Что такое теорема

Связь с научными теориями

Теоремы в математике и теории в науке принципиально различаются по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; его ключевым атрибутом является то, что он поддается опровержению , то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально . Любое несогласие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неправильность научной теории или, по крайней мере, ограничивает ее точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, представляют собой чисто абстрактные формальные утверждения: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства таким же образом, как такие доказательства используются для поддержки научных теорий.

Гипотеза Коллатца : один из способов проиллюстрировать ее сложность — расширить итерацию с натуральных чисел до комплексных. В результате получается фрактал , который (по универсальности ) напоминает множество Мандельброта .

Тем не менее, открытие математических теорем требует некоторой степени эмпиризма и сбора данных. Создавая шаблон, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже план того, как приступить к доказательству. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 18 . Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие доказательства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса — это утверждение о натуральных числах, которое теперь известно как ложное, но не существует явного контрпримера (т. Е. Натурального числа n, для которого функция Мертенса M ( n ) равна или превышает квадратный корень из n ). известно: все числа меньше 10 14 обладают свойством Мертенса, а наименьшее число, не обладающее этим свойством, известно только как меньше экспоненты 1,59 × 10 40 , что приблизительно равно 10 в степени 4,3 × 10 39 . Поскольку число частиц во Вселенной обычно считается меньше 10 в степени 100 ( гугол ), нет никакой надежды найти явный контрпример путем исчерпывающего поиска .

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, в теории групп (см. Математическую теорию ). Существуют также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в инженерии, но они часто содержат утверждения и доказательства, в которых важную роль играют физические предположения и интуиция; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе опровергаются.

Раскладка теоремы

Теорема и её доказательство обычно выкладываются следующим образом:

Теорема и имя человека, который доказал её, и год открытия, доказательства или публикации.

Утверждение теоремы (иногда называемое суждением ).

Доказательство

Описание доказательства.

Конец.

Конец доказательства может быть обозначен буквами QED (quod erat manifrand) или одним из надгробных знаков «□» или «∎», означающим «Конец доказательства», введённым Полом Халмосом после их использования в журнальных статьях.

Точный стиль зависит от автора или публикации. Многие публикации предоставляют инструкции или макрокоманды для набора текста в стилистическом справочнике.

Обычно теореме предшествуют определения, описывающие точное значение терминов, используемых в теореме. Также изложение теоремы предваряет ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако леммы иногда включаются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия из теоремы представлены либо между теоремой и доказательством, либо непосредственно после доказательства. Иногда следствия имеют свои собственные доказательства, которые объясняют, почему они следуют из теоремы.

Интересные факты

Подсчитано, что ежегодно доказывается более четверти миллиона теорем.

Хорошо известный афоризм «математик — это устройство для превращения кофе в теоремы» часто приписывают выдающемуся математику Палу Эрдёшу, который был знаменит доказательством большого количества теорем, числом Эрдёша, характеризующем количество его возможных соавторов и огромным количеством выпиваемого им кофе. Однако это высказывание принадлежит коллеге Эрдёша, Альфреду Реньи (хотя Реньи, произнося эту фразу, скорее всего имел в виду Эрдёша).

Классификация простых конечных групп рассматривается некоторыми математиками как самое длинное доказательство теоремы. Её произвели около 100 авторов в 500 журнальных статьях, занимающих в общей сложности десяток тысяч страниц. Считается, что эти публикации вместе дают полное доказательство, и многие математики надеются сократить и упростить это доказательство. Другая теорема этого типа — проблема четырех красок, чьё компьютерное доказательство слишком длинное, чтобы человек мог его прочитать. Это, безусловно, самое длинное из известных доказательств теоремы, утверждение которых легко понять непрофессионалу.

Теоремы в логике

Логика, особенно в области теории доказательства, считает теоремы как заявления (названными формулами или хорошо сформированными формулами) формального языка. Заявления языка — ряды символов и могут быть широко разделены на ерунду и правильно построенные формулы. Ряд правил вычитания, также названных правилами преобразования или правилами вывода, должен быть обеспечен. Эти правила вычитания говорят точно, когда формула может быть получена из ряда помещения. Набор правильно построенных формул может быть широко разделен на теоремы и нетеоремы. Однако согласно Hofstadter, формальная система часто просто определяет всю свою правильно построенную формулу как теоремы.

