Волновые пакеты
Для облегчения решения практической задачи можно ввести, к примеру, определение волнового пакета. Каждый из них разбивается дальше на мелкие части. И эти подразделы взаимодействуют когерентно между аналогичными частотами другого пакета. Подобный аналитический метод широко распространён в радиотехнике и электронике. В частности, понятие спектра изначально вводилось для того, чтобы дать в руки инженеров надёжный инструмент, позволяющий оценить поведение сложного сигнала в конкретных случаях. Оценивается малая толика воздействия каждого гармонического колебания на систему, потом конечный эффект находится их полным сложением.
Следовательно, при оценке реальных процессов, не являющихся даже близко когерентными, допустимо разбить объект анализа на простейшие составляющие, чтобы оценить результат процесса. Расчёт упрощается с применением вычислительной техники. Машинные эксперименты показывают достоверность формул для имеющейся ситуации.
На начальном этапе анализа полагают, что пакеты с малой шириной спектра возможно условно заменить гармоническими колебаниями и в дальнейшем пользоваться обратным и прямым преобразованием Фурье для оценки результата. Эксперименты показали, что разброс фаз между выбранными пакетами постепенно возрастает (колеблется с постепенным увеличением разброса). Но для трёх волн разница постепенно сглаживается, согласуясь с излагаемой теорией. Накладывается ряд ограничений:
- Пространство должно быть бесконечным и однородным (k-пространство).
- Амплитуда волны не затухает с увеличением дальности, но меняется с течением времени.
Доказано, что в такой среде каждой волне удаётся подобрать конечный спектр, что автоматически делает возможным машинный анализ, а при взаимодействии пакетов спектр результирующей волны уширяется. Колебания по сути когерентными не считаются, но описываются уравнением суперпозиции, представленном ниже. Где волновой вектор ω(k) определяется по дисперсионному уравнению; Еk признано амплитудой гармоники рассматриваемого пакета; k – волновое число; r – пространственная координата, для показателя решается представленное уравнение; t – время.
Уравнение суперпозиции
Как мы можем повысить сердечную согласованность?
Хорошая согласованность сердечной деятельности, как вы уже догадались, имеет неисчислимые преимущества. Мало того, что вы будете чувствовать себя намного лучше физически, вы также сделаете свой мозг более эффективным в обработке информации, генерировании идей и связи с настоящим.
Но как мы это делаем? Как мы можем повысить сердечную согласованность? Вот несколько ключевых моментов:
- Биологическая обратная связь. Биологическая обратная связь является очень полезным видом терапии для людей с СДВГ, бессонницей, хронической болью, фобиями и многим другим. Цель амбициозна и очень интересна: контролировать физиологические функции человека и, таким образом, улучшать его физическое и психическое здоровье. Если вы хотите попробовать это, отправляйтесь в клинику, где специализируются на биологической обратной связи.
- Будьте в курсе того, что происходит внутри. Мы живем, сосредотачиваясь на внешнем и на том, что у нас есть или нет. Тем не менее, мы не связаны с тем, что происходит внутри нас, где сердце и разум отвечают за это. Научитесь слушать себя, контролировать свое дыхание и медитировать.
- Йога, внимательность, физические упражнения. Одним из способов обеспечения согласованности сердечной деятельности является выполнение упражнений, которые помогут вам лучше осознать свое сердце, то, как вы дышите и как вы себя чувствуете. Попробуйте делать час в день что-то из этого, или все вместе, и вы получите лучшую связь между разумом и телом.
Сердечная согласованность: связь мозга и сердца
Чтобы лучше понять концепцию когерентности сердца, давайте сначала проведем небольшой тест. Давайте посидим несколько минут и попробуем расслабиться. Положите руку на сердце и почувствуйте, как оно бьется на мгновение.
Бьется ли оно очень быстро или ритмично и спокойно? Если вы действительно расслаблены, ваше сердцебиение будет нормальным, и ваши мысли будут течь спокойно, без давления и негатива.
Такие эмоции, как страх, стресс или гнев, заставляют ваше сердце биться быстро и нерегулярно. Когда это происходит, это вызывает биохимический и органический хаос. Дисбаланс распространяется на остальные ваши органы, особенно ваш мозг. На самом деле ваше сердце посылает гораздо больше информации в ваш мозг, чем наоборот.
Два типа когерентности
Давайте рассмотрим простой пример. Представьте себе два поплавка, поднимающиеся и опускающиеся на поверхности воды. Предположим, что источником волн является единственная палка, которую гармонически погружают и вынимают из воды, нарушая спокойную гладь водной поверхности. При этом существует идеальная корреляция между движениями двух поплавков. Они могут не подниматься и опускаться точно по фазе, когда один идет вверх, а второй вниз, но разность фаз между позициями двух поплавков постоянна во времени. Гармонически колеблющийся точечный источник производит абсолютно когерентную волну.
