Что такое тангенс угла и как его найти

Вычисление тангенса числа или любого угла

\(tg\: t=\)\(\frac{sin\:⁡t}{cos\:⁡t}\)

Пример. Вычислите \(tg\:0\).Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус \(0\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:

Точка \(0\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси косинусов, значит \(cos\:0=1\). Если из точки \(0\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(sin\:⁡0=0\). Получается: \(tg\:0=\)\(\frac{sin\:⁡0}{cos\:⁡0}\) \(=\)\(\frac{0}{1}\)\(=0\).

Ответ: \(0\).

Пример. Вычислите \(tg\:(-765^\circ)\).Решение:   \(tg\: (-765^\circ)=\)\(\frac{sin\:(-⁡765^\circ)}{cos\:⁡(-765^\circ)}\)
Что бы вычислить синус и косинус \(-765^°\). Отложим \(-765^°\) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на \(720^°\) , а потом еще на \(45^°\).

\(sin⁡(-765^°)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(cos⁡(-765^°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ;
получается \(tg(-765^°)= -\frac{\sqrt{2}}{2} ∶ \frac{\sqrt{2}}{2}=-1\).

Ответ: \(-1\).

Пример. Вычислите \(tg\:\frac{π}{3}\).Решение:   \(tg\: \frac{π}{3}=\)\(\frac{sin\:⁡\frac{π}{3}}{cos\:⁡\frac{π}{3}}\). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
\(sin⁡(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(cos⁡(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\) ;
получается \(tg(\frac{π}{3})= \frac{\sqrt{3}}{2} ∶ \frac{1}{2}= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}\).

Ответ: \(\sqrt{3}\).

Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.

Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

Пример. Вычислите \(tg\:\frac{π}{4}\).Решение:   
1)Отмечаем \(\frac{π}{4}\) на окружности.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).

Ответ: \(1\).

Пример. Вычислите \(tg\: 45°\) и \(tg\: (-240°)\).Решение:   
Для угла \(45°\) (\(∠KOA\)) тангенс будет равен \(1\), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось тангесов. А для угла \(-240°\) (\(∠KOB\)) тангенс равен \(-\sqrt{3}\) (приблизительно \(-1,73\)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

Таблица тангенсов от 0° до 180°

Таблица тангенсов углов от 271° до 360°

Таблица тангенсов от 181° до 360°