Различные наборы правил происхождения дают начало различным интерпретациям того, что это означает для выражения быть теоремой. Некоторые правила происхождения и формальные языки предназначены, чтобы захватить математическое рассуждение; наиболее распространенные примеры используют логику первого порядка. Другие дедуктивные системы описывают переписывание термина, такое как правила сокращения для λ исчисления.

Определение теорем как элементы формального языка допускает результаты в теории доказательства, которые изучают структуру формальных доказательств и структуру доказуемых формул. Самый известный результат — теорема неполноты Гёделя; представляя теоремы об основной теории чисел как выражения на формальном языке, и затем представляя этот язык в пределах самой теории чисел, Гёдель построил примеры заявлений, которые не доказуемы и не опровержимы от axiomatizations теории чисел.

Теорема может быть выражена на формальном языке (или «формализована»). Формальная теорема — чисто формальный аналог теоремы. В целом формальная теорема — тип правильно построенной формулы, которая удовлетворяет определенные логические и синтаксические условия. Примечание часто используется, чтобы указать, что это — теорема.

Формальные теоремы состоят из формул формального языка и правил преобразования формальной системы. Определенно, формальная теорема всегда — последняя формула происхождения в некоторой формальной системе, каждая формула которой является логическим следствием формул, которые прибыли перед ним в происхождение. Первоначально принятые формулы в происхождении называют его аксиомами и являются основанием, на котором получена теорема. Ряд теорем называют теорией.

Что делает формальные теоремы полезными, и интереса то, что они могут интерпретироваться как истинные суждения, и их происхождения могут интерпретироваться как доказательство правды получающегося выражения. Ряд формальных теорем может упоминаться как формальная теория. Теорему, интерпретация которой — истинное заявление о формальной системе, называют метатеоремой.

Синтаксис и семантика

Понятие формальной теоремы существенно синтаксическое, в отличие от понятия истинного суждения, которое вводит семантику. Различные дедуктивные системы могут привести к другим интерпретациям, в зависимости от предположений правил происхождения (т.е. вера, оправдание или другие методы). Разумность формальной системы зависит от того, являются ли все ее теоремы также законностью. Законность — формула, которая верна под любой возможной интерпретацией, например, в классической логической логической законности тавтологии. Формальную систему считают семантически полной, когда все ее тавтологии — также теоремы.

Происхождение теоремы

Понятие теоремы очень тесно связано с ее формальным доказательством (также названный «происхождением»). Чтобы иллюстрировать, как происхождения сделаны, мы будем работать в очень упрощенной формальной системе. Давайте назовем наш, Его алфавит состоит только из двух символов {A, B}, и его правило формирования для формул:

Ряд:Any символов этого — по крайней мере три символа долго и весьма конечно длинен, формула. Ничто иное не формула.

Единственная аксиома:

:ABBA.

Единственное правило вывода (правило преобразования) для:

Возникновение:Any «A» в теореме может быть заменено возникновением последовательности «AB», и результат — теорема.

Теоремы в определены как те формулы, у которых есть происхождение, заканчивающееся той формулой. Например

1. ABBA (Данный как аксиома)
2. ABBBA (применяя правило преобразования)
3. ABBBAB (применяя правило преобразования)

происхождение. Поэтому «ABBBAB» — теорема понятия правды (или ошибочность) не может быть применен к формуле «ABBBAB», пока интерпретация не дана ее символам. Таким образом в этом примере, формула еще не представляет суждение, но является просто пустой абстракцией.

Две метатеоремы:

Теорема:Every начинается с «A».

теоремы:Every есть точно два «A» s.

Примечания

1. Elisha Scott Loomis. . Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Дата обращения 26 сентября 2010.
2. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — Москва: «Советская Энциклопедия», 1988. — С. 580. — 847 с.
3. However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii: «theorem (θεώρημα) from θεωρεῖν to investigate»
4. Doron Zeilberger. .
5. Петковсек и соавт. 1996.
6. Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Plane Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1913.
7. Wentworth & Smith Art. 51
8. Следует Wentworth & Smith Art. 79
9. Слово закон также может относиться к аксиоме, правилу вывода или, в теории вероятности, распределению вероятности .
10. Hoffman 1998, p. 204.
11. Hoffman 1998, p. 7.

Как доказывать теоремы

Каждый школьник должен знать, что такое теорема, и доказательство теорем. На самом деле доказать какое-либо утверждение не так-то просто. Для этого нужно оперировать многими данными и уметь делать логические выводы. Конечно, если вы неплохо владеете информацией по определенной научной дисциплине, то доказать теорему для вас не составит особого труда. Главное — выполнять процедуру доказательства в определенной логической последовательности.

Для того чтобы научиться доказывать теоремы по таким научным дисциплинам, как геометрия и алгебра, нужно иметь неплохой багаж знаний, а также знать сам алгоритм доказательства. Если вы освоите такую процедуру, то решать математические задачи впоследствии для вас не составит особого труда.

Терминология

Много различных условий для математических заявлений существуют, эти условия указывают на ролевую игру заявлений в конкретной теме. Различие между различными условиями иногда довольно произвольно, и использование некоторых условий развивалось в течение долгого времени.

Аксиома или постулат — заявление, которое принято без доказательства и расценено как фундаментальное для предмета. Исторически они были расценены как «самоочевидные», но позже их считают предположениями, которые характеризуют предмет исследования. В классической геометрии аксиомы — общие утверждения, в то время как постулаты — заявления о геометрических объектах. Определение также принято без доказательства, так как это просто дает значение слова или фразы с точки зрения известных понятий.

Суждение — общее обозначение для теоремы никакого особого значения. Этот термин иногда означает заявление с простым доказательством, в то время как термин теорема обычно резервируется для самых важных результатов или тех с длинными или трудными доказательствами. В классической геометрии суждение может быть строительством, которое удовлетворяет данные требования; например, Суждение 1 в Книге I элементов Евклида является строительством равностороннего треугольника.

Аннотация — «теорема помощи», суждение с небольшой применимостью за исключением того, что это является частью доказательства большей теоремы

В некоторых случаях, поскольку относительная важность различных теорем становится более ясной, что когда-то считали аннотацией, теперь считается теоремой, хотя слово «аннотация» остается на имя. Примеры включают аннотацию Гаусса, аннотацию Зорна и Фундаментальную аннотацию.

Заключение — суждение, которое следует с минимальным доказательством от одной другой теоремы или определения.

Обратной из теоремы является заявление, сформированное, обмениваясь тем, что дано в теореме и что должно быть доказано

Например, теорема равнобедренного треугольника заявляет, что, если две стороны треугольника равны тогда, два угла равны. В обратном обменяны данные (что две стороны равны) и что должно быть доказано (что два угла равны), таким образом, обратным является заявление, что, если два угла треугольника равны тогда, две стороны равны. В этом примере обратное может быть доказано как другая теорема, но это часто — не случай. Например, обратным к теореме, что два прямых угла — равные углы, является заявление, что два равных угла должны быть прямыми углами, и это — ясно не всегда случай.

Есть другие термины, реже использованные, которые традиционно присоединены к доказанным заявлениям, так, чтобы определенные теоремы были упомянуты историческими или обычными именами. Для примеров:

• Идентичность, используемая для теорем, которые заявляют равенство между двумя математическими выражениями. Примеры включают формулу Эйлера и личность Вэндермонда.
• Правило, используемое для определенных теорем, таких как правление Бейеса и правление Крамера, которые устанавливают полезные формулы.
• Закон. Примеры включают закон больших количеств, закон косинусов и ноль Кольмогорова один закон.
• Принцип. Примеры включают принцип Гарнака, наименьшее количество принципа верхней границы и принцип ящика.

нескольких известных теорем есть еще более особенные имена. Алгоритм подразделения (см. Евклидово подразделение) является теоремой, выражающей результат подразделения в натуральных числах и более общих кольцах. Личность Безута — теорема, утверждая, что самый большой общий делитель двух чисел может быть написан как линейная комбинация этих чисел. Банаховый-Tarski парадокс — теорема в теории меры, которая парадоксальна в том смысле, что это противоречит общим интуициям об объеме в трехмерном пространстве.

Бездоказательное заявление, которому верят верное, называют догадкой (или иногда гипотеза, но с различным значением от того, обсужденного выше). Чтобы считаться догадкой, заявление должно обычно предлагаться публично, в котором пункте имя сторонника может быть присоединено к догадке, как с догадкой Гольдбаха. Другие известные догадки включают догадку Collatz и гипотезу Риманна. С другой стороны, последняя теорема Ферма всегда была известна тем именем, даже прежде чем это было доказано; это никогда не было известно как догадка «Ферма».

