б) ∠(AB,CD)+∠(CD,EF)=∠(AB,EF);{\displaystyle \angle (AB,CD)+\angle (CD,EF)=\angle (AB,EF);} в) точки A,B,C,D,{\displaystyle A,B,C,D,} не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда ∠(AB,BC)=∠(AD,DC).{\displaystyle \angle (AB,BC)=\angle (AD,DC).}

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую (−∞;+∞){\displaystyle (-\infty ;+\infty )}: вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается на рассматриваемый в стереометрии телесный угол.

Телесный угол

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах — в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

  • двугранный угол — часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
  • трёхгранный угол — часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
  • многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре — прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ, то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ.

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке Р определяется как угол между касательными А и В в P.

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB{\displaystyle AB}и CD{\displaystyle CD} (обозначение: ∠(AB,CD){\displaystyle \angle (AB,CD)}) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB{\displaystyle AB} так, чтобы она стала параллельна прямой CD.{\displaystyle CD.} При этом углы, отличающиеся на n·180° (n — целое число), считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD{\displaystyle CD} и AB{\displaystyle AB} не равен ориентированному углу между прямыми AB{\displaystyle AB} и CD{\displaystyle CD} (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а) ∠(AB,BC)=−∠(BC,AB);{\displaystyle \angle (AB,BC)=-\angle (BC,AB);} б) ∠(AB,CD)+∠(CD,EF)=∠(AB,EF);{\displaystyle \angle (AB,CD)+\angle (CD,EF)=\angle (AB,EF);} в) точки A,B,C,D,{\displaystyle A,B,C,D,} не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда ∠(AB,BC)=∠(AD,DC).{\displaystyle \angle (AB,BC)=\angle (AD,DC).}

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую (−∞;+∞){\displaystyle (-\infty ;+\infty )}: вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается на рассматриваемый в стереометрии телесный угол.

Телесный угол

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах — в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

  • двугранный угол — часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
  • трёхгранный угол — часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
  • многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре — прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ, то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ.

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке Р определяется как угол между касательными А и В в P.

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Обозначение углов

«∠», обозначение угла в геометрии.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: ∠,{\displaystyle \angle ,} предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ABC.{\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B{\displaystyle B} — вершина, а A{\displaystyle A} и C{\displaystyle C} — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.
См. .

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠(bc){\displaystyle \angle (bc)} — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠BAC{\displaystyle \angle BAC}, α, который надо было бы обозначить ∠(cb){\displaystyle \angle (cb)}.

Так, для рисунка справа записи γ, ∠ACB{\displaystyle \angle ACB} и ∠(ba){\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

См. также

  • Углы Эйлера
  • Двугранный угол
  • Трёхгранный угол
  • Телесный угол
  • Азимут (геодезия)
  • Магнитный азимут
  • Азимут (астрономия)
  • Угловой размер
  • Угол места
  • Угол скольжения
  • Румб
  • Кастор (угол)
  • Золотое сечение
  • Угол обзора
  • Угол поля зрения объектива
  • Угловое разрешение
  • Угол поворота
  • Угол (наклона, уклона)
  • Угловая скорость (& CAV)
  • Угловое ускорение
  • Угловая частота
  • Угловой коэффициент (Линейная функция)
  • Изогона
  • Закон постоянства углов
  • Решение треугольников
  • Ортогональность
  • Тригонометрия
  • Пентагон (значения)
  • Полигонометрия
  • Триангуляция
  • Позиционный угол и Угловое расстояние (Полярные координаты)
  • Аспект (астрология)
  • Склонение (астрономия) и Часовой угол (Системы небесных координат)
  • Дирекционный угол
  • Тригонометрический параллакс & Параллактический угол
  • Астрономическая рефракция

Плоские углы

Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия (в том числе двугранного, трёхгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

Вертикальные и прилежащие углы

  • Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.
  • Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями, лежащими в одной плоскости. Величина угла, образованного внешними (не общими) сторонами прилежащих углов равна сумме величин самих прилежащих углов (на рисунке α + β).

Частные случаи прилежащих углов.

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами

Углы с параллельными сторонами.

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180° (см. рисунок) — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы («склеив» сонаправленные стороны).

Внешний угол треугольника

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с внешним углом.

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов αi произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nαi=(n−2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.}

Так,

  • сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
  • четырёхугольника — 360°,
  • пятиугольника — 540° и так далее.

Следствие

Назовём внешним углом βi (внимание, это не обычное определение внешнего угла) угол, дополняющий внутренний угол αi до полного угла: βi = 360° − αi.

Сумма внешних углов произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nβi=n⋅360∘−∑i=1nαi=(n+2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}=n\cdot 360^{\circ }-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n+2)\cdot 180^{\circ }.}

Литература

  • Сидоров Л. А. Угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 459‒460. — 623 с. — 150 000 экз.
  • Двугранный угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 50. — 552 с. — 150 000 экз.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30‒31. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Угломерные приборы/Угол (плоский) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. XXVI. — С. 459‒460. — 624 с.
  • K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry (англ.) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — P. 721‒745.

Типы углов

В зависимости от величины углы называются следующим образом.

  • Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
  • Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
  • Прямой угол (90°); стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
  • Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
  • Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
  • Развёрнутый угол (180°); сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны.
  • Выпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
  • Невыпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
  • Полный угол (360°) — см. оборот (единица измерения).

Плоские углы

Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия (в том числе двугранного, трёхгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

Вертикальные и прилежащие углы

  • Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.
  • Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями, лежащими в одной плоскости. Величина угла, образованного внешними (не общими) сторонами прилежащих углов равна сумме величин самих прилежащих углов (на рисунке α + β).

Частные случаи прилежащих углов.

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами

Углы с параллельными сторонами.

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180° (см. рисунок) — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы («склеив» сонаправленные стороны).

Внешний угол треугольника

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с внешним углом.

Углы многоугольника

Сумма внутренних углов αi произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nαi=(n−2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.}

Так,

  • сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
  • четырёхугольника — 360°,
  • пятиугольника — 540° и так далее.

Следствие

Назовём внешним углом βi (внимание, это не обычное определение внешнего угла) угол, дополняющий внутренний угол αi до полного угла: βi = 360° − αi.

Сумма внешних углов произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nβi=n⋅360∘−∑i=1nαi=(n+2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}=n\cdot 360^{\circ }-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n+2)\cdot 180^{\circ }.}

Угол в метрическом пространстве

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X,ρ){\displaystyle (X,\rho )} — метрическое пространство. Пусть далее, x,y,z{\displaystyle x,y,z} — элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y{\displaystyle y} и z{\displaystyle z} с вершиной в точке x{\displaystyle x} как неотрицательное число yxz^{\displaystyle {\widehat {yxz}}}, которое удовлетворяет трём аксиомам:

  • yxz^=zxy^{\displaystyle {\widehat {yxz}}={\widehat {zxy}}}
  • yxz^={\displaystyle {\widehat {yxz}}=0} тогда и только тогда, когда ρ(y,z)=|ρ(x,y)−ρ(x,z)|{\displaystyle \rho (y,z)=|\rho (x,y)-\rho (x,z)|}
  • yxz^=π{\displaystyle {\widehat {yxz}}=\pi } тогда и только тогда, когда ρ(y,z)=ρ(x,y)+ρ(x,z){\displaystyle \rho (y,z)=\rho (x,y)+\rho (x,z)}

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

yxz^w=arccos⁡ρ2(x,y)+ρ2(x,z)−ρ2(y,z)2ρ(x,y)ρ(x,z){\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y−x{\displaystyle y-x} и z−x{\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.

© 2025 Энциклопедия Рунета