Свойства векторов
Среди основных свойств векторов следующие:
Equipolentes векторы
Это те свободные векторы, которые имеют одинаковый модуль, направление (или они параллельны) и чувствуют, что скользящий вектор или фиксированный вектор.
Эквивалентные векторы
Это происходит, когда два вектора имеют одинаковый адрес (или параллельные), одинаковый смысл, и, несмотря на наличие разных модулей и точек приложения, они вызывают одинаковые эффекты.
Равенство векторов
Они имеют один и тот же модуль, направление и смысл, хотя их отправные точки различны, что позволяет параллельному вектору двигаться самостоятельно, не затрагивая его..
Векторный блок
Это тот, в котором модуль равен единице (1). Это получается путем деления вектора на его модуль и используется для определения направления и смысла вектора, либо в плоскости, либо в пространстве, используя базовые или унифицированные нормализованные векторы, которые:
устои
Векторная алгебра возникла из изучения кватернионов (расширение действительных чисел) 1, i, j и k, а также декартовой геометрии, предложенной Гиббсом и Хевисайдом, которые поняли, что векторы будут служить инструментом для представляют различные физические явления.
Векторная алгебра изучается через три основы:
геометрически
Векторы представлены линиями, которые имеют ориентацию, а такие операции, как сложение, вычитание и умножение на действительные числа, определяются с помощью геометрических методов..
аналитически
Описание векторов и их операций выполняется с помощью чисел, называемых компонентами. Этот тип описания является результатом геометрического представления, потому что используется система координат.
аксиоматически
Описание векторов производится независимо от системы координат или любого типа геометрического представления..
Изучение фигур в пространстве осуществляется через их представление в системе отсчета, которая может быть в одном или нескольких измерениях. Среди основных систем:
— Одномерная система, представляющая собой линию, в которой одна точка (O) представляет начало координат, а другая точка (P) определяет масштаб (длину) и ее направление:
— Прямоугольная система координат (двумерная), которая состоит из двух перпендикулярных линий, называемых осью x и осью y, которые проходят через точку (O) начала координат; таким образом, плоскость делится на четыре области, называемые квадрантами. В этом случае точка (P) на плоскости задается расстояниями, которые существуют между осями и P.
— Полярная система координат (двумерная). В этом случае система состоит из точки O (начала координат), которая называется полюсом, и луча с началом координат O, называемого полярной осью. В этом случае точка P плоскости, относительно полюса и полярной оси, задается углом (Ɵ), который образован расстоянием между началом координат и точкой P.
— Прямоугольная трехмерная система, образованная тремя перпендикулярными линиями (x, y, z), которые имеют точку начала O в пространстве. Формируются три координатные плоскости: xy, xz и yz; пространство будет разделено на восемь областей, называемых октантами. Ссылка на точку P пространства задается расстояниями, которые существуют между плоскостями и P.
Компоненты вектора
Компоненты вектора — это те значения проекций вектора на оси системы отсчета; В зависимости от разложения вектора, которое может быть в двух или трех осях, будут получены два или три компонента, соответственно.
Компоненты вектора являются действительными числами, которые могут быть положительными, отрицательными или даже нулевыми (0).
Таким образом, если у нас есть вектор origin, исходящий из прямоугольной системы координат в плоскости xy (двумерная), проекция на ось x равна Āx, а проекция на ось y — Āy. Таким образом, вектор будет выражаться как сумма составляющих его векторов..
Первый пример
У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Āх;и) = (4; 5) см.
Если вектор Ā действует в начале трехмерной треугольной системы координат (в пространстве) x, y, z, в другую точку (P), проекции на его оси будут Āx, Āy и Āz; таким образом, вектор будет выражаться как сумма трех компонентных векторов.
Второй пример
У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Aх;и; Z) = (4; 6; -3) см.
Векторы, которые имеют свои прямоугольные координаты, могут быть выражены через их базовые векторы. Для этого только каждая координата должна быть умножена на соответствующий ей единичный вектор таким образом, чтобы для плоскости и пространства они были следующими:
Для плоскости: Ā = Aхя + АиJ.
Для пространства: Ā = Aхя + АиJ + AZК.
