Что такое сочетание

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Типы задач	Что требуется найти	Методы решения
Магический квадрат	Фигура, в которой сумма чисел в рядах и столбцах должна быть одинакова (его разновидность – латинский квадрат).	Рекуррентные соотношения. Решается подобная же задача, но с гораздо меньшим множеством элементов по известным правилам и формулам.
Задача размещения	Стандартная производственная задача (например, в лоскутной технике) — найти возможные способы разложения количества продуктов в ячейки в определенном порядке.	Включения и исключения. Как правило, применяется при доказательстве различных выражений.
Задачи про торговцев	Суть — найти все возможные пути прохождения людей из пункта А в пункт В.	Траектории. Для этого вида задач характерно геометрическое построение возможных способов решения.

Виды словосочетаний и их примеры

Словосочетания бывают двух видов:

1. сочинительные
2. подчинительные

Подчинительные наиболее распространены. Они отличаются тем, что есть главное слово и зависимое/зависимые. Например:

В таких словосочетаниях всегда можно задать простой вопрос от главного слова к зависимому. Как в популярной телепередаче – «Что? Где? Когда?». Ну а также – «Какой? Сколько? Как?» и так далее.

И вот именно по этому принципу можно отличить словосочетания от простой пары слов. Так, МАЛЬЧИК ПИШЕТ, КОШКА ИГРАЕТ, СОЛНЦЕ СВЕТИТ и тому подобное не являются словосочетаниями, так как тут нет простых вопросов («Что делает?» и «Что сделает?» к таковым не относятся).

А вот сочинительные словосочетания – это очень малочисленная группа. К ней относятся фразы, в которых нет главного слова и зависимого. Все слова равны. Чаще всего они соединяются различными союзами:

Интересная особенность, что сочинительные словосочетания крайне редко используются нами в повседневной жизни. Но зато их часто можно встретить на страницах книг.

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.
В частности, количество монотонных неубывающих функций из множества {1,2,…,k}{\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}} в множество {1,2,…,n}{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} равно числу сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k}.

Число сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} равно биномиальному коэффициенту

(n+k−1n−1)=(n+k−1k)=(−1)k(−nk)=(n+k−1)!k!⋅(n−1)!.{\displaystyle {\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.}

Доказательство

Пусть имеется n{\displaystyle n} типов объектов, причём объекты одного типа неотличимы. Пусть имеется неограниченное (или достаточно большое, во всяком случае, не меньше k{\displaystyle k}) количество объектов каждого типа. Из этого ассортимента выберем k{\displaystyle k} объектов; в выборке могут встречаться объекты одного типа, порядок выбора не имеет значения. Обозначим через xj{\displaystyle x_{j}} количество выбранных объектов j{\displaystyle j}-го типа, xj≥{\displaystyle x_{j}\geq 0}, j=1,2,…,n{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}. Тогда x1+x2+⋯+xn=k{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k}. Но число решений этого уравнения легко подсчитывается с помощью «шаров и перегородок»: каждое решение соответствует расстановке в ряд k{\displaystyle k} шаров и n−1{\displaystyle n-1} перегородок так, чтобы между (j−1){\displaystyle (j-1)}-й и j{\displaystyle j}-й перегородками находилось ровно xj{\displaystyle x_{j}} шаров. Но таких расстановок в точности (n+k−1k){\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}, что и требовалось доказать.■

При фиксированном n{\displaystyle n} производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} является:

∑k=∞(−1)k(−nk)xk=(1−x)−n.{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}=(1-x)^{-n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

∑n=∞∑k=∞(−1)k(−nk)xkyn=∑n=∞(1−x)−nyn=1−x1−x−y.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{-n}y^{n}={\frac {1-x}{1-x-y}}.}

Виды связи в словосочетаниях

В подчинительной связи есть три способа связи. Разберем подробно каждый из способов.

Согласование

Здесь оба или больше слов согласованы друг с другом. Чаще всего встречаются варианты, где вопросом будет какой? какая? или какое? Также встречаются чей? или вопросы в падежной форме.

Главное слово — существительное. Зависимое — прилагательное, числительное, местоимение или причастие.

Примеры:

• серый автомобиль;
• восьмое марта;
• мамина кружка;
• от каменной стены.

Управление

Тут зависимое склоняется в падеже независимо от главного, но все равно относится к нему. Если изменится падеж главного, то зависимое останется прежним.

Примеры для лучшего понимания сказанного:

• выступать в театре;
• паспорт друга;
• передать посылку.

Главное слово — глагол, существительное, прилагательное. Зависимое — существительное или другая часть речи в качестве существительного.

Примыкание

Связаны слова, в основном, смыслом, но не лексически. Определить примыкание нетрудно: правило гласит, что главным словом является глагол, наречие, прилагательное или существительное, а вот зависимым — неизменяемые части речи, как например, инфинитив, деепричастие, местоимение, сравнительные формы прилагательного или наречия.

Поясняющие примеры:

• упорно просить;
• добрался утром;
• их машина.

Число сочетаний

Число сочетаний из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} равно биномиальному коэффициенту

(nk)=Cnk=n!k!(n−k)!.{\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}.}

При фиксированном n{\displaystyle n} производящей функцией последовательности чисел сочетаний (n){\displaystyle {\tbinom {n}{0}}}, (n1){\displaystyle {\tbinom {n}{1}}}, (n2){\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}, … является:

∑k=n(nk)xk=(1+x)n.{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

∑n=∞∑k=n(nk)xkyn=∑n=∞(1+x)nyn=11−y−xy.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}

Что такое словосочетание

Говоря простым языком, словосочетание — это сочетание двух или более слов, одно из которых главное, а другое зависимое. Связаны они особыми законами, грамматически и обязательно по смыслу или только по смыслу.

Связь между ними показывается с помощью предлогов, союзов, частиц, окончаний, а в речи также интонацией.

Научным языком «словосочетание» можно объяснить таким способом — синтаксическая единица, состоящая из двух знаменательных слов, которая служит для называния предметов, действия или состояния чего-либо.

Примеры словосочетаний

Ниже приводятся правильные примеры сочетаний слов по смыслу и грамматически:

• красная шапка;
• бежала по тропинке;
• громко утверждать.

Стоит учесть: некоторые полагают, что грамматическая основа также является словосочетанием. И это одна из самых грубых ошибок.

Пример:

• шапка лежит;
• кошка бежала;
• мальчик утверждает.

Все они не будут сочетаниями!

Большой толковый словарь

СОЧЕТАЕМОСТЬ, -и; ж. чего. Спец. Способность, возможность сочетания с чем-л. С. слов. С. понятий. СОЧЕТАНИЕ, -я; ср. 1. к Сочетать и Сочетаться. С. теории и практики. 2. Соединение, расположение чего-л., образующее единство, целое. Это с. синего с белым удивительно шло к ней. Каждое с. флагов на корабле имеет особое значение. Сочетания слов, сочетания звуков. 3. только мн.: сочетания, -ний. Матем. Соединения, образованные из данных элементов в заданном числе и отличающиеся одно от другого только составом элементов (независимо от их порядка). В сочетании с кем-чем. в зн. предлога. Вместе, рядом с кем-, чем-л. Редкие душевные качества в сочетании с красотой сделали её всеобщей любимицей. СОЧЕТАННЫЙ, -ая, -ое; -анен, -анна, -анно. Проф. Обладающий способностью сочетаться с чем-л. С-ое действие защитных компонентов вещества. С-ая травма. Сочетанность, -и; ж. СОЧЕТАТЬ, -аю, -аешь; св. и нсв. 1. что. Соединять — соединить во взаимном соответствии, согласовании; объединять — объединить в какое-л. единство, целое. С. теорию с практикой. С. личные интересы с общественными. Умело с. краски. Этот человек сочетает в себе самые разнообразные способности. С. в одном лице режиссёра, сценариста и главного героя фильма. 2. Устар. Соединять — соединить в супружескую пару; женить. С. браком. Сочетаться, -ается; страд. Сочетание (см.). СОЧЕТАТЬСЯ, -аюсь, -аешься; св. и нсв. 1. Соединиться — соединяться во взаимном соответствии, согласовании; объединиться — объединяться в какое-л. единство, целое. В нём сочетались талант и работоспособность. Лекции сочетались с практическими занятиями. 2. только нсв. Соответствовать друг другу, гармонировать. Одно не сочетается с другим. Его слова совсем не сочетались с его делами. Эти цвета хорошо сочетаются. 3. Устар. Соединиться — соединяться в супружескую пару; жениться. С. браком. С. с кем-л. Сочетание (см.).

Число сочетаний

Число сочетаний из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} равно биномиальному коэффициенту

(nk)=Cnk=n!k!(n−k)!.{\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}.}

При фиксированном n{\displaystyle n} производящей функцией последовательности чисел сочетаний (n){\displaystyle {\tbinom {n}{0}}}, (n1){\displaystyle {\tbinom {n}{1}}}, (n2){\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}, … является:

∑k=n(nk)xk=(1+x)n.{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

∑n=∞∑k=n(nk)xkyn=∑n=∞(1+x)nyn=11−y−xy.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.
В частности, количество монотонных неубывающих функций из множества {1,2,…,k}{\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}} в множество {1,2,…,n}{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} равно числу сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k}.

Число сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} равно биномиальному коэффициенту

(n+k−1n−1)=(n+k−1k)=(−1)k(−nk)=(n+k−1)!k!⋅(n−1)!.{\displaystyle {\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.}

Доказательство

Пусть имеется n{\displaystyle n} типов объектов, причём объекты одного типа неотличимы. Пусть имеется неограниченное (или достаточно большое, во всяком случае, не меньше k{\displaystyle k}) количество объектов каждого типа. Из этого ассортимента выберем k{\displaystyle k} объектов; в выборке могут встречаться объекты одного типа, порядок выбора не имеет значения. Обозначим через xj{\displaystyle x_{j}} количество выбранных объектов j{\displaystyle j}-го типа, xj≥{\displaystyle x_{j}\geq 0}, j=1,2,…,n{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}. Тогда x1+x2+⋯+xn=k{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k}. Но число решений этого уравнения легко подсчитывается с помощью «шаров и перегородок»: каждое решение соответствует расстановке в ряд k{\displaystyle k} шаров и n−1{\displaystyle n-1} перегородок так, чтобы между (j−1){\displaystyle (j-1)}-й и j{\displaystyle j}-й перегородками находилось ровно xj{\displaystyle x_{j}} шаров. Но таких расстановок в точности (n+k−1k){\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}, что и требовалось доказать.■

При фиксированном n{\displaystyle n} производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} является:

∑k=∞(−1)k(−nk)xk=(1−x)−n.{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}=(1-x)^{-n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

∑n=∞∑k=∞(−1)k(−nk)xkyn=∑n=∞(1−x)−nyn=1−x1−x−y.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{-n}y^{n}={\frac {1-x}{1-x-y}}.}

Типы словосочетаний

Типы зависят от того, чем является главное слово.

Глагольные

Если главное слово — глагол, то синтаксическая единица относится к этому типу:

• работать усердно;
• спала без «задних ног».

Именные

Если же главное слово выражено существительным или прилагательным, а может даже местоимением, то сочетание слов стоит отнести к именному типу.

Важно понимать, что здесь идет деление на:

1. Субстативное: если главное — существительное:
   • крепкий стул;
   • платье в клетку.
2. Адъективное: если главное — прилагательное:
   • • лучший из вариантов;
     • вредный для детей;

   если главное слово — числительное:

   если главное слово — местоимение:

   каждый из друзей.

Наречные

А вот когда главное слово — наречие, то эта синтаксическая единица относится к наречному типу.

С зависимым наречием:

• очень громко;
• совсем непонятно.

С зависимым существительным:

• вниз ногами;
• накануне праздника.

Что такое зависимое слово

Выше была упомянута фраза «зависимое слово». Зависимое — это часть словосочетания, связанная с главным словом подчинительной связью.

В разных видах связи оно будет разными частями речи, и мы разберем это немного ниже.

Подчинительные и сочинительные словосочетания

Существует два вида этой синтаксической единицы — подчинительная и сочинительная.

К подчинительным относится большинство знакомых нам словосочетаний. К примеру:

• зимняя стужа;
• летит к облакам;
• стоял ровно.

Здесь важно наличие главного слова, от которого можно задать вопрос к зависимому. Это важнейшее условие подчинения

Таким образом:

• стужа (какая?) зимняя;
• летит (куда?) к облакам;
• стоял (как?) ровно.

А вот сочинительные — это сочетания, в которых слова абсолютно равны. Чаще всего они соединяются союзами. Например:

• война и мир;
• большой, но легкий;
• не бежит, а несется.

Число сочетаний

Число сочетаний из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} равно биномиальному коэффициенту

(nk)=Cnk=n!k!(n−k)!.{\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}.}

При фиксированном n{\displaystyle n} производящей функцией последовательности чисел сочетаний (n){\displaystyle {\tbinom {n}{0}}}, (n1){\displaystyle {\tbinom {n}{1}}}, (n2){\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}, … является:

∑k=n(nk)xk=(1+x)n.{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

∑n=∞∑k=n(nk)xkyn=∑n=∞(1+x)nyn=11−y−xy.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой
из n элементов
называется любой упорядоченный набор
этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками
множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3,
2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и
вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг
разных авторов можно расставить на полке в один ряд?Решение:эта задача о числе
перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим,
что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам
(перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный,
т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на
определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов
одновременно.
Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их
наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам
нужны

И последнее, важно знать, является ли для нас
существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на
следующем примере

Пример 9. На родительском собрании
присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава
родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?Решение: В этом примере нас
не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его
составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же
вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за
определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе
комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество
разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в
этом случае числом размещений
из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, если цифры могут повторяться?
Т.к. число четное на третьем месте может стоять 0, 2, 4, 6, т.е. четыре цифры. На втором месте может стоять любая из семи цифр. На первом месте может стоять любая из семи цифр кроме нуля, т.е. 6 возможностей. Результат =4*7*6=168.
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева
направо и справа налево?
На первом месте может стоять любая цифра кроме 0, т.е. 9 возможностей. На втором месте может стоять любая цифра, т.е. 10 возможностей. На третьем месте тоже может стоять любая цифра из, т.е. 10 возможностей. Четвертая и пятая цифры определены заранее, они совпадают с первой и второй, следовательно, число таких чисел 9*10*10=900.
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно
составить расписание на один день?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе
20 человек?

n = C₂₀4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16!))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми
различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
В первый конверт можно положить 1 из восьми писем, во второй одно из семи оставшихся, в третий одно из шесть т.д. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию,
состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это
можно сделать?

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.
В частности, количество монотонных неубывающих функций из множества {1,2,…,k}{\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}} в множество {1,2,…,n}{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} равно числу сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k}.

Число сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} равно биномиальному коэффициенту

(n+k−1n−1)=(n+k−1k)=(−1)k(−nk)=(n+k−1)!k!⋅(n−1)!.{\displaystyle {\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.}

Доказательство

Пусть имеется n{\displaystyle n} типов объектов, причём объекты одного типа неотличимы. Пусть имеется неограниченное (или достаточно большое, во всяком случае, не меньше k{\displaystyle k}) количество объектов каждого типа. Из этого ассортимента выберем k{\displaystyle k} объектов; в выборке могут встречаться объекты одного типа, порядок выбора не имеет значения. Обозначим через xj{\displaystyle x_{j}} количество выбранных объектов j{\displaystyle j}-го типа, xj≥{\displaystyle x_{j}\geq 0}, j=1,2,…,n{\displaystyle j=1,2,\dots ,n}. Тогда x1+x2+⋯+xn=k{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k}. Но число решений этого уравнения легко подсчитывается с помощью «шаров и перегородок»: каждое решение соответствует расстановке в ряд k{\displaystyle k} шаров и n−1{\displaystyle n-1} перегородок так, чтобы между (j−1){\displaystyle (j-1)}-й и j{\displaystyle j}-й перегородками находилось ровно xj{\displaystyle x_{j}} шаров. Но таких расстановок в точности (n+k−1k){\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}}, что и требовалось доказать.■

При фиксированном n{\displaystyle n} производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} является:

∑k=∞(−1)k(−nk)xk=(1−x)−n.{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}=(1-x)^{-n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

∑n=∞∑k=∞(−1)k(−nk)xkyn=∑n=∞(1−x)−nyn=1−x1−x−y.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{-n \choose k}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{-n}y^{n}={\frac {1-x}{1-x-y}}.}