Неофициальный счет теорем

Логически, много теорем имеют форму показательного условного предложения: если A, то B. Такая теорема не утверждает B, только что B — необходимое последствие A

В этом случае A называют, гипотеза теоремы (обратите внимание на то, что «гипотеза» здесь — что-то совсем другое от догадки) и B заключение (формально, A, и B называют предшествующим и последовательным). Теорема, «Если n — ровное натуральное число тогда n/2, является натуральным числом», типичный пример, в котором гипотеза «n, ровное натуральное число», и заключение «n/2, также натуральное число»

Чтобы быть доказанной, теорема должна быть выразимой как точное, формальное заявление. Тем не менее, теоремы обычно выражаются на естественном языке, а не в абсолютно символической форме с намерением, что читатель может произвести формальное заявление из неофициального.

Распространено в математике выбрать много гипотез в пределах данного языка и объявить, что теория состоит из всех заявлений, доказуемых из этих гипотез. Их форма гипотезы основополагающее основание теории и называют аксиомами или постулатами. Область математики, известной как теория доказательства, изучает формальные языки, аксиомы и структуру доказательств.

Некоторые теоремы «тривиальны», в том смысле, что они следуют из определений, аксиом и других теорем очевидными способами и не содержат удивительного понимания. Некоторых, с другой стороны, можно назвать «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, включить области математики, поверхностно отличной от заявления самой теоремы или шоу удивительные связи между разрозненными областями математики. Теорема могла бы быть проста заявить и все же быть глубокой. Превосходный пример — Последняя Теорема Ферма, и есть много других примеров простых все же глубоких теорем в теории чисел и комбинаторике среди других областей.

других теорем есть известное доказательство, которое не может легко быть записано. Самые видные примеры — четыре цветных теоремы и догадка Kepler. Обе из этих теорем, как только известно, верны, уменьшая их до вычислительного поиска, который тогда проверен компьютерной программой. Первоначально, много математиков не принимали эту форму доказательства, но это стало более широко принятым. Математик Дорон Зейлбергер даже пошел, насколько утверждать, что это возможно единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо доказывали математики. Много математических теорем могут быть уменьшены до большего количества прямого вычисления, включая многочленные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождества.

Связь с научными теориями

Теоремы в математике и теории в науке принципиально отличаются по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; её ключевой атрибут заключается в том, что он фальсифицируется, то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально . Любое несоответствие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неверность научной теории или, по крайней мере, ограничивает её точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, являются чисто абстрактными формальными утверждениями: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства так же, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий.

Гипотеза Коллатца : один из способов проиллюстрировать её сложность — расширить итерацию от натуральных чисел до комплексных чисел. Результатом является фрактал, который (в соответствии с универсальностью) напоминает множество Мандельброта .

Тем не менее, существует определенная степень эмпиризма и сбора данных, связанных с открытием математических теорем. Устанавливая модель, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже о том, как приступить к выполнению доказательства. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 18 . Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.

Такие свидетельства не являются доказательством. Например,  — это некоторое неверное утверждение о натуральных числах, однако явный контпример неизвестен. Известно только, что наименьший контрпример не меньше 10 14 и не больше 104,3 × 1039. Найти явный контрпример с помощью полного перебора невозможно, однако известно, что он существует.

Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, теория групп. Есть также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в технике, но они часто имеют утверждения и доказательства, в которых физические предположения и интуиция играют важную роль; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе фальсифицируемы.

Макет

Теорема и ее доказательство обычно излагаются следующим образом:

Теорема (имя человека, который ее доказал, с указанием года открытия или публикации доказательства).

Формулировка теоремы (иногда называемая предложением ).

Доказательство .

Описание доказательства.

Конец

Окончание доказательства может быть обозначено буквами QED ( quod erat manifestrandum ) или одним из знаков надгробия , например «□» или «∎», означающим «Конец доказательства», введенным Полом Халмосом после их использования в журналы, чтобы отметить конец статьи.

Точный стиль зависит от автора или публикации. Многие издания предоставляют инструкции или макросы для набора в домашнем стиле .

Обычно теореме предшествуют определения, описывающие точное значение терминов, используемых в теореме. Также обычно теореме предшествует ряд предложений или лемм, которые затем используются в доказательстве. Однако леммы иногда вкладываются в доказательство теоремы либо с вложенными доказательствами, либо с их доказательствами, представленными после доказательства теоремы.

Следствия теоремы приводятся либо между теоремой и доказательством, либо сразу после доказательства. Иногда у следствий есть собственные доказательства, объясняющие, почему они следуют из теоремы.