Когда описывают когерентность световых волн, различают два ее типа – временную и пространственную.
Когерентность относится к способности света производить интерференционную картину. Если две световые волны сведены вместе, и они не создают областей повышенной и уменьшенной яркости, они называются некогерентными. Если они производят «идеальную» интерференционную картину (в смысле существования областей полной деструктивной интерференции), то они являются полностью когерентными. Если две волны создают «менее совершенную» картину, то считается, что они частично когерентны.
Интерферометр Майкельсона
Когерентность – это явление, которое лучше всего объяснить с помощью эксперимента.
В интерферометре Майкельсона свет от источника S (который может быть любым: солнцем, лазером или звездами) направлен на полупрозрачное зеркало M, которое отражает 50 % света в направлении зеркала M1 и пропускает 50 % в направлении зеркала M2. Луч отражается от каждого из зеркал, возвращается к M, и равные части света, отраженные от М1 и М2, объединяются и проецируются на экран B. Прибор можно настроить путем изменения расстояния от зеркала M1 до светоделителя.
Интерферометр Майкельсона, по существу, смешивает луч с задержанной во времени его собственной версией. Свет, который проходит по пути к зеркалу M1 должен пройти расстояние на 2d больше, чем луч, который движется к зеркалу M2.
Длина и время когерентности
Что наблюдается на экране? При d = 0 видно множество очень четких интерференционных полос. Когда d увеличивается, полосы становится менее выраженными: темные участки становятся ярче, а светлые – тусклее. Наконец, при очень больших d, превышающих некоторое критическое значение D, светлые и темные кольца исчезают полностью, оставляя лишь размытое пятно.
Очевидно, что световое поле не может интерферировать с задержанной во времени версией самого себя, если временная задержка достаточно велика. Расстояние 2D – это длина когерентности: интерференционные эффекты заметны, только когда разница в пути меньше этого расстояния. Данную величину можно преобразовать во время tc делением ее на скорость света с: tc = 2D / с.
Эксперимент Майкельсона измеряет временную когерентность световой волны: ее способность интерферировать с задержанной версией самой себя. У хорошо стабилизированного лазера tc=10-4 с, lc= 30 км; у фильтрованного теплового света tc=10-8 с, lc= 3 м.
Видность интерференционной картины с протяженным источником света
Рассмотрим оптическую схему опыта Юнга
(рис. 24). Если источник света не точечный
и имеет размер b поперек луча, то
интерференционная картина несколько
«смазывается», потому что каждый
точечный источник, из которых состоит
источник света, дает свою интерференционную
картину, и эти картины несколько сдвинуты
друг относительно друга.
Рис. 24
Будем считать, что источник света
представляет собой полоску постоянной
ширины и яркости. Картина полностью
«смажется», если интерференционные
картины от крайних точек источника
будут сдвинуты относительно друг друга
ровно на одну полосу интерференции, что
соответствует изменению разности хода
на одну длину волны.
Из рис. 24 видно, что при переходе от
одной точки источника света к другой
разность хода может измениться только
слева от экрана с двумя щелями. Выясним,
какому перемещению b точечного источника
на рис. 24 соответствует изменение
разности хода на .
Представим себе, что свет на рис. 24 идет
справа налево. Тогда слева получим
полосы интерференции от двух щелей.
Переход от одной полосы к другой
соответствует изменению разности хода
на . Именно такая
разность хода нас интересует для
определения размера источника света
b. То есть, размер источника b, когда свет
распространяется слева направо, равен
ширине полос, когда свет распространяется
справа налево. Ширина полос равна/,
где— угол, под
которым сходятся лучи справа налево
или расходятся слева направо. Если уголмал, то= L2/L1. Тогда ширина полос
равнаL1/L2.
Это и есть интересующий нас размер
источника b:
b =
,
при котором интерференционные полосы
полностью «смажутся».
Пространственная когерентность.
Если источник
света S
, служащий для создания в опыте Юнга
источников S1
и S2
не
точечный, например, ярко освещённая
щель конечной ширины, то интерференционные
полосы, получающиеся на экране от
различных узких щелей, на которые можно
мысленно разбить щельS,
смещены друг относительно друга.
Видимость интерференционных полос
уменьшается по мере увеличения ширины
b
щели S.
Когерентность
колебаний, которые совершаются в один
и тот же момент времени в разных точках
плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны, называют
пространственной когерентностью (в
отличие от временной когерентности
колебаний, совершающихся в одной и той
же точке, но в разные моменты времени).
Световая волна,
излучаемая точечным
источником, обладает полной пространственной
когерентностью, так же как и идеальная
плоская волна.
Пространственная
когерентность сохраняется по всему
поперечному сечению пучка света,
излучаемого лазером.
Частично когерентный
свет, общая интенсивность которого
,
можно рассматривать как совокупность
двух составляющих: когерентной с
интенсивностью
и
некогерентной с интенсивностью
, где
степень
когерентности света.
