Топология

История

Семь мостов Кёнигсберга — известная задача, решённая Эйлером и способствовавшая развитию топологии

Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии.

Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с по годы — топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Аксиомы разделения

Многие из этих имен имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе, как объясняется в Истории аксиом разделения ; например, значения «нормальный» и «Т 4 » иногда меняются местами, аналогично «обычный» и «Т 3 » и т. д. Многие из понятий также имеют несколько названий; однако тот, который указан первым, всегда наименее вероятно будет двусмысленным.

У большинства этих аксиом есть альтернативные определения с тем же значением; приведенные здесь определения образуют единый образец, который связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .

  • Х является Т , либо Колмогорова , если любые две различные точки X являются топологически различимы . (Среди аксиом разделения является общей темой, что одна версия аксиомы требует T 0, а другая — нет.)
  • X является T 1 , или доступным, или Fréchet , если любые две различные точки в X разделены. Таким образом, X является T 1 тогда и только тогда, когда он одновременно является T и R . (Хотя вы можете говорить такие вещи, как пространство T 1 , топология Фреше и Предположим, что топологическое пространство X — это пространство Фреше , не называйте пространство Фреше в этом контексте, поскольку в функциональном анализе существует другое совершенно иное понятие пространства Фреше .)
  • Х является Хаусдорфово или Т 2 или разделены , если любые две различные точки X отделены друг от друга районах. Таким образом, X хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно одновременно является T и R 1 . Пространство Хаусдорфа также должно быть T 1 .
  • X есть T или Урысон , если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. AT пространство также должно быть Хаусдорфом.
  • X является регулярным , или T 3 , если это T и если дана любая точка x и замкнутое множество F в X такие, что x не принадлежит F , они разделены окрестностями. (Фактически, в регулярном пространстве любые такие x и F также разделены замкнутыми окрестностями.)
  • Х является Тихоновское , или Т , полностью Т 3 , или вполне регулярным , если Т и , если е, для любой точки х и замкнутое множество F в X такой , что х не принадлежит F , они отделены друг от друга непрерывным функция.
  • Х является нормальным , или Т 4 , если оно отделимо и если любые два непересекающиеся замкнутые подмножества X отделены друг от друга районах. (На самом деле пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества можно разделить непрерывной функцией; это лемма Урысона .)
  • Х является совершенно нормальным , или Т 5 или полностью Т 4 , если оно представляет собой Т 1 , и , если любые два разделенных множества отделены друг от друга районах. Совершенно нормальное пространство тоже должно быть нормальным.
  • Х является совершенно нормальным , или Т 6 или идеально Т 4 , если оно представляет собой Т 1 , и , если любые два непересекающиеся замкнутые множества точно отделены друг от непрерывной функции. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным хаусдорфовым.

Теорема Титце о расширении : в нормальном пространстве любую непрерывную вещественнозначную функцию, определенную на замкнутом подпространстве, можно продолжить до непрерывного отображения, определенного на всем пространстве.

дальнейшее чтение

  • Рышард Энгелькинг , Общая топология , Heldermann Verlag, Сигма-серия в чистой математике, декабрь 1989 г., ISBN  3-88538-006-4 .
  • Бурбаки ; Элементы математики: общая топология , Эддисон – Уэсли (1966).
  • Брайтенбергер, Э. (2006). «Список Иоганна Бенедикта». В Джеймс, И.М. (ред.). История топологии . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82375-5.
  • Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
  • (Предоставляет хорошо мотивированное геометрическое описание общей топологии и показывает использование группоидов при обсуждении теоремы ван Кампена , покрывающих пространств и пространств орбит .)
  • Вацлав Серпинский , Общая топология , Dover Publications, 2000, ISBN  0-486-41148-6
  • Пиковер, Клиффорд А. (2006). . Громовой пресс. ISBN 978-1-56025-826-1. (Предлагает популярное введение в топологию и геометрию)
  • Джеминьяни, Майкл С. (1990) , Элементарная топология (2-е изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

История

« Семь мостов Кенигсберга» — это проблема, которую решил Эйлер.

Топология как четко определенная математическая дисциплина возникла в начале двадцатого века, но некоторые отдельные результаты можно проследить на несколько столетий назад. Среди них некоторые вопросы геометрии, исследованные Леонардом Эйлером . Его статья 1736 года о семи мостах Кенигсберга считается одним из первых практических приложений топологии. С 14 ноября 1750 г

, Эйлер написал другу , что он понял важность ребер одного многогранника. Это привело к его многогранника формуле , V — E + F = 2 (где V , Е и F обозначают соответственно число вершин, ребер и граней многогранника)

Некоторые авторитеты считают этот анализ первой теоремой, знаменующей рождение топологии.

Дополнительный вклад внесли Огюстен-Луи Коши , Людвиг Шлефли , Иоганн Бенедикт Листинг , Бернхард Риман и Энрико Бетти . Листинг ввел термин «топология» в « Vorstudien zur Topologie» , написанном на его родном немецком языке в 1847 году, после того как он использовал это слово в течение десяти лет в переписке, прежде чем оно впервые появилось в печати. Английская форма «топология» использовалась в 1883 году в некрологе Листинга в журнале Nature, чтобы отличить «качественную геометрию от обычной геометрии, в которой в основном рассматриваются количественные отношения».

Их работа была исправлена, консолидирована и значительно расширена Анри Пуанкаре . В 1895 году он опубликовал свою новаторскую статью по Analysis Situs , в которой ввел понятия, известные теперь как гомотопия и гомология , которые теперь считаются частью алгебраической топологии .

Топологические характеристики замкнутых двумерных многообразий
Многообразие Число Эйлера Ориентируемость Бетти числа Коэффициент кручения (1-мерный)
б б 1 б 2
Сфера 2 Ориентируемый 1 1 никто
Тор Ориентируемый 1 2 1 никто
Тор с двумя отверстиями −2 Ориентируемый 1 4 1 никто
тор с отверстиями g ( род g ) 2 — 2 г Ориентируемый 1 2 г 1 никто
Проективная плоскость 1 Неориентируемый 1 2
Бутылка Клейна Неориентируемый 1 1 2
Сфера с гр перекрестных колпачками ( гр > 0 ) 2 — с Неориентируемый 1 с — 1 2
2-Коллектор с г отверстий и с поперечными колпачков ( с > 0 ) 2 — (2 г + с ) Неориентируемый 1 (2 г + с ) — 1 2

Объединяя работы Георга Кантора , Вито Вольтерры , Чезаре Арсела , Жака Адамара , Джулио Асколи и других над функциональными пространствами , Морис Фреше ввел метрическое пространство в 1906 году. Теперь метрическое пространство считается частным случаем общего топологического пространства с любым данное топологическое пространство потенциально дает начало множеству различных метрических пространств. В 1914 году Феликс Хаусдорф ввел термин «топологическое пространство» и дал определение тому, что сейчас называется хаусдорфовым пространством . В настоящее время топологическое пространство — это небольшое обобщение хаусдорфовых пространств, данное в 1922 году Казимежем Куратовским .

Современная топология сильно зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантором в конце XIX века. Помимо установления основных идей теории множеств, Кантор рассматривал точечные множества в евклидовом пространстве как часть своего исследования рядов Фурье . Для дальнейших разработок см топологию точечных наборов и алгебраическую топологию.

Связанные наборы

Топологическое пространство X называется отсоединен , если это объединение двух непересекающихся непустых открытых множеств . В противном случае X называется связным . Подмножество топологического пространства называется связным , если он подключен под его подпространством топологии . Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но эта статья не следует этой практике.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

  1. X связан.
  2. X нельзя разделить на два непересекающихся непустых замкнутых множества .
  3. Единственные подмножества X , которые одновременно открыты и закрыты ( закрытые множества ), — это X и пустое множество.
  4. Единственные подмножества X с пустой границей — это X и пустое множество.
  5. X нельзя записать как объединение двух непустых разделенных множеств .
  6. Единственные непрерывные функции от X до {0,1}, двухточечного пространства с дискретной топологией, являются постоянными.

Каждый интервал в R будет подключен .

Непрерывный образ связного пространства связан.

Подключенные компоненты

В максимальных связных подмножеств (заказанные включения ) из непустого топологического пространства называются компоненты связности пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение на  X : они не пересекаются , пусто, и их объединение есть все пространство. Каждый компонент представляет собой замкнутое подмножество исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности множества рациональных чисел являются одноточечными множествами, которые не являются открытыми.

Пусть связная компонента х в топологическом пространстве X , а пересечение всех открыто-замкнутых множеств , содержащих х ( так называемые квази-компонент из х .) Тогда , где имеет место равенство , если X компактно Хаусдорфово или локально подключен.
ΓИкс{\ displaystyle \ Gamma _ {x}}ΓИкс′{\ displaystyle \ Gamma _ {x} ‘}ΓИкс⊂ΓИкс′{\ displaystyle \ Gamma _ {x} \ subset \ Gamma ‘_ {x}}

Не связанные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью несвязным . В связи с этим свойством, пространство Х называется полностью отделены , если для любых двух различных элементов х и у из X , существуют непересекающиеся открытые окрестности U по х и V из у такие , что X является объединением U и V . Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью отключено, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и определите их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. Фактически, это даже не Хаусдорф , и условие полной отделенности строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.

Связанные по путям наборы

Это подпространство R ² линейно связно, так как путь может быть проведен между любыми двумя точками в пространстве.

Пути от точки х до точки у в топологическом пространстве X является непрерывной функцией F из единичного интервала к X с F (0) = х и е (1) = у . Путь-компонент из X представляет собой класс эквивалентности из X по отношению эквивалентности , что делает й эквивалентно у , если существует путь от й до у . Пространство Х называется линейно связным (или потраекторных подключен или 0-подключенное ) , если существует более одного пути-компонента, то есть , если существует путь , соединяющий любые две точки в X . Опять же, многие авторы исключают пустое место.

Каждое линейно связное пространство связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны между собой, включают удлиненную длинную линию L * и синусоидальную кривую тополога .

Однако подмножества реальной прямой R связаны тогда и только тогда, когда они линейно связаны; эти подмножества являются интервалами из R . Кроме того , открытые подмножества из R н или C п соединены тогда и только тогда , когда они являются линейно связным. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств .

Концепции

Топологии на множествах

Термин топология также относится к конкретной математической идее, имеющей центральное значение в области математики, называемой топологией. Неформально топология сообщает, как элементы набора пространственно соотносятся друг с другом. Один и тот же набор может иметь разные топологии. Например, реальная линия , комплексная плоскость и множество Кантора можно рассматривать как одно и то же множество с разными топологиями.

Формально, пусть X некоторое множество , и пусть τ является семейство подмножеств X . Тогда τ называется топологией на X, если:

  1. И пустое множество, и X являются элементами τ .
  2. Любое объединение элементов τ является элементом τ .
  3. Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ .

Если τ — топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством. Обозначение X τ может использоваться для обозначения множества X, наделенного определенной топологией τ .

Члены т называются открытыми множествами в X . Подмножество X называется замкнутым, если его дополнение находится в τ (то есть его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, закрытым, обоими ( закрытым набором ) или ни одним из них. Пустое множество и сам X всегда закрыты и открыты. Открытое подмножество X , который содержит точку й называется окрестностью из х .

Непрерывные функции и гомеоморфизмы

Функция или отображение одного топологического пространства в другое называется непрерывной , если прообраз любого открытого множества открыт. Если функция отображает действительные числа в действительные числа (оба пространства со стандартной топологией), то это определение непрерывности эквивалентно определению непрерывности в исчислении . Если непрерывная функция взаимно однозначна и на , и если обратная функция также непрерывна, то функция называется гомеоморфизмом, а область определения функции называется гомеоморфной диапазону. Другими словами, функция имеет естественное расширение топологии. Если два пространства гомеоморфны, они имеют одинаковые топологические свойства и считаются топологически одинаковыми. Куб и сфера гомеоморфны, как чашка кофе и пончик. Но круг не гомеоморфен бублику.

Коллекторы

Хотя топологические пространства могут быть чрезвычайно разнообразными и экзотическими, многие области топологии сосредоточены на более знакомом классе пространств, известных как многообразия. Многообразие является топологическим пространством , которое напоминает евклидово пространство вблизи каждой точки. Более точно, каждая точка n -мерного многообразия имеет окрестность , гомеоморфную евклидову пространству размерности n . Прямые и окружности , но не восьмерки , являются одномерными многообразиями. Двумерные многообразия также называют поверхностями , хотя не все поверхности являются многообразиями. Примеры включают плоскость , сферу и тор, которые могут быть реализованы без самопересечения в трех измерениях, а также бутылку Клейна и реальную проективную плоскость , которые не могут (то есть все их реализации являются поверхностями, не являющимися многообразиями) .

Топологии компьютерных сетей

Топология сети – это усредненная геометрическая схема соединений в сети,  порядок соединения объектов сети, ее конфигурация.

То есть топология сети означает физическое и логическое размещение сетевых компонентов.

Существуют следующие топологии компьютерных сетей:

  • шинная топология;
  • кольцевая топология (петля);
  • топология «звезда» (радиальная, звездообразная);
  • полносвязная (ячеистая, сетка);
  • иерархическая (древовидная);
  • смешанная (гибридная).

На практике все сети обычно строятся на основе трех базовых топологий: шина, кольцо, звезда.

Шина. В этой топологии все компьютеры сети подключены к одному кабелю, который называется магистралью.

Топология
Рис.1 Топология шина: С — сервер; К — компьютер.

Когда передаваемые по кабелю сигналы достигают его концов, они отражаются от них. Возникает наложение сигналов, находящихся в разных фазах, что приводит к их искажению. Поэтому сигналы, которые достигают концов кабеля, необходимо погасить. Для этой цели на концах кабеля устанавливают терминаторы.

В сети с топологией шина данные в виде электрических сигналов передаются всем компьютерам сети, но принимает их только тот компьютер, адрес которого совпадает с адресом получателя. Адрес получателя передается вместе с данными. В каждый момент времени передачу может вести только один компьютер, поэтому производительность такой сети зависит от количества компьютеров в ней. Чем больше компьютеров в сети, тем она медленнее.

Шина – это пассивная топология, т.е. компьютеры только слушают передаваемые по сети данные, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому выход одного или нескольких компьютеров из строя в такой сети никак не сказывается на работе сети.

Кольцо. В сетях с топологией «кольцо» компьютеры связаны один с другим, при этом первый компьютер связан с последним. Сигналы передаются по кольцу в одном направлении и проходят через каждый компьютер.

Топология

Рисунок 2 — Топология кольцо

Каждый компьютер распознает и получает тольку ту информацию, которая ему адресована.

В отличие от пассивной технологии «шина», в сетях с топологией «кольцо» каждый компьютер выступает в роли повторителя (репитера), т.е. компьютеры не только слушают, но и передают данные в сети от отправителя к получателю. Здесь каждый компьютер усиливает данные и передает их следующему компьютеру, пока эти данные не окажутся в том компьютере, чей адрес совпадает с адресом получателя. Получив данные, принимающий компьютер посылает передающему сообщение, в котором подтверждает факт приема. Выход из строя хотя бы одного компьютера приводит к неработоспособности сети.

Звезда. Топология «звезда» отличается тем, что все компьютеры подключаются к одному центральному (серверу). Для этого в центре сети содержится узел коммутации (коммутирующее устройство), к которому отдельным кабелем подключаются все компьютеры сети. Такой узел называется концентратором (hub).

Топология

Сигналы от передающего компьютера поступают через концентратор ко всем другим компьютерам.

Концентраторы делятся на активные и пассивные. Активные концентраторы передают сигналы так же, как репитеры (повторители), поэтому их называют многопортовыми повторителями. Обычно они имеют от 8 до 12 портов для подключения компьютеров. Активные концентраторы питаются от электрической сети.

К пассивным концентраторам относятся монтажные или коммутирующие панели, которые просто пропускают через себя сигнал, не усиливая и не восстанавливая его. Пассивным концентраторам не требуется питание от электрической сети.

Основное преимущество топологии «звезда» – высокая надежность. Выход из строя одного или нескольких компьютеров не приводит к потере работоспособности остальной части сети. Обрыв кабеля в одном месте приводит к отключению от сети только одного компьютера. Только неисправность концентратора приводит к полной потере работоспособности сети. Недостатком этой топологии является необходимость в дополнительном расходе кабеля и установке концентратора.

Кроме базовых топологий используют также другие схемы соединений компьютеров в сети, например ячеистую топологию, иерархическое соединение, а также комбинации базовых топологий, например звезда-шина или звезда-кольцо.

Ячеистая топология. В некоторых случаях используется ячеистая топология. В данной топологии каждый компьютер соединен с каждым другим компьютером отдельным кабелем.

Топология

Сеть с ячеистой топологией обладает высокой избыточностью и надежностью. Данные от одного компьютера к другому могут передаваться по разным маршрутам, поэтому разрыв кабеля не отражается на работоспособности сети. Главный недостаток сетей с ячеистой топологией – большой расход кабеля.

Главная страница >>

История

Семь мостов Кёнигсберга — известная задача, решённая Эйлером и способствовавшая развитию топологии

Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии.

Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с по годы — топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Односторонние поверхности.

Простейшей односторонней поверхностью является лист Мёбиуса, названный так в честь А.Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858. Пусть ABCD (рис. 2,а) – прямоугольная полоска бумаги. Если склеить точку A с точкой B, а точку C с точкой D (рис. 2,б), то получится кольцо с внутренней поверхностью, наружной поверхностью и двумя краями. Одну сторону кольца (рис. 2,б) можно окрасить. Окрашенная поверхность будет ограничена краями кольца. Жук может совершить «кругосветное путешествие» по кольцу, оставаясь либо на окрашенной, либо на неокрашенной поверхности. Но если полоску перед склеиванием концов перекрутить на полоборота и склеить точку A с точкой C, а B с D, то получится лист Мёбиуса (рис. 2,в). У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мёбиуса обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона. Жук, ползущий по середине листа Мёбиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении «вверх ногами». При разрезании листа Мёбиуса по средней линии он не распадается на две части.

Топология

Некоторые основные понятия.

Топологическое пространство состоит из множества точек S и набора S подмножеств множества S, удовлетворяющего следующим аксиомам:

(1) все множество S и пустое множество принадлежат набору S;

(2) объединение любой совокупности множеств из S есть множество из S;

(3) пересечение любого конечного числа множеств из S есть множество из S.

Множества, входящие в набор S, называются открытыми множествами, а сам этот набор – топологией в S. См. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.

Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, Sў, – это отображение (p pў) точек p из S в точки pў из Sў, удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и Sў взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка pў из Sў и в каждую точку pў отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками pў, qў из Sў также стремится к нулю, и наоборот.

Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Топология

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

Любое открытое связное множество, содержащее по крайней мере одну точку, называется областью.

Область, в которой любую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, называется односвязной, а соответствующее свойство области – односвязностью. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область называется многосвязной, а соответствующее свойство области – многосвязностью. Представьте себе две круговые области, или диски, одну без дыр, а другую с дырами. Первая область односвязна, вторая многосвязна. Односвязность и многосвязность – топологические свойства. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. Интересно отметить, что если в многосвязном диске провести по разрезу от каждой из дыр до края диска, то он станет односвязным.

Максимальное число замкнутых простых непересекающихся кривых, по которым можно разрезать замкнутую поверхность, не разделяя ее на отдельные части, называется родом поверхности. Род – топологический инвариант поверхности. Можно доказать, что род сферы равен нулю, род тора (поверхности «бублика») – единице, род кренделя (тора с двумя дырками) – двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору.

Среди топологических инвариантов поверхности можно также отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1.

Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.

Заявления

Биология

Теория узла, отрасль топологии, используется в биологии, чтобы изучить эффекты определенных ферментов на ДНК. Эти ферменты сокращают, крутят и повторно соединяют ДНК, вызывая связывающий узлом с заметными эффектами, такими как более медленный электрофорез. Топология также используется в эволюционной биологии, чтобы представлять отношения между фенотипом и генотипом. Фенотипичные формы, которые кажутся очень отличающимися, могут быть отделены только несколькими мутациями в зависимости от того, как генетические изменения наносят на карту к фенотипичным изменениям во время развития.

Информатика

Топологический анализ данных использует методы от алгебраической топологии, чтобы определить крупномасштабную структуру набора (например, определяя, сферическое ли облако пунктов или тороидальное). Главный метод, используемый топологическим анализом данных:

  1. Замените ряд точек данных семьей симплициальных комплексов, внесенных в указатель параметром близости.
  2. Проанализируйте эти топологические комплексы через алгебраическую топологию — определенно через теорию постоянного соответствия.
  3. Закодируйте постоянное соответствие набора данных в форме параметризовавшей версии числа Бетти, которое называют штрихкодом.

Физика

В физике топология используется в нескольких областях, таких как квантовая теория области и космология.

Топологическая квантовая теория области (или топологическая полевая теория или TQFT) являются квантовой теорией области, которая вычисляет топологические инварианты.

Хотя TQFTs были изобретены физиками, они имеют также математический интерес, будучи связанным с, среди прочего, свяжите узлом теорию и теорию четырех коллекторов в алгебраической топологии, и к теории мест модулей в алгебраической геометрии. Дональдсон, Джонс, Виттен, и Концевич все выиграли Медали Областей для работы, связанной с топологической полевой теорией.

В космологии топология может использоваться, чтобы описать полную форму вселенной. Эта область известна как пространственно-временная топология.

Робототехника

Различные возможные положения робота могут быть описаны коллектором, названным пространством конфигурации. В области планирования движения каждый находит пути между двумя пунктами в космосе конфигурации. Эти пути представляют движение суставов робота и других частей в желаемое местоположение и позу.

Разделы топологии.

Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.

Заключение

Теперь уже, наверное, понятно, что такое топология. Если сделать некий общий итог, данное понятие представляет собой описание способов соединения компьютеров в сети и взаимодействия между ними. Как это производится, зависит исключительно от метода объединения терминалов в одно целое. И сказать, что сегодня можно выделить какой-то один универсальный вариант подключения, нельзя. В каждом конкретном случае и в зависимости от нужд может использоваться тот или иной тип подключений. Но в локальных сетях, если говорить именно о них, наиболее распространенной является схема «звезда», хотя и «шина» все еще используется достаточно широко.

Остается добавить, что в топологии сетей можно встретить еще понятия централизации и децентрализации, но они большей частью связаны не с подключениями, а с системой управления сетевыми терминалами и осуществлением контроля над ними. Централизация явно выражена в подключениях типа «звезда», но для этого типа применима и децентрализация, обеспечивающая ввод дополнительных элементов с целью повышения надежности сети при выходе центрального коммутатора из строя. Достаточно эффективной разработкой в этом плане является схема «гиперкуб», однако она весьма сложна в разработке.

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий