Число, лежащее в основе современной музыки / habr

Общая характеристика

Звукоряд — простейшая первичная систематизация звуков для их осмысления или изучения, устанавливающая высоту и количество каких-либо звуков независимо от их связи между собой. Слово «звукоряд» употребляется в теории музыки, в музыкальной акустике и в инструментоведении в различных смыслах:

по отношению к музыкальным инструментам с фиксированной высотой тона (говорят, например, о звукоряде тара, лютни, фортепиано и т.д.);
по отношению к целостным музыкальным системам; в этом случае под звукорядом подразумевают совокупность всех звуков этих систем, понимаемых как материал (materia) для создания музыкального произведения (например, Полная система древнегреческой музыки, полный звукоряд церковной музыки в учении Гвидо Аретинского, обиходный звукоряд знаменного распева, 17-ступенный октавный звукоряд макама и т.п.);
для представления родов интервальных систем (говорят, например, о диатоническом, хроматическом, пентатоническом и других звукорядах);
в смысле категории лада, тонального или модального (говорят, например, о мажорном и минорном звукорядах, о ладовых звукорядах восточной макамо-мугамной традиции, о звукорядах натуральных ладов и др.);
по отношению к любым другим, естественным (например, натуральный звукоряд) или искусственно выстроенным (например, звукоряд равномерно темперированной октавы) последовательностям тонов.

Характеристика

Гармонический ряд звуков струны: с уменьшением длины волны в n раз, частота в n раз увеличивается.

Часто́ты последовательных звуков натурального звукоряда образуют арифметическую прогрессию:

f, 2f, 3f, 4f, …,

где f — частота основного тона (самого низкого звука натурального звукоряда). Таким образом, натуральный звукоряд образован всеми звуками, частота которых кратна частоте основного тона.

Натуральный звукоряд соответствует гармоническому спектру сложных колебаний осциллятора — физического источника звука (например, струны или воздушного столба в трубе): частота f основного тона, или первой гармоники, соответствует частоте основного колебания (осциллятора в целом), частоты гармонических обертонов (или высших гармоник) 2f, 3f, 4f, … — частотам колебаний его равных частей. Отношение частот звуков интервала, образованного звуками натурального звукоряда, равно отношению их номеров.

Шкала гармоник имеет постоянное строение, не зависящее от выбора высоты основного тона. Интервалы между соседними гармониками сужаются по мере движения по шкале вверх и представляют последовательно чистые октаву, квинту, кварту, одну большую и две малых терции, три больших секунды и т. д. При этом высоты 7, 11, 13 и 14 гармоник существенно отличаются от высот равномерно темперированного звукоряда. Шкала гармоник содержит ряд аккордов: первые пять-шесть образуют мажорное трезвучие (4-й, 5-й и 6-й — мажорное трезвучие, первые семь-восемь — не вполне точно малый мажорный септаккорд, первые девять-десять — большой мажорный нонаккорд.

Натуральный звукоряд не следует путать со звукорядами натуральных ладов.

Натуральные интервалы

Интервалы, которые образуются между звуками натурального звукоряда (в том числе с октавными переносами), нередко называют «натуральными». Впрочем, по поводу того, какие именно интервалы обозначать как «натуральные», в науке нет консенсуса. Теоретически любые интервалы внутри натурального звукоряда (в том числе, и микрохроматические) могут быть названы «натуральными», однако, такой общеупотребительной традиции не существует. В авторитетном Музыкальном словаре Римана (в так называемых римановских интервальных таблицах) натуральными («естественными») названы терции 5:4 и 6:5, сексты 5:3 и 8:5 и малая септима 7:4, а кварта 4:3, квинта 3:2, октава 2:1 и прима 1:1 названы «чистыми» (но не «натуральными»). В русской науке не только 3 (с учётом примы 4) главных консонанса, но также и перечисленные натуральные терции и сексты также называют «чистыми». Под словом «чистый» в данном контексте подразумевают отсутствие (непосредственно воспринимаемых на слух) биений. Акустически чистые интервалы положены в основу чистого строя.

Интервал, образующийся между седьмой и четвёртой гармониками (то есть 7:4), по традиции именуется «натуральной септимой» (от нем. Naturseptime)

На особую приятность (непосредственно связанную с простотой числового отношения) этого интервала впервые обратили внимание европейские учёные XVIII века. Дж

Тартини (в 1754 году) ввёл для натуральной септимы специальный нотный знак (выглядит как «недописанный» бемоль), а И. Ф. Кирнбергер даже придумал для натуральной септимы особую букву i. Наконец, Л. Эйлер (в 1773 году) описывал натуральную септиму как консонанс, введённый в современной (ему) музыке.

О знаках изменения тона

Таковыми знаками являются диезы (обозначаются символом #, означают повышение на полтона) и бемоли b (обозначаются символом b, говорят о понижении на полтона). В натуральном интервале они не выставляются одновременно.

Здесь есть важный нюанс: у ноты «Ля» отсутствует диез, являющийся пятым по порядку.

Этот нюанс свидетельствует о том, что в тональности, где есть минимум 5 диезов, этот интервал не появляется.

Тогда большая секста (б.6) от «Ля» ( A – F#) обнаруживается лишь в мажорах и минорах, в которых максимум 4 диеза.

Под такой критерий попадают такие тональности:

Мажорные: G, D, A и E.
Минорные: Em, Bm, F#m, C#m

Работая с интервалами без знаков повышения или понижения тона, нужно вычислить, какой звук здесь первым образуется с таким знаком. Дальше работа строится по указанному принципу.

Пример: идет поиск тональности с малой терцией E – G. Можно последовать по квинтовой окружности по направлению к диезам. Тогда знак должен возникать у ноты «Соль». Но он на этой позиции не фигурирует. Тогда структуры, имеющие минимум 3 #, данную терцию не содержат.

Можно пойти по такому же кругу, но уже к бемолям. Тогда бемоль должен образовываться около «Ми». Однако его нет. Тогда обозначенный интервал не появляется в структурах, где минимум 2 бемоля.

В результате поиска малая терция E – G есть в таких минорных и мажорных структурах, где:

нет знаков при ключе;
есть 1-2 диеза;
есть 1 бемоль.

Далее конкретизируются тональности по наименованиям и ступени, на которых возводится этот интервал.

В этом поможет такой принцип: в ладе 7 основных ступеней. И здесь есть 7 секунд, столько же терций и прочих интервалов. Они могут отличаться тоновым значением. Этот фактор обуславливается построением от определенной ступени.

Пример: есть мажорная и минорная структуры. Здесь малая секунда появляется дважды. В первом случае на 3 и 4 ступенях. Во втором — на 2 и 4 ступенях.

Тогда на других пяти ступенях выстраиваются только большие секунды.

Литература

Hindemith P. Unterweisung im Tonsatz. Teil 1. Mainz, 1937.
Крауфорд, Ф. Волны. (Берклеевский курс физики, том III) / Пер. с англ. — М.: Наука, 1976. — С. 65—67, 95—98.
Алдошина И. А., Приттс Р. Музыкальная акустика. Учебник для вузов. — СПб.: Композитор, 2006. — С. 49—53. — 719 с. — ISBN 5-7379-0298-6.
Пистон, У. Оркестровка. Учебное пособие / Пер. с англ. К. Иванова. — М.: Сов. композитор, 1990. — С. 197—201. — 464 с. — ISBN 5-85285-014-4. NB! В данном переводе термин harmonic (harmonic series) переводится как «обертон» (соответственно, «обертоновый ряд»), в результате чего основной тон в русском переводе оказывается соответствующим «первому обертону».
// Музыкальный энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — С. 389. — 672 с.
Натуральный звукоряд // Музыкальный энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — С. 374. — 672 с.
// Музыкальная энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1976. — Т. 3. — С. 911. — 1104 с.
// Большая российская энциклопедия. Том 22. — М., 2013. — С. 135.

Общая характеристика

по отношению к музыкальным инструментам с фиксированной высотой тона (говорят, например, о звукоряде тара, лютни, фортепиано и т.д.);
по отношению к целостным музыкальным системам; в этом случае под звукорядом подразумевают совокупность всех звуков этих систем, понимаемых как материал (materia) для создания музыкального произведения (например, Полная система древнегреческой музыки, полный звукоряд церковной музыки в учении Гвидо Аретинского, обиходный звукоряд знаменного распева, 17-ступенный октавный звукоряд макама и т.п.);
для представления родов интервальных систем (говорят, например, о диатоническом, хроматическом, пентатоническом и других звукорядах);
в смысле категории лада, тонального или модального (говорят, например, о мажорном и минорном звукорядах, о ладовых звукорядах восточной макамо-мугамной традиции, о звукорядах натуральных ладов и др.);
по отношению к любым другим, естественным (например, натуральный звукоряд) или искусственно выстроенным (например, звукоряд равномерно темперированной октавы) последовательностям тонов.

Нумерация звуков натурального звукоряда

Когда утверждают, что номера звуков натурального звукоряда равны номерам гармоник (гармонических частичных тонов) основного тона, а последовательные номера соответствующих гармонических обертонов отличаются от них на единицу, как показано на схеме:

Примечание. Помеченные стрелками тоны отклоняются от равномерно темперированных более чем на 10 центов.

возникает нужда называть основной тон нулевым обертоном, что существенно осложняет расчёты с участием обертоновых номеров и частот.

В научной и справочной литературе обычно используется нумерация обертонов, совпадающая с нумерацией звуков натурального звукоряда. При этом основной тон именуется первым обертоном.

Характеристика

Гармонический ряд звуков струны: с уменьшением длины волны в n раз, частота в n раз увеличивается.

Часто́ты последовательных звуков натурального звукоряда образуют арифметическую прогрессию:

f, 2f, 3f, 4f, …,

Натуральный звукоряд не следует путать со звукорядами натуральных ладов.

Почему двенадцать?

Если вы посмотрите на клавиатуру, то увидите, что в каждой октаве содержится 12 полутонов.
В случае фортепиано это всего лишь значит, что между, например, «до» первой октавы и «до» второй октавы расположено 11 клавиш. Вместе с одним из «до» (например, до второй октавы) мы получим 12 клавиш: до#, ре, ре#, ми, фа, фа#, соль, соль#, ля, ля#, си, до.

Но почему 12?

Может быть это просто случайность? Вот нравилось нашим предкам число 12, у них везде 12: 12 месяцев, 12 знаков зодиака, 12 колен Израилевых, 12 апостолов,… и здесь решили, пусть будет 12, и так и повелось. Или все же здесь есть объективный закон, и это число не случайно?

В этой статье я попытаюсь продемонстрировать, что это не случайность. Достаточно общие требования, вполне естественные для современной (западной) музыки, с математической необходимостью приводят нас к числу 12. Интересно, что причиной почему у нас появляется это значение является свойство другого числа (см. в конце статьи). Можно даже сказать, что оно то и лежит в основе современного звучания.

Нумерация звуков натурального звукоряда

Примечание. Помеченные стрелками тоны отклоняются от равномерно темперированных более чем на 10 центов.

Натуральный звукоряд в музыкальной практике

На некоторых музыкальных инструментах можно извлечь только звуки натурального звукоряда, среди них фанфара (и горн), рог (охотничий рог, альпийский рог, почтовый рожок, шофар и т. п.), натуральная труба (особенно её старинные разновидности, например, лур), натуральная валторна, так называемые обертоновые флейты (русская калюка, молдавская тилинка, некоторые разновидности общетюркского шогура), варган. На трумшайте, представляющем собой монохорд с резонатором, также извлекают только тоны натурального звукоряда. По отношению к этим и подобным инструментам говорят, что они звучат в «натуральном строе».

Натуральный строй таких музыкальных инструментов не следует путать с чистым строем. Например, (бо́льшая) малая септима чистого строя, полученная сложением чистой квинты (32{\displaystyle 3:2}) и чистой малой терции (65{\displaystyle 6:5}), имеет отношение частот звуков (32)×(65)=95{\displaystyle (3:2)\times (6:5)=9:5} (1017,6 ц), в то время как натуральная септима существенно у́же её: отношение частот звуков последней — 74{\displaystyle 7:4} (968,8 ц).

Звуки натурального звукоряда, а также унтертоны (которые не входят в натуральный звукоряд), используются в традиционной вокальной музыке (например, в индийской раге), в так называемом горловом пении тувинцев, монголов, тибетцев, у африканского народа ко́са и у некоторых других народов мира.

Изредка натуральный звукоряд используется в академической музыке, например, в первой и последней частях (соло валторны) Серенады op. 31 Б. Бриттена. Натуральный звукоряд встречается в так называемой спектральной музыке.

Для чего нужны тональности

Что такое тональности мы усвоили. Теперь давайте разберемся, зачем они нужны и как их использовать.

В прежние времена, тональности имели гораздо более глубокий смысл нежели сейчас. Так в музыке И.С. Баха тональности символизировали различные евангельские сюжеты. Подробнее о музыкальной символике в музыке Баха, вы можете прочитать у В.Б. Носиной.

В музыке эпохи романтизма, композиторы также наделяли тональности особыми смыслами. Ми бемоль мажор, к примеру, использовали, когда речь шла о любви и преданности, диалоге с Богом; Фа минор употребляли для выражения горечи, печали, невосполнимой утраты.

В XX веке композиторы Новой венской школы (Шенберг, Берг, Веберн), решили отказаться от тональности в традиционном понимании этого слова и раздвинули музыкальные рамки, в связи с чем появилась атональная музыка. Особо любопытным из вас, рекомендую послушать финал второго струнного квартета Шёнберга – именно с ним связывают начало атональности.

В наши дни семантика тональностей утратила свое значение, а вот практическая составляющая осталась. Давайте более подробно поговорим о том, зачем нужны тональности и как их использовать.

Самое первое и понятное значение тональности – настроение. Как вы помните, тональность обладает мажорным или минорным ладом, от которого зависит настроение музыки. Бывают и такие случаи, когда минорное произведение звучит бодро и живо, а мажорное наоборот погружает в задумчивое состояние, нагоняя воспоминания и легкую тоску. Этих оттенков можно достичь, скорее, за счет фактуры, ритма и темпа, которые влияют на характер произведения. Тональность же, сразу дает понять какое настроение несет музыка.

Второе значение тональностей связано с удобством. Музыканты, которые аккомпанируют вокалистам, часто сталкиваются с ситуацией, когда вокалист «не в голосе» и просит сыграть на тон-полтора ниже оригинальной тональности, дабы не перегружать голосовые связки. Опытный музыкант может транспонировать на ходу и играть в разных тональностях одно и то же произведение.

Натуральные интервалы

На особую приятность (непосредственно связанную с простотой числового отношения) этого интервала впервые обратили внимание европейские учёные XVIII века. Дж. Тартини (в 1754 году) ввёл для натуральной септимы специальный нотный знак (выглядит как «недописанный» бемоль), а И. Ф. Кирнбергер даже придумал для натуральной септимы особую букву i

Наконец, Л. Эйлер (в 1773 году) описывал натуральную септиму как консонанс, введённый в современной (ему) музыке.

Общая характеристика

по отношению к музыкальным инструментам с фиксированной высотой тона (говорят, например, о звукоряде тара, лютни, фортепиано и т.д.);
по отношению к целостным музыкальным системам; в этом случае под звукорядом подразумевают совокупность всех звуков этих систем, понимаемых как материал (materia) для создания музыкального произведения (например, Полная система древнегреческой музыки, полный звукоряд церковной музыки в учении Гвидо Аретинского, обиходный звукоряд знаменного распева, 17-ступенный октавный звукоряд макама и т.п.);
для представления родов интервальных систем (говорят, например, о диатоническом, хроматическом, пентатоническом и других звукорядах);
в смысле категории лада, тонального или модального (говорят, например, о мажорном и минорном звукорядах, о ладовых звукорядах восточной макамо-мугамной традиции, о звукорядах натуральных ладов и др.);
по отношению к любым другим, естественным (например, натуральный звукоряд) или искусственно выстроенным (например, звукоряд равномерно темперированной октавы) последовательностям тонов.

Примечания

Отсюда и происходит название звукоряда — «натуральный», то есть «природный», «естественный» (нем. Naturtonreihe).
Первая гармоника (гармонический частичный тон) соответствует основному тону, вторая гармоника — первому (гармоническому) обертону, третья гармоника — второму обертону и т. д. См.: Натуральный звукоряд. В кн.: Большая российская энциклопедия. Энциклопедический словарь. М., 2011, с.843.
Примечателен русский перевод книги У. Пистона (см. список литературы), в котором термин harmonic (гармоника, то есть гармонический частичный тон) всюду переводится как «обертон», в результате чего, например, the second harmonic (вторая гармоника, то есть первый гармонический обертон в строгой терминологии) в переводе оказывается «вторым обертоном».
Riemann Musiklexikon, Sachteil. Hrsg. v. H.H.Eggebrecht. Mainz, 1967, S.411 ff.
Почти такой же терминологии придерживается Ю. Н. Холопов в своём теоретическом курсе гармонии — см. Холопов Ю. Н. Гармония. Теоретический курс. — М.: Музыка, 1988. (Переиздание: СПб.: Издательство «Лань», 2003. — ISBN 5-8114-0516-2), Приложение 3: «Таблица интервалов».
Среди сочинений Кирнбергера — Соната соль мажор для флейты и basso continuo из сборника «Vermischte Musikalien» (1769), в которой предписано употребление ступени «F i», отстоящей от нижнего G на натуральную септиму. См. современное комментированное нотное издание: Kirnberger J. P. Sonata for flute and figured bass (G major) with the harmonic seventh from Vermischte Musikalien (1769) / R. Rasch (ed.). — Utrecht: Diapason Press, 1984. — ISBN 9070907038.
«Модернисты (recentiores) же сверх этих ввели пятый основной консонанс, который можно называть малой септимой (septimam minorem) <…> этот новый консонанс состоит в числовом отношении 4:7». Там же, p.335.
Натуральная септима значительно отличается и от меньшей («пифагоровой») малой септимы чистого строя (169{\displaystyle 16:9}), получаемой сложением двух чистых кварт (или вычитанием из октавы большего целого тона). Интервал, на который пифагорова малая септима превосходит натуральную, равен так называемой архитовой комме (6463{\displaystyle 64:63}, или 27,3 ц).

Литература

Hindemith P. Unterweisung im Tonsatz. Teil 1. Mainz, 1937.
Крауфорд, Ф. Волны. (Берклеевский курс физики, том III) / Пер. с англ. — М.: Наука, 1976. — С. 65—67, 95—98.
Алдошина И. А., Приттс Р. Музыкальная акустика. Учебник для вузов. — СПб.: Композитор, 2006. — С. 49—53. — 719 с. — ISBN 5-7379-0298-6.
Пистон, У. Оркестровка. Учебное пособие / Пер. с англ. К. Иванова. — М.: Сов. композитор, 1990. — С. 197—201. — 464 с. — ISBN 5-85285-014-4. NB! В данном переводе термин harmonic (harmonic series) переводится как «обертон» (соответственно, «обертоновый ряд»), в результате чего основной тон в русском переводе оказывается соответствующим «первому обертону».
// Музыкальный энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — С. 389. — 672 с.
Натуральный звукоряд // Музыкальный энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — С. 374. — 672 с.
// Музыкальная энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1976. — Т. 3. — С. 911. — 1104 с.
// Большая российская энциклопедия. Том 22. — М., 2013. — С. 135.