При наложении
частично когерентных волн с интенсивностями
и
интерферируют только их когерентные
составляющие. Некогерентные составляющие
создают равномерно освещённый фон
интерференционной картины.
В этом случае
.
Если
,
то
.
Условие когерентности
Световые волны, излучаемые двумя краями источника, в некоторый момент времени t обладают определенной разностью фаз прямо в центре между двумя точками. Луч, идущий от левого края δ до точки P2 должен пройти на d(sinθ)/2 дальше, чем луч, направляющийся к центру. Траектория луча, идущего от правого края δ до точки P2, проходит путь на d(sinθ)/2 меньше. Разность пройденного пути для двух лучей равна d·sinθ и представляет разность фаз Δф’ = 2πd·sinθ / λ. Для расстояния от P1 до P2 вдоль фронта волны мы получаем Δφ = 2Δφ’= 4πd·sinθ / λ. Волны, испускаемые двумя краями источника, находятся в фазе с P1 в момент времени t и не совпадают по фазе на расстоянии 4πdsinθ/λ в Р2. Так как sinθ ~ δ / (2L), то Δφ = 2πdδ / (Lλ). Когда Δφ = 1 или Δφ ~ 60°, свет больше не считается когерентным.
Δφ = 1 -> d = Lλ / (2πδ) = 0,16 Lλ / δ.
Пространственная когерентность говорит об однородности фазы волнового фронта.
Лампа накаливания является примером некогерентного источника света.
Когерентный свет можно получить от источника некогерентного излучения, если отбросить большую часть излучения. В первую очередь производится пространственная фильтрация для повышения пространственной когерентности, а затем спектральная фильтрация для увеличения временной когерентности.
Время когерентности
В реальной ситуации разнородные пакеты когерентны лишь на отдельном интервале. А далее расхождение фаз становится слишком большим, чтобы применять описанное выше уравнение. Чтобы вывести условия возможности вычислений, вводится понятие времени когерентности.
Полагается, что в начальный момент фазы всех пакетов одинаковы. Выбранные элементарные доли волны когерентны. Тогда искомое время находится как отношение числа Пи к ширине спектра пакета. Если время превысило когерентное, в данном участке уже нельзя использовать формулу суперпозиции для сложения колебаний – фазы слишком сильно отличаются друг от друга. Волна уже не когерентна.
Пакет возможно рассматривать, словно он характеризуется случайной фазой. В этом случае взаимодействие волн идёт по отличающейся схеме. Тогда находятся фурье-компоненты по указанной формуле для дальнейших расчётов. Причём взятые для расчёта две прочие компоненты берутся из трёх пакетов. Это случай совпадения с теорией, упомянутый выше. Следовательно, уравнение показывает зависимость всех пакетов. Точнее – результата сложения.
Для получения наилучшего результата нужно, чтобы ширина спектра пакета не превышала числа Пи, делённого на время решения задачи суперпозиции когерентных волн. При расстройке частоты амплитуды гармоник начинают осциллировать, точный результат получить сложно. И наоборот, для двух когерентных колебаний формула сложения упрощается максимально. Амплитуда находится как квадратный корень из суммы исходных гармоник, возведённых в квадрат и сложенных с собственным удвоенным произведением, помноженным на косинус разности фаз. У когерентных величин угол равен нулю, результат, как уже указано выше, получается максимальным.
Наравне с временем и длиной когерентности используют термин «длина цуга», что является аналогом второго термина. Для солнечного света эта дистанция составляет один микрон. Спектр нашего светила крайне широкий, что объясняет настолько мизерную дистанцию, где излучение считается когерентным самому себе. Для сравнения, длина цуга газового разряда достигает 10 см (в 100000 раз больше), а у лазера излучение сохраняет свойства и на километровых расстояниях.
С радиоволнами намного проще. Кварцевые резонаторы позволяют достичь высокой когерентности волны, чем объясняются пятна уверенного приёма на местности, граничащие с зонами молчания. Аналогичное проявляется при изменении имеющейся картины с течением суток, движением облаков и прочими факторами. Изменяются условия распространения когерентной волны, и интерференционная суперпозиция оказывает влияние в полной мере. В радиодиапазоне на низких частотах длина когерентности может превышать поперечник Солнечной системы.
Условия сложения сильно зависят от формы фронта. Наиболее просто задача решается для плоской волны. В действительности фронт обычно является сферическим. Точки синфазности находятся на поверхности шара. В бесконечно удалённой от источника местности условие плоскости возможно принять за аксиому, и дальнейший расчёт вести согласно взятому постулату. Чем ниже частота, тем проще создать условия для выполнения расчёта. И наоборот, источники света со сферическим фронтом (вспомним Солнце) сложно подогнать под стройную теорию, написанную в учебниках.
