Главная » Что это такое?

Что такое окружность

Обновлено

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками

Или через стороны треугольника:

d=OI=Ra3−a2b−ab2+b3−a2c+3abc−b2c−bc2−ac2+c3abc{\displaystyle d=OI=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}},

где R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

Расстояние от центра O до ортоцентра H есть:p. 449

OH=R2−8R2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=9R2−(a2+b2+c2).{\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}

Для центроида G и центра девяти точек N имеем:

IG<IO,{\displaystyle IG<IO,}
2IN<IO,{\displaystyle 2IN<IO,}
OI2=2R⋅IN.{\displaystyle OI^{2}=2R\cdot IN.}

Произведение радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника связано со сторонами a, b и c в виде: p. 189, #298(d):

rR=abc2(a+b+c).{\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда:p.122,#96

4R2h2(t2−h2)=t4(m2−h2).{\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}
  • Центр описанной окружности изогонально сопряжён с ортоцентром.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.
  • В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Полувписанная окружность

Теорема Тебо 3 утверждает (см. рис.):

Теорема Тебо 3

Пусть ABC{\displaystyle ABC} — произвольный треугольник, D{\displaystyle D} — произвольная точка на стороне BC{\displaystyle BC}, I1{\displaystyle I_{1}} — центр окружности, касающейся отрезков AD,BD{\displaystyle AD,BD} и описанной около ΔABC{\displaystyle \Delta ABC} окружности, I2{\displaystyle I_{2}} — центр окружности, касающейся отрезков CD,AD{\displaystyle CD,AD} и описанной около ΔABC{\displaystyle \Delta ABC} окружности. Тогда отрезок I1I2{\displaystyle I_{1}I_{2}} проходит через точку I{\displaystyle I} — центр окружности, вписанной в ΔABC{\displaystyle \Delta ABC}, и при этом I1III2=tg2⁡ϕ2{\displaystyle I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\phi }{2}}}, где ϕ=∠BDA{\displaystyle \phi =\angle BDA}.

Формула Карно утверждает, что в треугольнике ABC сумма расстояний от центра D описанной окружности до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника (иначе со знаком «+»), будет равна R+r{\displaystyle R+r}, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей:p.83.

Формула Карно: DG+DH−DF=R+r{\displaystyle DG+DH-DF=R+r}

Например для рисунка формула Карно примет вид: DG+DH−DF=R+r{\displaystyle DG+DH-DF=R+r}.

В другой формулировке формула Карно утверждает, что:

R+r=ka+kb+kc=12(dA+dB+dC),{\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}

где ka,kb,kc{\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a,b,c{\displaystyle a,b,c} треугольника,
dA,dB,dC{\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}} — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин A,B,C{\displaystyle A,B,C} треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны a{\displaystyle a} треугольника равно:

ka=a(2tgA);{\displaystyle k_{a}=a/(2tgA);}

расстояние от ортоцентра например до вершины A{\displaystyle A} треугольника равно:

dA=2ka=a(tgA).{\displaystyle d_{A}=2k_{a}=a/(tgA).}

Вариации по теме

Японская теорема (Japanese theorem)

Теорема. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.).

Для четырёхугольника

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (π{\displaystyle \pi } радиан).
Можно описать окружность около:

  • любого антипараллелограмма
  • любого прямоугольника (частный случай квадрат)
  • любой равнобедренной трапеции
  • любого четырёхугольника, у которого два противоположных угла прямые
  • любого четырёхугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов
  • любого четырёхугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины)
  • Первая теорема Птолемея. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон::
|AC|⋅|BD|=|AB|⋅|CD|+|BC|⋅|AD|.{\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.}.

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство. :

|AC||BD|=|AB|⋅|AD|+|BC|⋅|CD||AB|⋅|BC|+|CD|⋅|AD|.{\displaystyle {\frac {|AC|}{|BD|}}={\frac {|AB|\cdot |AD|+|BC|\cdot |CD|}{|AB|\cdot |BC|+|CD|\cdot |AD|}}.}

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

R=14(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)(p−a)(p−b)(p−c)(p−d){\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}}

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d){\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

Та же Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель:

S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}

Подробнее о четырёхугольниках, вписанных в окружность, можно прочитать в статье «Вписанный четырёхугольник».

Примечания

  1. ↑
  2. ↑
  3. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
  5. ↑ , с. 175–209.
  6. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  7. Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91, November 2007, 436—452.
  8. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
  9. ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  10. Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
  11. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
  12. Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И. В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
  13. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведённого из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
  14. ↑ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
© 2024 Энциклопедия Рунета