Определение и примеры подобных слагаемых.
Разговор о подобных слагаемых возникает после знакомства с , когда возникает необходимость проведения преобразований с ними. По учебникам математики Н. Я. Виленкина определение подобных слагаемых дается в 6 классе, и оно имеет следующую формулировку:
Определение.
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Стоит внимательно разобраться в этом определении. Во-первых, речь идет о слагаемых, а, как известно, слагаемые являются составными элементами сумм. Значит, подобные слагаемые могут присутствовать лишь в выражениях, которые представляют собой суммы. Во-вторых, в озвученном определении подобных слагаемых присутствует незнакомое понятие «буквенная часть». Что же понимают под буквенной частью? Когда дается это определение в шестом классе, под буквенной частью понимается одна буква (переменная) или произведение нескольких букв. В-третьих, остается вопрос: «А что же это за такие слагаемые с буквенной частью»? Это слагаемые, представляющие собой произведение некоторого числа, так называемого числового коэффициента, и буквенной части.
Вот теперь можно привести примеры подобных слагаемых. Рассмотрим сумму двух слагаемых 3·a и 2·a вида 3·a+2·a. Слагаемые в этой сумме имеют одинаковую буквенную часть, которая представлена буквой a, поэтому, согласно определению эти слагаемые являются подобными. Числовыми коэффициентами указанных подобных слагаемых являются числа 3 и 2.
Еще пример: в сумме 5·x·y3·z+12·x·y3·z+1 подобными являются слагаемые 5·x·y3·z и 12·x·y3·z с одинаковой буквенной частью x·y3·z. Заметим, что в буквенной части присутствует степень y3, ее присутствие не нарушает данное выше определение буквенной части, так как она, по сути, является произведением y·y·y.
Отдельно отметим, что числовые коэффициенты 1 и −1 у подобных слагаемых часто не записываются явно. Например, в сумме 3·z5+z5−z5 все три слагаемых 3·z5, z5 и −z5 являются подобными, они имеют одинаковую буквенную часть z5 и коэффициенты 3, 1 и −1 соответственно, из которых 1 и −1 явно не видны.
Дальше из контекста указанного выше учебника становится видно дополнение к определению подобных слагаемых – слагаемые в буквенном выражении, не имеющие буквенной части, также называют подобными.
Исходя из этого, в сумме 5+7·x−4+2·x+y подобными слагаемыми являются не только 7·x и 2·x, но и слагаемые без буквенной части 5 и −4.
Позже расширяется и понятие буквенной части – буквенной частью начинаю считать не только произведение букв, а произвольное буквенное выражение. К примеру, в учебнике алгебры для 8 класса авторов Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского приведена сумма вида , и сказано, что составляющие ее слагаемые являются подобными. Общей буквенной частью этих подобных слагаемых является выражение с корнем вида .
Аналогично, подобными слагаемыми в выражении 4·(x2+x−1/x)−0,5·(x2+x−1/x)−1 можно считать слагаемые 4·(x2+x−1/x) и −0,5·(x2+x−1/x), так как они имеют одинаковую буквенную часть (x2+x−1/x).
Обобщив всю изложенную информацию, можно дать следующее определение подобных слагаемых.
Определение.
Подобными слагаемыми называются слагаемые в буквенном выражении, имеющие одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, не имеющие буквенной части, где под буквенной частью понимается любое буквенное выражение.
Отдельно скажем, что подобные слагаемые могут быть одинаковыми (когда равны их числовые коэффициенты), а могут быть и разными (когда их числовые коэффициенты различны).
В заключение этого пункта обсудим один очень тонкий момент. Рассмотрим выражение 2·x·y+3·y·x. Являются ли слагаемые 2·x·y и 3·y·x подобными? Этот вопрос можно формулировать и так: «одинаковы ли буквенные части x·y и y·x указанных слагаемых»? Порядок следования буквенных множителей в них различен, так что фактически они не одинаковые, следовательно, слагаемые 2·x·y и 3·y·x в свете введенного выше определения не являются подобными.
Однако достаточно часто такие слагаемые называют подобными (но для строгости лучше этого не делать). При этом руководствуются вот чем: согласно переместительному свойству умножения перестановка множителей в произведении не влияет на результат, поэтому исходное выражение 2·x·y+3·y·x можно переписать в виде 2·x·y+3·x·y, слагаемые которого подобны. То есть, когда говорят о подобных слагаемых 2·x·y и 3·y·x в выражении 2·x·y+3·y·x, то имеют в виду слагаемые 2·x·y и 3·x·y в преобразованном выражении вида 2·x·y+3·x·y.
Приведение подобных слагаемых, правило, примеры
Преобразование выражений, содержащих подобные слагаемые, подразумевает выполнение сложения этих слагаемых. Это действие получило особое название — приведение подобных слагаемых.
Приведение подобных слагаемых проводится в три этапа:
- сначала проводится так, чтобы подобные слагаемые оказались рядом друг с другом;
- после этого выносится за скобки буквенная часть подобных слагаемых;
- наконец, вычисляется значение числового выражения, образовавшегося в скобках.
Разберем записанные шаги на примере. Приведем подобные слагаемые в выражении 3·x·y+1+5·x·y. Во-первых, переставляем слагаемые местами так, чтобы подобные слагаемые 3·x·y и 5·x·y оказались рядом: 3·x·y+1+5·x·y=3·x·y+5·x·y+1. Во-вторых, выносим буквенную часть за скобки, получаем выражение x·y·(3+5)+1. В-третьих, вычисляем значение выражения, которое образовалось в скобках: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1. Так как числовой коэффициент принято записывать перед буквенной частью, то перенесем его на это место: x·y·8+1=8·x·y+1. На этом приведение подобных слагаемых завершено.
Для удобства три перечисленных выше шага объединяют в правило приведения подобных слагаемых: чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на буквенную часть (если она есть).
Решение предыдущего примера с использованием правила приведения подобных слагаемых будет короче. Приведем его. Коэффициентами подобных слагаемых 3·x·y и 5·x·y в выражении 3·x·y+1+5·x·y являются числа 3 и 5, их сумма равна 8, умножив ее на буквенную часть x·y, получаем результат приведения этих слагаемых 8·x·y. Осталось не забыть про слагаемое 1 в исходном выражении, в итоге имеем 3·x·y+1+5·x·y=8·x·y+1.
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Приведите подобные слагаемые: 0,5·x+1/2+3,5·x−1/4.
Решение.
Сначала приведем подобные слагаемые 0,5·x и 3,5·x. По правилу складываем их коэффициенты 0,5+3,5=4 (при необходимости изучите статью сложение десятичных дробей), и этот результат умножаем на буквенную часть, получаем 4·x.
Теперь приводим подобные слагаемые без буквенной части 1/2+(−1/4)=1/2−1/4=1/4. Здесь нам придется применить правило сложения чисел с разными знаками, после чего выполнить вычитание обыкновенных дробей. Имеем 1/2+(−1/4)=1/2−1/4=1/4.
В итоге имеем 0,5·x+1/2+3,5·x−1/4=4·x+1/4.
Краткая запись решения может быть такой: 0,5·x+1/2+3,5·x−1/4=(0,5·x+3,5·x)+(1/2−1/4)=4·x+1/4.
Ответ:
0,5·x+1/2+3,5·x−1/4=4·x+1/4.
В заключение разговора про приведение подобных слагаемых отметим, что это действие базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое выражается равенством a·(b+c)=a·b+a·c. При приведении подобных слагаемых это равенство используется справа налево, то есть, в виде a·b+a·c=a·(b+c).
Список литературы.
- Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / . — 22-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