Физическая интерпретация
Вектор, как структура, имеющая одновременно величину (модуль) и направление, рассматривается в физике как математическая модель скорости, силы, и связанных с ними величин, кинематических или динамических. Математической моделью многих физических полей (например, электромагнитного поля или поля скорости жидкости) являются векторные поля.
Абстрактные многомерные и бесконечномерные (в духе ) векторные пространства используются в лагранжевом и гамильтоновом формализме применительно к механическим и другим динамическим системам, а также в квантовой механике (см. Вектор состояния).
магнитуды
Величина — это физическая величина, которую можно подсчитать или измерить с помощью числового значения, как в случае некоторых физических явлений; тем не менее, часто необходимо иметь возможность описать эти явления с другими факторами, которые не являются числовыми. Вот почему величины делятся на два типа:
Скалярная величина
Это те величины, которые определены и представлены численно; то есть модулем вместе с единицей измерения. Например:
а) время: 5 секунд.
б) масса: 10 кг.
в) объем: 40 мл.
г) температура: 40ºC.
Векторная величина
Это те величины, которые определены и представлены модулем вместе с единицей, а также смыслом и направлением. Например:
а) Скорость: (5ȋ — 3ĵ) м / с.
б) ускорение: 13 м / с2; S 45º E.
в) Сила: 280 Н, 120º.
г) Вес: -40 ĵ кг-ф.
Векторные величины представлены графически векторами.
Обозначения
Вектор, представленный набором n{\displaystyle n} элементов (компонент) a1,a2,…,an{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}} обозначают следующими способами:
- ⟨a1,a2,…,an⟩, (a1,a2,…,an),{a1,a2,…,an}{\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}}.
Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:
- a¯, a→,a,A, a.{\displaystyle {\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.}
Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:
- a→+b→{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}.
Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:
- kb→{\displaystyle k{\vec {b}}},
причём число при этом обычно пишут слева.
Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»
Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть 1 и задачу 13. Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».
Общее определение
Наиболее общее определение вектора даётся средствами общей алгебры. Пусть F=⟨F;+,∗⟩{\displaystyle {\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle } — некоторое поле с аддитивной операцией +{\displaystyle +}, мультипликативной операцией ∗{\displaystyle *}, аддитивной единицей {\displaystyle 0} и мультипликативной единицей 1{\displaystyle 1}.
Пусть V=⟨V;+⟩{\displaystyle {\mathfrak {V}}=\langle V;+\rangle } — некоторая абелева группа с единицей {\displaystyle \mathbf {0} }. Если существует операция F×V→V{\displaystyle F\times V\to V}, такая что для любых a,b∈F{\displaystyle a,b\in F} и для любых x,y∈V{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V} выполняются соотношения:
- (a+b)x=ax+bx{\displaystyle (a+b)\mathbf {x} =a\mathbf {x} +b\mathbf {x} },
- a(x+y)=ax+ay{\displaystyle a(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\mathbf {x} +a\mathbf {y} },
- (a∗b)x=a(bx){\displaystyle (a*b)\mathbf {x} =a(b\mathbf {x} )},
- 1x=x{\displaystyle 1\mathbf {x} =\mathbf {x} },
тогда V{\displaystyle {\mathfrak {V}}} называется векторным пространством над полем F{\displaystyle {\mathfrak {F}}} (или линейным пространством), элементы V{\displaystyle V} называются векторами, элементы F{\displaystyle F} — скалярами, а указанная операция F×V→V{\displaystyle F\times V\to V} — умножением вектора на скаляр.
Многие результаты линейной алгебры обобщены до унитарных модулей над некоммутативными телами и даже произвольных модулей над кольцами, таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван как любой элемент модуля над кольцом.
В линейной алгебре
В линейной алгебре вектором называется элемент линейного пространства, что соответствует общему определению, приведённому ниже. Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.
Данным понятием вектора чаще всего пользуются при решении систем линейных алгебраических уравнений, а также при работе с линейными операторами (пример линейного оператора — оператор поворота).
Часто это определение расширяют, определяя норму или скалярное произведение (возможно, и то и другое вместе), после чего оперируют уже с нормированными и евклидовыми пространствами, со скалярным произведением связывают понятие угла между векторами, а с нормой — понятие длины вектора.
Многие математические объекты (например, матрицы, тензоры и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.
История
Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа
Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов и получаем:
