Как найти простые числа?

Кубические простые числа

Простые числа вида x3−y3x−y,x=y+1{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1}

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (последовательность A002407 в OEIS).

а также x3−y3x−y,x=y+2{\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2}

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

(последовательность A002648 в OEIS).

Первые 500 простых чисел

59 67 71
157 167
191 211 223 227 229 233 241 251 263 269 271 277 281
293 307 311 313 331 347 349 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373
1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657
1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129
2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287
2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617
2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257
3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571

(последовательность A000040 в OEIS).

Проект по проверке проблемы Гольдбаха сообщает, что были вычислены все простые числа до 1018{\displaystyle 10^{18}}. Это составляет 24 739 954 287 740 860 простых чисел, но они не были сохранены. Существуют известные формулы, позволяющие вычислить количество простых чисел (до заданного значения) быстрее, чем вычисление самих простых чисел. Этот способ был использован, чтобы вычислить, что до 1023{\displaystyle 10^{23}} находится 1 925 320 391 606 803 968 923 простых числа.

Об этой статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 60 человек(а). Количество просмотров этой статьи: 143 341.

Категории: Математика

English:Check if a Number Is Prime

Español:saber si un número es primo

Italiano:Riconoscere un Numero Primo

Português:Determinar se um Número é Primo

Deutsch:Überprüfen ob eine Zahl eine Primzahl ist

Nederlands:Controleren of een getal een priemgetal is

Čeština:Jak zjistit, zda je číslo prvočíslem

Печать

Простые и составные числа – определения и примеры

Понятия простые числа и составные числа относятся к , которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.

Определение.

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и 1.

Определение.

Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.

Отдельно заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Единица имеет только один положительный делитель, которым является само число 1. Этим число 1 отличается от всех остальных целых положительных чисел, которые имеют не менее двух положительных делителей.

Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.

Определение.

Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.

Определение.

Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.

Отметим, что каждое целое положительное число, большее единицы, есть либо простое, либо составное число. Иными словами, не существует ни одного такого целого числа, которое не являлось бы ни простым, ни составным. Это следует из , которое гласит, что числа 1 и a всегда являются делителями любого целого числа a.

Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.

Определение.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.

Приведем примеры простых и составных чисел.

Например, числа 2, 3, 11, 17, 131, 523 являются простыми. Несомненно, это далеко не очевидно. Но все наши попытки подобрать какой-либо положительный делитель любого из этих чисел, отличный от единицы и самих этих чисел, закончатся неудачей. Это свидетельствует о том, что записанные числа являются простыми. В последнем пункте данной статьи мы более подробно поговорим о .

В качестве примеров составных чисел приведем 6, 63, 121 и 6 697. Это утверждение тоже нуждается в пояснении. Число 6 имеет кроме положительных делителей 1 и 6 еще и делители 2 и 3, так как 6=2·3, поэтому 6 – действительно составное число. Положительными делителями 63 являются числа 1, 3, 7, 9, 21 и 63. Число 121 равно произведению 11·11, поэтому его положительными делителями являются 1, 11 и 121. А число 6 697 составное, так как его положительными делителями кроме 1 и 6 697 являются еще и числа 37 и 181.

В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.

Что такое простые числа?

Самое техническое определение простых чисел состоит в том, что это натуральное число больше 1 и может быть получено только путем умножения 1 и самого себя. Если бы понимание натуральных чисел было более интуитивным, то можно было бы сказать, что это числа, которые мы используем для подсчета.

Чтобы понять это более точно, давайте выберем два числа — 5 и 6. Теперь 5 — это число, которое можно получить только умножением на 1 и 5 (само число). Однако, когда мы берем число 6, то замечаем, что его можно получить другим способом, кроме умножения 1 и 6 (само число). Его также можно получить умножением чисел 2 и 3, что означает, что это не простое число. Число, которое не является простым, известно как составное число.

Свойства

  • Числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий:
    • наибольший общий делитель a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} равен единице;
    • существуют целые x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y} такие, что ax+by=1{\displaystyle ax+by=1} (соотношение Безу).
  • Любые два (различных) простых числа взаимно просты.
  • Если a{\displaystyle a} — делитель произведения bc{\displaystyle bc}, и a{\displaystyle a} взаимно просто с b{\displaystyle b}, то a{\displaystyle a} — делитель c{\displaystyle c}.
  • Если числа a1,…,an{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} — попарно взаимно простые числа, то НОК(a1,…,an)=|a1⋅…⋅an|{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=|a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}|}. Например, НОК (9,11)=9⋅11=99{\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99}.
  • Вероятность того, что любые k{\displaystyle k} случайным образом выбранных положительных целых чисел будут взаимно просты, равна 1ζ(k){\displaystyle {\dfrac {1}{\zeta (k)}}}, в том смысле, что при N→∞{\displaystyle N\to \infty } вероятность того, что k{\displaystyle k} положительных целых чисел, меньших, чем N{\displaystyle {\textstyle {N}}} (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1ζ(k){\displaystyle {\dfrac {1}{\zeta (k)}}}. Здесь ζ(k){\displaystyle \zeta (k)} — это дзета-функция Римана.
  • Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.
admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий