Последовательность

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей:

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей:

Возрастающие и убывающие последовательности называются также монотонными последовательностями.

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов и :

или

Так как n=1,2,3,… то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

или

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (b_n) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

или

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a<10, то . Тогда последовательность является возрастающей. Если a>10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Так сколько же времен в английском?

На самом деле, приведенная таблица объединяет основные формы глагола. А помимо них в английском существуют и другие средства придать глаголу признаки залога, аспекта или времени.

Например:

• Привычные действия в прошлом (Past Habitual): I used to walk to the store. — Как правило, я ходил в магазин (вариант перевода: Раньше я всегда ходил в магазин).
• Ближайшее будущее (Immediate Future): I am about to walk to the store. — Я пошел в магазин (вариант: Схожу в магазин.)

Существует множество комбинаций вспомогательных глаголов, выполняющих подобные функции в английском. Вот их-то и придется выучить наизусть.

Из всего вышесказанного напрашивается довольно неутешительный вывод: система форм английского глагола сложна и точное количество видо-временных форм, так называемых «времен» глагола, так и не установлено. Sic.

Для тех, кто лучше воспринимает информацию на слух — обзорный рассказ о временах английского одного из учителей школы EngVid:

Для чего нужно установление хронологии событий

Вот мы и выяснили, что представляет собой это сложное понятие. Однако по-прежнему остается загадкой, зачем вообще выстраивать хронологический порядок тех или иных событий? В школе подобные задания выполняют ради получения положительной оценки. А зачем этим занимаются взрослые ученые, которые даже целую науку придумали для такого непонятного занятия?

Быть может, хронология приносит обществу какую-то пользу? Попробуем выяснить, что такое хронологический порядок с точки зрения науки и его важность для современного мира

Есть глубокомысленное утверждение: «Человек без прошлого, как дерево без корней». То есть человек, который не знает историю собственной жизни или своей семьи, города, страны, планеты, — просто ничто. К тому же, как известно, люди должны учиться на ошибках. Но как это сделать, если им ничего неизвестно о прошлых событиях. Выходит, такие существа обречены снова и снова наступать на одни и теже грабли?

Для полноценного изучения истории необходим анализ произошедших событий и их последствий. А сделать его можно лишь в том случае, когда известен четкий порядок всех этапов истории. Именно этой цели и служит наука хронология, которая изучает и представляет череду дат и событий в правильной последовательности.

Общие сведения

СПРАВКА! Архаизмы — это устаревшие термины, на данный момент больше не употребляющиеся в письме и в речи.

Чтобы узнать, что такое хронологический порядок, нужно провести детальный анализ этого слова.

Детальный разбор слова «хронология»

Под хронологией понимают последовательность или перечень определенных событий (обычно исторических) в том порядке, в котором они происходили с какого-то отрезка времени. Кроме того, под этим словом понимается наука, занимающаяся изучением этих событий.

Слово «хронология» греческого происхождения и образовано от слов «хронос», что означает время и «логос», что означает учение.

Когда это слово произносится, то слышится как храналогия, однако правильно писать хронология. Это обусловлено тем, что произошло это слово от слова «хронос», а оно пишется через букву «о». При произношении ударение нужно ставить на третьем слоге.

Примеры

• Функция ((−1)n)n=1∞{\displaystyle \left((-1)^{n}\right)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨−1,1,−1,1,−1,…⟩{\displaystyle \langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle }.
• Функция (1n)n=1∞{\displaystyle (1/n)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨1,12,13,14,15,…⟩{\displaystyle \langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle }.
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n⩽12{\displaystyle n\leqslant 12} одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида (xn)n=112{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{12}}. В частности, пятым элементом x5{\displaystyle x_{5}} этой последовательности является слово «май».

Последовательности в жизни

Порою, изучая математические объекты, люди задумываются – а какое отношение все эти формулы имеют к реальной жизни? Встречаются ли последовательности в природе и обществе, или они являются лишь плодом фантазии математиков?

На самом деле последовательности имеют большое практическое приложение. Так, Фибоначчи сформулировал свою последовательность тогда, когда изучал скорость размножения кроликов. Если каждая пара кроликов рожает в месяц ещё одну пару, а через месяц и старая, и новая пара рожает ещё кроликов, то их численность будет расти также, как и последовательность Фибоначчи! Аналогично протекают процессы роста популяций других животных.

Большое значение последовательности имеют в программировании. Дело в том, что порою программам нужно получить некоторое случайное число, чтобы имитировать случайные события. Однако по ряду причин компьютеру тяжело сгенерировать истинно случайное число, поэтому часто используют генераторы псевдослучайных чисел. Это особые алгоритмы, порождающие последовательности чисел, которые кажутся случайными, хотя таковыми на самом деле не являются.

Встречаются последовательности и в астрономии. В частности, расстояние от планет до Солнца примерно можно рассчитать с помощью особой последовательности Тициуса-Боде. Последние исследования показывают, что и расположение планет в других планетных системах хорошо описывается этой последовательностью.

Мы сделали подборку лучших онлайн-курсов для эффективной подготовки к ОГЭ

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности \(a_n=n^2-n\):

а) \(1\)               б) \(3\)               в) \(6\)              г) \(10\) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

\(a_1=1^2-1=0\) – мимо.

\(a_2=2^2-2=2\) – тоже не то.

\(a_3=3^2-3=6\) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: \(6\).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу \(n\) -го члена вместо \(a_n\); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное \(n\); 

3. Если \(n\) – натуральное, то данное число — член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число \(3\) членом последовательности \(a_n=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\) ?

Решение:

\(a_n=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\)	Если число \(3\) – член последовательности, то значит при некотором значении \(n\), формула \(\frac{51+2n}{n+4}\) должна дать нам тройку. Найдем это \(n\) по алгоритму выше. Подставляем тройку вместо \(a_n\).
\(3=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\)	Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель \((n+4)\).
\(3\cdot (n+4)=51+2n\)	Получилось линейное уравнение. Раскрываем скобки слева.
\(3n+12=51+2n\)	Собираем неизвестные слева, числа справа…
\(3n-2n=51-12\)	…и приводим подобные слагаемые.
\(n=39\)	Готово. Найденное значение – это то число, которое надо подставить вместо \(n\) в формулу \(\frac{51+2n}{n+4}\), чтоб получилось тройка (можете проверить это сами). Значит \(39\)-ый член последовательности равен трем.

Ответ:

Смотри также: Арифметическая прогрессияГеометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b_n}, заданная рекуррентно соотношениями

b₁ = b, b_n = b_n–1q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b₁2, b₂2, b₃2, …, b_n2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b₁2, а знаменатель – q2.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

b_n = b₁qn–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b₁, b₂, b₃, …, b_n

пусть S_n – сумма ее членов, т.е.

S_n= b₁ + b₂+ b₃ + … + b_n.

Принимается, что q № 1. Для определения S_nприменяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S_nq.

Тогда

S_nq = (b₁ + b₂ + b₃+ … + b_n–1 + b_n)q = b₂ + b₃ + b₄ + …+ b_n + b_nq = S_n+ b_nq – b₁.

Таким образом, S_nq = S_n + b_nq – b₁ и, следовательно,

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S_n = a₁n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b_n= b_n-1q;

b_n= b_n+1/q,

следовательно, b_n2= b_n–1 b_n+1 и верна следующая теорема (характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Связанные определения

• Подмножество fN{\displaystyle f\left} множества X{\displaystyle X}, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.
• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка a∈X{\displaystyle a\in X} как одноточечное подмножество {a}⊂X{\displaystyle \{a\}\subset X} является носителем стационарной последовательности вида a,a,a,…{\displaystyle a,a,a,\dots }.

Любое отображение множества N{\displaystyle \mathbb {N} } в себя также является последовательностью.

В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности.

Связанные определения

• Подмножество fN{\displaystyle f\left} множества X{\displaystyle X}, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.
• Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Комментарии

Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка a∈X{\displaystyle a\in X} как одноточечное подмножество {a}⊂X{\displaystyle \{a\}\subset X} является носителем стационарной последовательности вида a,a,a,…{\displaystyle a,a,a,\dots }.

Любое отображение множества N{\displaystyle \mathbb {N} } в себя также является последовательностью.

В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

Имеем:

В качестве n берем 501. Имеем:

или

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

Далее, учитывая (13), имеем:

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n так, чтобы

Рашим (15) относительно n:

Получили

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n). Из неравенства (16) можно найти номер n, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

На Рис. 3 представлена функция . Абсцисы нарисованных точек это номера членов последовательности, а ординаты образуют последовательность (18) (или (19)). Прямая y=1 (горизонтальная пунктирная линия) называется горизонтальной асимптотой. Как видно из Рис.3 последовательность приближается к горизонтальной асимптоте.

