Касательная прямая к окружности

История

Евклид делает несколько ссылок на касательную ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) к кругу в книге III Элементов (ок. 300 г. до н. Э.). В работе Аполлония « Коники» (ок. 225 г. до н.э.) он определяет касательную как линию,
между которой и кривой не может проходить никакая другая прямая линия .

Архимед (ок. 287 — ок. 212 до н. Э.) Нашел касательную к спирали Архимеда , рассматривая путь точки, движущейся по кривой.

В 1630-х годах Ферма разработал технику адекватности для вычисления касательных и других задач анализа и использовал ее для вычисления касательных к параболе. Техника адекватности подобна разнице между и и делению на степень . Самостоятельно Декарт использовал свой метод нормалей, основанный на наблюдении, что радиус круга всегда нормален к самому кругу.
ж(Икс+час){\ Displaystyle f (х + ч)}ж(Икс){\ displaystyle f (x)}час{\ displaystyle h}

Эти методы привели к развитию дифференциального исчисления в 17 веке . Многие внесли свой вклад. Роберваль открыл общий метод рисования касательных, рассматривая кривую, описываемую движущейся точкой, движение которой является результатом нескольких более простых движений.
Рене-Франсуа де Слюз и Йоханнес Худде нашли алгебраические алгоритмы для поиска касательных. Дальнейшие разработки включали разработки Джона Уоллиса и Исаака Барроу , приведшие к теории Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница .

Согласно определению 1828 года, касательная была «прямой линией, которая касается кривой, но не пересекает ее». Это старое определение предотвращает касание точек перегиба . Это было отклонено, и современные определения эквивалентны определениям Лейбница, который определил касательную как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой.

Задача Аполлония

Много частных случаев задачи Аполлония используют нахождение окружностей, касающихся одной или нескольких прямых. В простейшем из этих случаев строится окружность, касающаяся трёх заданных прямых (задача LLL). Центр любой такой окружности должен лежать на биссектрисе угла в точке пересечения любой пары этих прямых. В каждой точке пересечения прямых есть две биссектрисы. Пересечения этих биссектрис дают центры окружностей, являющихся решением. В общем случае существует четыре таких окружностей для треугольника, образованного пересечением трёх прямых — вписанная окружность и три вневписанных.

Анимация, показывающая инверсное преобразование задачи Аполлония. Синяя и красная окружности увеличиваются, пока не коснутся, и при инверсии относительно серой окружности переходят в две параллельные прямые. Жёлтые решения получаются путём перемещения вдоль этих прямых до касания зелёной окружности.

В общем случае задачу Аполлония можно свести к более простой задаче построения окружности, касающейся одной окружности и двух параллельных прямых (это сам по себе частный случай LLC). Чтобы это сделать, две из этих трёх заданных окружностей вплоть до их касания. Инверсия относительно окружности подходящего радиуса с центром в точке касания переводит эти две окружности в две параллельные прямые, а третью окружность — в другую окружность. Таким образом, решение может быть найдено путём перемещения окружности постоянного радиуса между двумя параллельными прямыми, пока не получим касание с преобразованной третьей окружностью. Обратная инверсия даст решения исходной задачи.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.

Касательная к окружности.

Окружность с центром в точке и радиусом R задается равенством .

Запишем это равенство в виде объединения двух функций:

Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая — нижней.

Таким образом, чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке , принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции (или ) в указанной точке.

Легко показать, что в точках окружности с координатами и касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями и соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках и — параллельны оси ординат и имеют уравнения и соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).

Касательная к эллипсу.

Эллипс с центром в точке с полуосями a и b задается уравнением .

Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций — верхнего и нижнего полуэллипса:

Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).

Пример.

Написать уравнения касательных к эллипсу в точках с абсциссами x=2.

Решение.

Найдем сначала ординаты точек касания, соответствующих абсциссам x=2. Для этого подставим значение x=2 в уравнение эллипса и решим полученное уравнение относительно y:

Таким образом, получаем две точки касания и , принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу соответственно.

Найдем уравнения полуэллипсов, для этого разрешим уравнение эллипса относительно y:

То есть, верхний полуэллипс задается функцией , а нижний — .

Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.

Первая касательная в точке :

Вторая касательная в точке :

Графическая иллюстрация.

Касательная к гиперболе.

Гипербола с центром в точке и вершинами и задается равенством (рисунок ниже слева), а с вершинами и — равенством (рисунок ниже справа).

В виде объединения двух функций гипербола представима как или .

В вершинах гиперболы касательные параллельны оси Оу для первого случая и параллельны оси Ох для второго.

Таким образом, для нахождения уравнения касательной к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.

Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.

Пример.

Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке .

Решение.

Запишем гиперболу в виде двух функций:

Выясним к какой функции принадлежит точка касания .

Для первой функции , следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.

Для второй функции , следовательно, точка принадлежит графику этой функции.

Находим угловой коэффициент касательной:

Таким образом, уравнение касательной имеет вид .

Графическая иллюстрация.

Касательная к параболе.

Для составления уравнения касательной к параболе вида в точке пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как . Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Ох.

Параболу сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y:

Теперь выясняем к какой из функций принадлежит точка касания и действуем по стандартной схеме.

Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Оу.

Пример.

Написать уравнение касательной к графику параболы , если угол наклона касательной равен .

Решение.

Представим параболу через две функции:

Мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке и равен тангенсу угла наклона: . Из этого равенства мы можем найти абсциссу точки касания.

Для первой функции: