Ряд

В словаре Фасмера Макса

род. п. -а, укр. ряд, др.-русск. рядъ, ст.-слав. рѩдъ τάξις, διαδοχή (Супр.), болг. ред(ъ́т) «ряд, порядок, строка», сербохорв. ре̑д «ряд», словен. rȇd, род. п. -а «порядок, ряд, ярус», чеш. řád «порядок, класс (бот.); строй», слвц. rád, польск. rząd, род. rzędu «ряд», в.-луж. rjad, н.-луж. rěd «ряд, порядок». Сюда же ря́да «уговор, условие», арханг. (Подв.), вятск. (Васн.), колымск. (Богораз), сербохорв. ре̏да «ряд», чеш. řada «ряд, очередь, шеренга», в.-луж. rjada, н.-луж. rěda.Родственно лит. rindа «ряд, линия», susirindoti «стать рядами», лтш. riñdа «ряд, линия» (куронизм), rist, riedu «приводить в порядок», ирл. rann ж. «часть», м. «стих», сюда же, с др. ступенью вокализма, *orǫdь̂je (см. ору́дие), ср. Педерсен, KZ 38, 310; М.–Э. 3, 527; Эндзелин, СБЭ 198; Зубатый, AfslPh 15, 496; Буга у Преобр. II, 241. Далее пытаются установить связь с греч. ἀραρίσκω «составляю», ἀρθμός м. «соединение», ἀριθμός «число»; см. Перссон 857. Недостоверно сравнение со ср.-перс. rand «след», randītan «тесать» (Шефтеловиц, WZKМ 34, 227). Из вост.-слав. происходит лит. rė̃das «порядок»; см. Лиден, Studien tillegn. Tegnér 586; Брюкнер, FW 125. Ср. ряди́ть.

Примеры

Анимация, показывающая сходимость частичных сумм геометрической прогрессии ∑k=nqk{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}} (красная линия) к её сумме 11−q{\displaystyle {1 \over 1-q}} (синия линия) при |q|<1{\displaystyle |q|<1}.

• ∑n=∞qn=11−q,{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}},} где |q|<1,{\displaystyle |q|<1,} — сумма геометрической прогрессии

  ∑i=0∞12i=1+12+14+18+…=2{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots =2}

  , в частности

• ∑n=1∞1nα{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}

  ∑n=1∞1n2=π26{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} (ряд обратных квадратов).

  сходится для любой константы α>1, в частности

• ∑n=1∞1n=∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}={\infty }} — гармонический ряд расходится. Расходится и ряд ∑n=2∞1nln⁡n{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n}}}.
• ∑n=1∞1n(n+1)=∑n=1∞(1n−1n+1)=1{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=1} — телескопический ряд.

[править] Признаки сходимости:

• необходимый признак;
• признак сравнения;
• признак Даламбера;
• радикальный признак Коши;
• интегральный признак Коши;
• признак Раабе;
• признак Лейбница.

Необходимый признак используется для определения расходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n.

Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n.

Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n при условии \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ne 1.

Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n при условии \lim_{n \to \infty}\sqrt{a_n}\ne 1.

Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n при условии существования интегрируемой функции f(n)=a_n.

Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n.

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n.

Определение

Пусть {ai}i=1∞{\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }} — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

{sk}k=1∞,{\displaystyle \{s_{k}\}_{k=1}^{\infty },}

каждый элемент которой представляет собой сумму первых k членов исходной последовательности, называемой частичной суммой вида:

sk=∑i=1kai.{\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}.}

Рядом называется совокупность этих двух последовательностей. Вообще, для обозначения ряда используется символ:

∑i=1∞ai,{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
• числовой ряд расходится, если предел частичных сумм не существует или бесконечен;
• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел S{\displaystyle S} последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

S=∑i=1∞ai,{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}

Таким образом, если существует число
S=limn→∞∑i=1nai{\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}}, то в этом случае пишут ∑i=1∞ai=S{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=S}.

Дальнейшим обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда.

