Главная » Что это такое?

Магия тензорной алгебры: часть 1

Обновлено

Примеры

4-тензоры в ОТО

  • метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он — обычно — имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
  • тензор кривизны
  • тензор Риччи
  • тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала:

Fik=∂Ak∂xi−∂Ai∂xk{\displaystyle F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}}.

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

Fik=(ExcEycEzc−Exc−BzBy−EycBz−Bx−Ezc−ByBx){\displaystyle F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)}
Fik=(−Exc−Eyc−EzcExc−BzByEycBz−BxEzc−ByBx){\displaystyle F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)}

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

mcduids=qcFikuk{\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}},

где uk{\displaystyle u^{k}} — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

Тензорные операции

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

  • Умножение на скаляр — умножение каждого компонента тензора на скаляр. Аналогично умножению вектора или скалярной величины (и то, и другое являются частными случаями тензора);
  • Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
  • Тензорное произведение — без ограничений. Произведением тензора ранга (m,n){\displaystyle (m,n)} на тензор ранга (m′,n′){\displaystyle (m’,n’)} является тензор суммарного ранга (m+m′,n+n′){\displaystyle (m+m’,n+n’)}, то есть если σ∈Tnm{\displaystyle \sigma \in T_{n}^{m}} и τ∈Tn′m′{\displaystyle \tau \in T_{n’}^{m’}} то их произведение
σ⊗τ∈Tn+n′m+m′=Tnm⊗Tn′m′.{\displaystyle \sigma \otimes \tau \in T_{n+n’}^{m+m’}=T_{n}^{m}\otimes T_{n’}^{m’}.}
Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:
P  klij =AijBkl{\displaystyle P_{\ \ kl}^{ij}\ =A^{ij}B_{kl}}
  • Свёртка тензора — специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:
    B kli =∑jA  jklji=A  jklji{\displaystyle B_{\ kl}^{i}\ =\sum _{j}A_{\ \ jkl}^{ji}=A_{\ \ jkl}^{ji}}
    • (последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.
    • След матрицы — частный случай свёртки тензора с собой.
  • Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:
    Cjki =∑mBmiAjkm=BmiAjkm{\displaystyle C_{jk}^{i}\ =\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=B_{m}^{i}A_{jk}^{m}} (последнее — в записи Эйнштейна).
     — операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае — на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.

    Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:

    ui =∑jAjivj=Ajivj{\displaystyle u^{i}\ =\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=A_{j}^{i}v^{j}} (последнее — в записи Эйнштейна).

    Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:

    Cji =∑kBkiAjk=BkiAjk{\displaystyle C_{j}^{i}\ =\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=B_{k}^{i}A_{j}^{k}} (последнее — в записи Эйнштейна).
  • Симметризация и антисимметризация — конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора Tij{\displaystyle T_{ij}} — это симметричный тензор T(ij)=12(Tij+Tji){\displaystyle \scriptstyle T_{(ij)}={1 \over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)}, а антисимметризация — антисимметричный тензор Tij=12(Tij−Tji){\displaystyle \scriptstyle T_{}={1 \over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)}. В общем случае симметризация по n{\displaystyle n} индексам имеет вид
T(i1…in)=1n!∑σTσ(i1)…σ(in),{\displaystyle T_{(i_{1}\ldots i_{n})}={1 \over n!}\sum _{\sigma }T_{\sigma (i_{1})\ldots \sigma (i_{n})},}
а антисимметризация:
Ti1…in=1n!∑σsign(σ)Tσ(i1)…σ(in){\displaystyle T_{}={1 \over n!}\sum _{\sigma }\mathrm {sign} \,(\sigma )T_{\sigma (i_{1})\ldots \sigma (i_{n})}}
Здесь σ{\displaystyle \sigma } — всевозможные перестановки индексов i1,…,in,{\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},} а sign(σ){\displaystyle \mathrm {sign} \,(\sigma )} — чётность перестановки σ.{\displaystyle \sigma .} Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.
  • Если Ti1…in{\displaystyle T_{i_{1}\ldots i_{n}}} симметричен по i1…in,{\displaystyle i_{1}\ldots i_{n},} то симметризация по этим индексам совпадает с T,{\displaystyle T,} а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.
  • Если Tij∈V⊗V,{\displaystyle T_{ij}\in V\otimes V,} то T(ij)∈V∨V,{\displaystyle T_{(ij)}\in V\vee V,} Tij∈V∧V.{\displaystyle T_{}\in V\wedge V.} Здесь ∨{\displaystyle \vee } — симметричное, а ∧{\displaystyle \wedge } — внешнее произведение векторных пространств.

Определения

О классическом определении

Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом, то есть набором чисел, занумерованных несколькими индексами, или, иначе говоря, n{\displaystyle n}-мерной таблицей, где n{\displaystyle n} — валентность тензора (см. выше).

Так, вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом, либо в виде строки x=x1x2…xm{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}\,}, либо в виде столбца

x=x1x2⋮xm{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,}

а такие объекты, как линейный оператор и квадратичная форма, — двумерной матрицей

T=σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33{\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}

Скаляр же (тензор нулевого ранга) задаётся одним числом x{\displaystyle \mathbf {x} }, которое можно рассматривать как сокращённую запись нульмерного массива с единственным элементом, то есть x=x1{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}}. Такие нульмерные матрицы удобно рассматривать в качестве частных случаев тензоров, так как все тензорные определения и теоремы для них в силе, и векторы со скалярами можно при общем рассмотрении не упоминать отдельно.

Но следует понимать, что не всякая матрица есть тензор. Тензор лишь иногда записывают в матричной форме (для этого в пространстве задачи обязательно нужно выбрать базис), но иногда матричная форма неудобна и избыточна. Таким образом, матрица является лишь одним из способов записи тензора, а не самим математическим объектом — тензором.

Также следует понимать, что не всякий линейный оператор T{\displaystyle \mathbf {T} } является тензором. Тензор отличается от других математических объектов, которые также могут быть записаны в матричной форме, законом преобразования координат.

Таким образом тензор не просто массив чисел. Можно дать такое псевдоопределение тензора:

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса

Современное определение

Тензор ранга (n,m){\displaystyle (n,m)} над d{\displaystyle d}-мерным векторным пространством V{\displaystyle V} — это элемент тензорного произведения n{\displaystyle n} пространств V{\displaystyle V} и m{\displaystyle m} сопряжённых пространств V∗{\displaystyle V^{*}} (то есть пространств линейных функционалов (ковекторов) на V{\displaystyle V})

τ∈Tmn(V)=V⊗…⊗V⏟⊗V∗⊗…⊗V∗⏟nm{\displaystyle {\begin{matrix}\tau \in T_{m}^{n}(V)&=&\underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} \\&&n&&m\end{matrix}}}

Сумма чисел n+m{\displaystyle n+m} называется валентностью тензора (её также часто называют рангом).
Тензор ранга (n,m){\displaystyle (n,m)} также называется n{\displaystyle n} раз контравариантным и m{\displaystyle m} раз ковариантным, иногда говорят тензор n-ранга, имея в виду ранг (0, n) или (n, 0), например, εijk{\displaystyle \varepsilon _{ijk}} — тензор 3-го ранга (3 индекса).

Тензор как полилинейная функция

Точно так же, как тензор ранга (,1){\displaystyle (0,1)} можно представлять как линейный функционал на пространстве V{\displaystyle V}, тензор τ{\displaystyle \tau } ранга (,n){\displaystyle (0,n)} удобно представлять себе как функцию τ(v1,v2,…,vn){\displaystyle \tau (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})} от n{\displaystyle n} векторных аргументов vi∈V{\displaystyle v_{i}\in V}, которая линейна по каждому аргументу vi{\displaystyle v_{i}} (такие функции называются ), то есть для любой константы c{\displaystyle c} из поля F{\displaystyle F} (над которым определено векторное пространство).

τ(v1,…,cvA,…,vn)=cτ(v1,…,vA,…,vn){\displaystyle \tau (v_{1},\ldots ,cv_{A},\ldots ,v_{n})=c\tau (v_{1},\ldots ,v_{A},\ldots ,v_{n})}
τ(v1,…,vA+vA′,…,vn)=τ(v1,…,vA,…,vn)+τ(v1,…,vA′,…,vn).{\displaystyle \tau (v_{1},\ldots ,v_{A}+v_{A}’,\ldots ,v_{n})=\tau (v_{1},\ldots ,v_{A},\ldots ,v_{n})+\tau (v_{1},\ldots ,v_{A}’,\ldots ,v_{n}).}

В том же ключе, тензор τ{\displaystyle \tau } произвольного ранга (n,m){\displaystyle (n,m)} представляется полилинейным функционалом от m{\displaystyle m} векторов и n{\displaystyle n} ковекторов:

τ(v1,v2,…,vm,ω1,ω2,…,ωn){\displaystyle \tau (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m},\omega ^{1},\omega ^{2},\ldots ,\omega ^{n})}
τVm×(V∗)n→F{\displaystyle \tau \colon V^{m}\times (V^{*})^{n}\to F}

Телепортация тонн данных в PostgreSQL

Сегодня я поделюсь некоторыми полезными архитектурными решениями, которые возникли в процессе развития нашего инструмента массового анализа производительности серверов PostgeSQL, и которые помогают нам сейчас «умещать» полноценный мониторинг и анализ более тысячи хостов в то же «железо», которого сначала едва хватало для одной сотни.

Intro

Напомню некоторые вводные:

  • мы строим сервис, который получает информацию из логов серверов PostgreSQL
  • собирая логи, мы хотим что-то с ними делать (парсить, анализировать, запрашивать дополнительную информацию) в режиме онлайн
  • все собранное и «наанализированное» надо куда-то сохранить

Именно про последний пункт — как все это можно доставить в PostgreSQL-хранилище, и поговорим. В нашем случае таких данных кратно больше, чем исходных — статистика нагрузки в разрезе конкретного приложения и шаблона плана, потребление ресурсов и вычисление производных проблем с точностью до отдельного узла плана, мониторинг блокировок и многое другое.

[править] Деятельность

Компания «Тензор» является аккредитованным ФНС, ПФ и Росстатом оператором электронного документооборота, сертифицированным EDI-провайдером и оператором фискальных данных.

Главным продуктом является облачная система автоматизации бизнеса СБИС. В него входят 22 сервиса:

Отчетность через интернет

Бухгалтерия и учет

Управление персоналом

Учет и контроль рабочего времени

 ОФД

 Маркировка товаров

Автоматизация магазинов и аптек

Автоматизация салонов и сферы услуг

Presto – автоматизация ресторанов, кафе и столовых

Все для удаленной работы

CRM

Облачная телефония

Корпоративная социальная сеть

Электронный документооборот

Управление бизнес-процессами

Заказы и поставки (EDI)

Торговля, закупки и складской учет

Все о компаниях и владельцах

Поиск и анализ закупок

Корпоративный удостоверяющий центр

Мобильные сотрудники

Видеокоммуникации

[править] Социальные проекты

Компания «Тензор» развивает обучающие программы для школьников, студентов и молодых IT-специалистов. Ежегодно проходят бесплатные митапы по frontend, backend разработке и тестированию.

С 2012 года компания «Тензор» проводила «IT-десант» — курс бесплатных открытых лекций по программированию в ЯрГУ им. П. Г. Демидова. В 2014 году начала работать Кафедра «Тензор» — углубленные курсы для студентов ЯрГУ им. П. Г. Демидова. В 2019 году на их базе была создана базовая кафедра разработки облачных сервисов.

Ежегодно проводится конкурс на стипендию «Тензор». Это трехдневный хакатон для студентов IT-специальностей, где необходимо создать проекты приложений, игр и др. Победители получают денежную стипендию и возможность трудоустройства в компанию. Хакатон проводится в Ярославле и Новосибирске.

В 2018 году совместно с музеем занимательных наук Эйнштейна «Тензор» открыл школу программирования для детей «CODDY School». Для школьников совместно с ЯрГУ им. П.Г. Демидова «Тензор» проводит «Час Кода» — мероприятие с лекциями и мастер-классами по программированию.

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах x1,x2,…,xn{\displaystyle x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}}, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле gij {\displaystyle g_{ij}\ }.
Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей ∂i=∂∂xi{\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}:

⟨∂i,∂j⟩=gij.{\displaystyle \left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.}

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

⟨v,w⟩=gijviwj{\displaystyle \left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}},

где v=vi∂i ,w=wi∂i{\displaystyle v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}} — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора gij{\displaystyle g^{ij}}.

В случае невырожденных метрик

gijgjk=δki,{\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i},}

где δki{\displaystyle \delta _{k}^{i}} — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор gij{\displaystyle g^{ij}}, но тензор gij{\displaystyle g_{ij}} для неё не определён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля {ei(p)}{\displaystyle \{e_{i}(p)\}} и матрицы gik(p)=⟨ei(p),ek(p)⟩{\displaystyle g_{ik}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle }.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов.

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением r{\displaystyle r} многообразия M{\displaystyle M} в евклидово пространство E{\displaystyle E}, может быть посчитана по формуле:

g=JrTJr,{\displaystyle g=J_{r}^{T}J_{r},}

где Jr{\displaystyle J_{r}} означает матрицу Якоби вложения r{\displaystyle r} и JrT{\displaystyle J_{r}^{T}} — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства ∂∂xi{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}, которые в этом случае можно отождествить с ∂r∂xi{\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}}, определяются как

gij=g(∂∂xi,∂∂xj)=⟨∂r∂xi,∂r∂xj⟩,{\displaystyle g_{ij}=g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right\rangle ,}

где ⟨∗,∗⟩{\displaystyle \langle *,*\rangle } обозначает скалярное произведение в E{\displaystyle E}.

Более обобщенно

Пусть (N,h){\displaystyle (N,h)} многообразие с метрикой и rM→N{\displaystyle r:M\to N} гладкое вложение.
Тогда метрика g{\displaystyle g} на M{\displaystyle M}, определённая равенством

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y)){\displaystyle g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))}

называется индуцированной метрикой.
Здесь dr{\displaystyle dr} обозначает дифференциал отображения r{\displaystyle r}.

Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь — коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

где и — ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Умножим (7) на , а (8)
на и преобразуем их

Введем матрицу

тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением

Выражение (12) дает связь между ковариантными и контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

а в ковариантной форме — матрицей-строкой

Деятельность

Всероссийские направления

Основное направление деятельности холдинга «Тензор» — это разработка программного обеспечения. Продукты линейки СБИС предназначены для электронного документооборота с госорганами, обмена первичными бухгалтерскими документами между организациями, ведения бухгалтерской и учётной деятельности предприятия.

Удостоверяющий центр «Тензор» выпускает и обслуживает сертификаты ключей электронной подписи, которые используются физическими и юридическими лицами при сдаче налоговой и бухгалтерской отчётности через ТКС, при участии в электронных торгах, при обмене электронными документами.

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров g{\displaystyle g} подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда  det(gij)≠{\displaystyle \ \det(g_{ij})\neq 0} во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым

      К этому классу относится метрика Лоренца.

      .

  • Вырожденные метрики, когда  det(gij)={\displaystyle \ \det(g_{ij})=0} либо  det(gij)={\displaystyle \ \det(g^{ij})=0} в некоторых точках.
    • Многообразие Mn{\displaystyle M^{n}}, метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
    • Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Ранг тензора. Ковариантные и контравариантные компоненты

p, qpqpqp+q

  1. Тензор ранга (0,0) — это скаляр, величина, значение которой может быть выражено одним числом, со значением инвариантным относительно смены системы координат. У скаляра нет индексов, и он вообще не преобразуется при смене базиса. Но, повторимся, не всякое число есть скаляр. Так например, компонент вектора или тензора не есть скаляр, ибо он изменяется при смене базиса.
  2. Тензор ранга (1,0) — вектор. Для вектора естественно контравариантное представление, для вычисления скалярного произведения векторов требуется их свертка с метрическим тензором.
    Преобразование компонент вектора производится путем применения к нему линейного оператора, по сути умножением матрицы преобразования на столбец, содержащий компоненты вектора, что в тензорной форме выглядит как

  3. Тензор ранга (0,1) — ковектор. Если в рассматриваемом пространстве определен невырожденный метрический тензор

    то вектор и ковектор — это два разных представления одного и того же геометрического объекта — вектора. В ортогональном базисе (векторы которого взаимно перпендикулярны) контравариантные и ковариантные координаты cовпадают. Переход от одного представления к другому производится сверткой с метрическим тензором

    где контрвариантный метрический тензор, компоненты которого — матрица,
    обратная матрице компонент тензора .
    Для скалярного умножения ковектора на вектор не нужно использовать метрический тензор, оно производится прямой сверткой с вектором.

    Преобразование компонент ковектора так же производится путем применения к нему линейного оператора, но в отличие от вектора, производится умножение строки, содержащей компоненты ковектора на матрицу преобразования координат

  4. Тензор ранга (0,2) — билинейная форма, примером которой может служить дважды ковариантный метрический тензор gij. Компоненты метрического тензора преобразуются путем двукратного применения к нему линейного оператора преобразования координат, что соответствует умножению транспонированной матрицы преобразования на матрицу метрического тензора и последующему умножению результата на матрицу преобразования
  5. Тензор ранга (2,0) — примером может служить диада (8). Вообще, все тензоры рангов (k,0) называются поливекторами или полиадами (триады, тетрады и т.д.), и образованы они как линейные комбинации тензорных произведений соответствующего количества векторов. Их компоненты преобразуются соответствующим рангу количеством применения линейных
    операторов, преобразующих исходные векторы.

  6. Тензор ранга (1,1) — линейный оператор. Примером может служить матрица поворота или любого другого преобразования координат векторов и ковекторов. Вообще, применение линейного оператора сводится к операции матричного умножения

    где — результат преобразования; — исходный вектор; — компоненты матрицы линейного оператора. Рассмотрим процесс преобразования линейного оператора. Пусть S матрица перехода от одно базиса к другому. Тогда, при смене базиса преобразуются оба вектора — и аргумент и результат

    Подставляя (24) в (23) получаем

    откуда, умножая слева на матрицу получаем

    где — компоненты матрицы . С другой стороны, для векторов в новом базисе справедливо

    сравнивая (25) и (26), получаем выражение преобразования линейного оператора

    Все перечисленные объекты обладают общностью свойств: имеют набор компонент и правило преобразования при смене базиса.

Продукты

СБИС Электронная отчётность и документооборот — единая система для работы с отчётными данными и программный комплекс для автоматизации потока внутренних и внешних организационных документов. Юридическая значимость документов и отчётов обусловлена использованием электронной цифровой подписи (ЭЦП) и средств криптографической защиты информации. Программный комплекс СБИС сертифицирован ФГУП ГНИВЦ РФ, соответствует государственным стандартам, и рекомендован ФНС и ПФР РФ к использованию в качестве решения для специальных операторов связи и налогоплательщиков.

СБИС Бухгалтерия — программный комплекс для автоматизации бухгалтерской, налоговой и учетной деятельности на предприятиях различных отраслей.

© 2025 Энциклопедия Рунета