Способы задания последовательностей

Чтобы задать послед-ть, необходимо указать способ, с помощью которого можно вычислить любой ее член. Проще всего это сделать, записав формулу, в которой в качестве переменной использует номер члена послед-ти n.Такая формула называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример. Послед-ть задается формулой а_n = 3n. Выпишите первые пять членов этой послед-ти.

Решение. Чтобы найти первый член послед-ти, то есть а₁, просто подставим в формулу единицу:

Аналогично можно вычислить и следующие четыре члена послед-ти:

Итак, послед-ть имеет вид:

3, 6, 9, 12, 15…

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15

Пример:Запишите формулу n-ого члена для послед-ти

1, 3, 5, 7, 9…

состоящей из положительных нечетных чисел.

Решение. Каждое нечетное число можно представить в виде 2n– 1. Тогда получаем:

Получаются как раз члены послед-ти, указанной в условии. Поэтому формула n-ого члена будет выглядеть как а_n = 2n– 1.

Ответ: а_n = 2n– 1.

Стоит обратить внимание, что для вычисления n-ого члена послед-ти НЕ нужно вычислять все предшествующие члены. Пример

Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой аn = 2n2 + 1

Пример. Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой а_n = 2n2 + 1.

Решение. Подставим n = 38 в формулу и получим:

Ответ: 1445

Теперь рассмотрим послед-ть, в которой первые два числа равны единице, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Она называется последовательностью Фибоначчи и начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Действительно, по условию, первые два члена – это единица:

а каждый следующий равен сумме предыдущих:

Формулу n-ого члена записать для послед-ти Фибоначчи очень сложно (хотя и возможно). Вместо этого здесь удобнее использовать рекуррентный способ задания последовательности. Записываются первые несколько членов послед-ти, а после дается формула (ее называют рекуррентной), которая позволяет вычислить следующие члены по предыдущим:

При использовании рекуррентного способа для вычисления n-ого члена обычно необходимо вычислить все предыдущие члены послед-ти.

Пример. Найдите пятый член послед-ти, заданной рекуррентной формулой а_n= 3•а_n–1– 1, если а₁ = 2.

Решение. Будем последовательно вычислять все члены послед-ти, вплоть до пятого:

Ответ: 5

Надо понимать, что одну и ту же послед-ть можно задать по-разному. Так, послед-ть четных чисел можно задать формулой n-ого члена а_n = 2n, так и рекуррентной формулой а_n = a_n–1 + 2, если а₁ = 1.

Пример. Дана послед-ть, заданная формулой а_n = n2. Задайте ее рекуррентным способом.

Решение. Сначала вычислим первый член послед-ти:

Чтобы записать рекуррентную формулу, попытаемся найти разницу между членами, имеющими номера n и (n– 1):

Итак, получили равенство

Перенесем в нем слагаемое (– a_{n– 1}) вправо и получим рекуррентную формулу:

Наконец, некоторые послед-тине получается задать ни формулой n-ого члена, ни рекуррентным способом. Их можно только описать. Таковой является, например, послед-ть простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11…

Мы не будем это доказывать, однако не существует такой формулы, которая позволяла бы вычислить n-ое простое число либо по самому числу n, либо по предыдущим простым числам. Действительно, для построения такой послед-ти используют особый алгоритм, известный как . Если бы существовала формула n-ого члена, то потребность в использовании решета Эратосфена отпала бы.

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Разбираем слово детально

Хронология — это перечень или последовательность каких-либо событий (чаще исторических) по мере того, как они происходили с определенного отрезка времени, а также наука, изучающая эти события. Слово имеет греческие корни и образовалось от «хронос» — время и «логос» — учение.

При произношении оно слышится (как храналогия) с ударением на третьем слоге — хро-но-лО-ги-я. Но правильным написанием будет следующее: хронология. По причине того, что, как мы упоминали ранее, слово произошло от «хронос», которое пишется через букву «о» в обоих слогах.

Подобрать синонимы к нему не составит труда. Ведь их можно позаимствовать прямо из его толкования:

• последовательность;
• череда;
• очередь;
• перечень;
• времяисчисление;
• порядок.

Прямых антонимов нет, а косвенными можно считать слова «хаотичность», «беспорядок», «разнобой».

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Примеры

• Функция ((−1)n)n=1∞{\displaystyle \left((-1)^{n}\right)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨−1,1,−1,1,−1,…⟩{\displaystyle \langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle }.
• Функция (1n)n=1∞{\displaystyle (1/n)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨1,12,13,14,15,…⟩{\displaystyle \langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle }.
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n⩽12{\displaystyle n\leqslant 12} одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида (xn)n=112{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{12}}. В частности, пятым элементом x5{\displaystyle x_{5}} этой последовательности является слово «май».

Present Perfect vs Past Perfect

Очень часто при переводе с русского на английский можно запутаться в выборе верного времени, ведь они оба имееют схожие черты. Давайте рассмотрим таблицу, чтобы избавиться от сомнений в чем отличия между Present Perfect и Past Perfect.

Разница между Present Perfect и Past Perfect
Указывает на то, что действие, выраженное временем Present Perfect, завершилось к настоящему моменту или в период настоящего времени:The shopping center has just opened. – Торговый центр только что открылся.

Указывает на то, что действие, выраженное временем Past Perfect, произошло раньше другого действия или определенного момента в прошлом:We came to the office, but the administrator had already gone away

– Мы пришли в офис, а администратор уже ушёл.

Показывает, что действие произошло в прошлом, неизвестно и неважно когда именно, но результат его виден в настоящем:He knows her name. They have already met

– Он знает её имя. Они уже встречались.

Показывает, что действие произошло в прошлом и стало причиной, привело к тому, что произошло другое действие в прошлом:My brother felt hungry. He had not eaten since yesterday. – Мой брат был голоден. Он не ел со вчерашнего дня.

Nota bene: Рекомендуем еще раз прочитать небольшую теорию и выполнить задание в нашем онлайн тренажере, чтобы у вас больше никогда не возникало сомнений по поводу использования Past Perfect.

Связанные определения

называются короткими точными последовательностями, в этом случае φ{\displaystyle \varphi } — мономорфизм, а ψ{\displaystyle \psi } — эпиморфизм

При этом, если у φ{\displaystyle \varphi } есть правый обратный или у ψ{\displaystyle \psi } левый обратный морфизм, то B{\displaystyle B} можно отождествить с A⊕C{\displaystyle A\oplus C} таким образом, что φ{\displaystyle \varphi } отождествляется с каноническим вложением A{\displaystyle A} в A⊕C{\displaystyle A\oplus C}, а ψ{\displaystyle \psi } — с канонической проекцией A⊕C{\displaystyle A\oplus C} на C{\displaystyle C}. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

.

• Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
• Если Imφi⊂Kerφi+1,{\displaystyle \mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},} то последовательность называется полуточной.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁ y₂ y₃ y_n y_n+1

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n2– возрастающая последовательность.

Пример 2. y₁ = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y₁ = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (xn){\displaystyle (x_{n})} — это последовательность (xnk){\displaystyle (x_{n_{k}})}, где (nk){\displaystyle (n_{k})} — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности (xkn){\displaystyle (x_{k_{n}})} верно, что ∀n∈Nkn⩾n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n}.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Вычисление пределов

 — однородность;

 —
аддитивность;

 — мультипликативность;

, если и все .

В этом примере мы имеем бесконечно большую последовательность , делёную
на бесконечно большую последовательность . Приём, который мы применили,
прост: мы поделили числитель и знаменатель на член наибольшего порядка
(быстрее всех стремящийся к бесконечности), в нашем случае оказавшийся
равным , и получили частное константы и бесконечно большой
последовательности, которое, как легко убедиться, стремится к нулю.

В этом примере мы в точности повторяем описанный выше приём, только в
результате получаем бесконечно малую последовательность, делёную на
последовательность, сходящуюся к единице. Такое частное также стремится к
нулю, это легко проверить, используя арифметические правила для пределов
(после наших преобразований они заработали!).

Здесь мы использовали приём, который принято называть «домножением на
сопряжённое». Мы домножили и поделили выражение под пределом на скобку,
которая позволила нам в числителе получить разность квадратов и избавиться
таким образом от корней.

Этот простой пример обошёлся без хитрых приёмов и вообще предназачался,
скорее, для того, чтобы показать, насколько разными могут быть решения
похожих задач.

вторым замечательным пределом

числом Эйлера

4.4. Понятие порядка последовательности

Внимание! Статья
в разработке. Возможно, я дописываю её прямо сейчас

Так что ждите
продолжения! (Нажмите  Поддержать проект, чтобы узнать, как можно ускорить
этот процесс.)