Большой толковый словарь

РЯД, -а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами. Строить дома в два ряда. Поставить ещё один ряд стульев. Книги стоят плотными рядами. Двигаться во втором ряду (во втором потоке, считая от обочины; о машинах при двухпоточном движении на трассе). 2. предл.: в ряду. Места для сидения в театре, кино и т.п.; расположенные таким образом. Первый ряд партера, балкона, бельэтажа. Сидеть в пятнадцатом ряду. Пробираться между рядами. Какое у вас место? — Шестой ряд, двадцатое кресло. 3. предл.: в ряду. Ларьки или прилавки для торговли однородными товарами, расположенные на рынке в одну линию. Молочный ряд. Рыбный ряд. Побывать в овощном ряду. // только мн.: ряды, -ов. Торговое здание, где лавки, магазины расположены подряд. Торговые ряды. Городские ряды. Мясные ряды. 4. предл.: в ряду. Совокупность явлений, событий, периодов времени, следующих одно за другим. Запись велась в течение ряда лет. Последствия Чернобыля ощутит на себе не один ряд поколений. Вернисаж замыкает ряд выставок художников-импрессионистов Франции. 5. только ед.; предл.: в ряде. чего. (обычно с прил. целый). Некоторое количество чего-л. однородного, однотипного. Накопился ряд вопросов. Рассмотрим ряд типовых случаев. Это правило имеет ряд исключений. Отстали по целому ряду причин. Напечатать ряд стихотворений молодого поэта. 6. предл.: в ряду. Строй в одну линию; шеренга. Ряды демонстрантов. Построиться в ряды; рядами. Расстроить ряды противника (нарушить его построение). Сдвоить ряды (перестроиться в одну шеренгу). Быть в первых рядах (также: первым отозваться на что-л.; успевать куда-л.; входить в число лучших). Сомкнуть, сплотить ряды (также: призыв к объединению своих сил, единству, единодушию). 7. обычно мн. кого-чего и с опр. Совокупность лиц, принадлежащих к какой-л. организации, группе, среде и т.п. Служить в рядах Советской Армии. Пополнить ряды безработных. Насчитывать в своих рядах до ста тысяч юношей и девушек. Выходец из рядов уральского казачества. Вступить в ряды демократической партии. Находиться в рядах защитников отечества. 8. предл.: в ряду. Совокупность величин, предметов, явлений, расположенных в определённой последовательности. 9. Полоса шириной в один взмах косы, в один захват косилки; прокос. Прокосить один ряд. // Вал скошенной травы, хлеба и т.п. Трава в рядах. ◊ Из ряда вон (выходящий). Необыкновенно, сильно отличающийся от других. <В ряде случаев, в зн. нареч. Иногда. Однако в ряде случаев вы неправы. В ряду кого-чего, в зн. предлога. Вместе с кем-, чем-л. Картина стоит в одном ряду с этими гениальными творениями Рембрандта. Из ряда вон. I. в зн. нареч. Очень плохо. Сегодня он пел из ряда вон. II. в функц. сказ. О том, что выделяется из ряда себе подобных своими худшими качествами, свойствами; очень плохой. Поведение твоё — из ряда вон. III. (в сочет. с последующим прил.). Обозначает высшую степень проявления признака, указанного прилагательным. Из ряда вон дурной день. Рядок; Рядовой (см.).

[править] Формула

S=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n+a_{n+1}+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n

Слагаемые ряда a_n называются членами ряда.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:

S=b_1-b_2+\ldots+(-1)^{n-1}b_n+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n

Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Сумма первых n членов называется частичной суммой S_n.

S_n=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n \Leftrightarrow S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i

\lim_{n \to \infty}S_n=S

Сходимость ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм – этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда 🙂

Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций, а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера  расходится.
Общий член ряда: Вывод: ряд  расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности  в статье Пределы. Примеры решений, наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны, тогда предел равен конечному числу.

Решаем:

Делим числитель и знаменатель на
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Готово.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде  или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо  равна старшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно. Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Знакомьтесь:
Данный ряд называется гармоническим рядом. Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:
1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , ,

Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма, например, ряда , важен сам факт его сходимости

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда  или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов, и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости: