Деление натуральных чисел

В программировании

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык	Неполноечастное	Остаток	Знак остатка
ActionScript			Делимое
Ada			Делитель
	Делимое
Бейсик			Не определено
Си (ISO 1990)		Не определено
Си (ISO 1999)		Делимое
C++ (ISO 2003)		Не определено
C++ (ISO 2011)		Делимое
C#		Делимое
ColdFusion			Делимое
Common Lisp			Делитель
		Делимое
D		Делимое
Delphi			Делимое
Eiffel			Делимое
Erlang			Делимое
Euphoria			Делимое
Microsoft Excel (англ.)			Делитель
Microsoft Excel (рус.)
FileMaker			Делитель
Fortran			Делимое
		Делитель
GML (Game Maker)			Делимое
Go		Делимое
Haskell			Делитель
		Делимое
J			Делитель
Java		Делимое
		Делитель (1.8+)
JavaScript	.toFixed(0)		Делимое
Lua			Делитель
Mathematica			Делитель
MATLAB			Делитель
		Делимое
MySQL			Делимое
Oberon			+, если делитель >0
Objective Caml			Не определено
Pascal			Делимое
Perl	Нет		Делитель
PHP	Нет		Делимое
PL/I			Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)			Делитель
PureBasic		Делимое
Python			Делитель
QBasic			Делимое
R			Делитель
RPG			Делимое
Ruby		Делитель
Scheme			Делитель
SenseTalk			Делитель
	Делимое
Tcl			Делитель
Verilog (2001)			Делимое
VHDL			Делитель
	Делимое
Visual Basic			Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция вычисляет остаток от деления, а операция осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка

Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к −∞{\displaystyle -\infty }.

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма n копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: и . Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (x, y), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: и соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=ab{\displaystyle q=\left}, где x{\displaystyle }, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды остаток программируется как a−qb{\displaystyle a-qb}.

Если b{\displaystyle b} положительно, а знак r{\displaystyle r} совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r′=(b+(amod⁡b))mod⁡b{\displaystyle r’=(b+(a\operatorname {mod} b))\operatorname {mod} b}.

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 2n{\displaystyle 2^{n}} — это битовый сдвиг a≫n{\displaystyle a\gg n} (для чисел со знаком — арифметический) и a&⁡(2n−1){\displaystyle a\mathop {\&} (2^{n}-1)}.

Деление с остатком и неполное частное

Но не всегда можно одно число разделить на другое. Вернее сказать, что не всегда можно сделать это полностью. Например, 37 нельзя разделить на 5, потому что нет такого натурального числа, умножив которое на 5, мы получили бы 37. В этом случае говорят, что 37 не делится нацело на 5.

К примеру, если мы захотим раздать все 37 яблок поровну между пятью детьми, то у нас это сделать не получится. Мы сможем раздать (использовать из всего количества яблок) только по 7 яблок каждому ( \(\textcolor{red} {7\cdot 5=35}\) ), и у нас останется 2 яблока ( \(\textcolor{red} {37-35=2}\) ).

В таком случае действие деление также состоит из делимого (в нашем случае 37) и делителя (5). Полученное число 7 называется неполное частное, потому что не все делимое число мы смогли разделить на необходимое число частей. А разница между полным делимым (37) и использованными из него единицами (35), то есть число 2, называется остаток.

Итак, деление с остатком – это нахождение
такого наибольшего целого числа, умножив которое на делитель, мы получим число,
максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Это искомое число
называется неполное частное. Разница
между делимым и неполным частным называется остаток.

Остаток всегда меньше делителя!

Отсюда следует общий вид действия деления натуральных чисел для случаев деления без остатка и с остатком.Разделить целое число a (делимое) на целое число b (делитель) означает найти такие числа c и d, при которых справедливы следующие соотношения: \(\textcolor{red} {a=b\cdot c+d}\) ; \(\textcolor{red} {d<b}\) .Если \(\textcolor{red} {d=0}\) , тогда говорят, что a делится на b без остатка.

Компоненты действия
деление с остатком:

Числа от 1 до 1000 Деление на двузначное и трёхзначное число Письменное деление на двузначное числоОтветы к стр. 60

Объясни, как выполнено деление, по плану (с. 59).
_ 29736 |56       _ 136576 |64           280     |531        128       |2134   _173                     _85     168                       64       _56                   _217         56                     192           0                     _256                                    256

Надо 29736 разделить на 56.
1) Выделяю первое неполное делимое. 297 (сотен).
2) Нахожу первую цифру частного. 297  56 = 5 (сотен).
3) Образую второе неполное делимое. 56 • 5 = 280, 297 — 280 = 17 (сотен). Добавляю оставшиеся 3 десятка — 173.
4) Нахожу вторую цифру частного. 173  56 = 3 (десятка).
5) Образую третье неполное делимое. 56 • 3 = 168, 173 — 168 = 5 (десятков). Добавляю оставшиеся 6 единиц — 56.
6) Нахожу третью цифру частного. 56 56 = 1.
Получилось частное 531.
Проверка. 56 • 531 = 29736 — деление выполнено верно, без остатка.

Надо 136576 разделить на 64.
1) Выделяю первое неполное делимое. 136 (тысяч).
2) Нахожу первую цифру частного. 136  64 = 2 (тысячи).
3) Образую второе неполное делимое. 64 • 2 = 128, 136 — 128 = 8 (тысяч). Добавляю оставшиеся 5 сотен — 85.
4) Нахожу вторую цифру частного. 85  64 = 1 (сотня).
5) Образую третье неполное делимое. 64 • 1 = 64, 85 — 64 = 21 (сотня). Добавляю оставшиеся 7 десятков — 217.
6) Нахожу третью цифру частного. 217 64 = 3 (десятка).
7) Образую четвёртое неполно делимое. 64 • 3 = 192, 217 — 192 = 25 (сотен). Добавляю оставшиеся 6 единиц — 256.
8) Нахожу четвёртую цифру частного. 256 64 = 4.
Получилось частное 2134.
Проверка. 64 • 2134 = 136576 — деление выполнено верно, без остатка.

226. 48984 : 52       91375 : 43      243144 : 72     351456 : 84

_— 48984 |52         _— 91375 |43        468     |942          86       |2125   _218                    _53     208                      43     _104                   _107       104                      86           0                    _215                                   215

_— 243144 |72            _— 351456 |84        216       |3377           336       |4184   _271                         _154     216                             84     _554                         _705       504                           672       _554                         _336         554                           336            0                               0

227. Реши задачи и сравни их решения.
1) Теплоход за два дня прошёл 350 км. В первый день он был в пути 8 ч, а во второй — 6 ч. Какое расстояние он прошёл в каждый из дней, если шёл с одинаковой скоростью?
2) Теплоход в первый день был в пути 8 ч, а во второй — 6 ч, причём в первый день он прошёл на 50 км больше, чем во второй. Какое расстояние теплоход прошёл в каждый из этих дней, если шёл с одинаковой скоростью?

1-я задача
1) 8 + 6 = 14 (ч) — всего в пути
2) 350 14 = 25 (км/ч) — скорость теплохода
3) 25 • 8 = 200 (км) — прошёл теплоход в первый день
4) 25 • 6 = 150 (км) — прошёл теплоход во второй день
О т в е т: 200 км и 150 км.

2-я задача
1) 8 – 6 = 2 (ч) — больше шёл теплоход в первый день
2) 50 2 = 25 (км/ч) — скорость движения теплохода
3) 25 • 8 = 200 (км) — прошёл теплоход в первый день
4) 25 • 6 = 150 (км) — прошёл теплоход во второй день
О т в е т: 200 км и 150 км.

В обоих случаях находится скорость теплохода и вычисляется расстояние, которое он прошёл в каждый день. Но в первом случае скорость находится через общее время в пути, а во втором — через разницу во времени для первого и второго дня (разностное сравнение).

228. Фермеры продали 1364 т пшеницы, ржи — на 276 т меньше, чем пшеницы, а гречихи — в 8 раз меньше, чем ржи. Сколько тонн гречихи продали фермеры?

1) 1364 – 276 = 1088 (т) — ржи
2) 1088 8 = 136 (т) — гречихи
О т в е т: продали 136 т гречихи.

229. Проверь, верны ли равенства.
1428 : 42 = 2856 : 84          4507 • 18 = 81126
9408 – 936 = 8208 + 736     9512 : 29 = 328

1428 42 = 2856 84
34 = 34 — верно

9408 — 936 = 8208 + 736
8472 = 8944 — неверно

4507 • 18 = 81126
81126 = 81126 — верно

9512 29 = 328
328 = 328 — верно

230. Длина прямоугольника 8 см, периметр 24 см. Начерти такой же прямоугольник, раздели его на 2 равных треугольника. Найди площадь каждого треугольника.

1) 24 2 – 8 = 4 (см) — ширина прямоугольника
2) 8 • 4 = 32 (см2) — площадь прямоугольника
3) 32 2 = 16 (см2) — площадь каждого треугольника

231. Один ученик умножил 1738 на 302 столбиком и получил в произведении 55516, другой на калькуляторе получил 524876. У кого из них верный ответ?

   _×1738      302₊    3476 5214    524876 — правильный ответ получен на калькуляторе

Определи, сколько будет цифр в частном, и выполни деление. 17328 : 38

Первое неполное делимое 173, значит в частном будет 3 цифры. 

_— 17328 |38          152     |456_212     190     _228       228

ЗАДАНИЕ НА ПОЛЯХ
ЦЕПОЧКА

РЕБУС

     _×487       45₊  2435 1948    21915

← Предыдущая

Следующая →

Обобщения

Вещественные числа

Если два числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, a{\displaystyle a} может быть поделено на b{\displaystyle b} без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если a,b∈R,b≠{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}, то a=bq+r{\displaystyle a=bq+r}, где ⩽r<|b|{\displaystyle 0\leqslant r<|b|}.

Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

⌊7,92,1⌋=3{\displaystyle \left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3} (неполное частное);

7,9−3⋅2,1=1,6{\displaystyle 7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6} (остаток).

Гауссовы целые числа

Гауссово число — это комплексное число вида a+bi{\displaystyle a+bi}, где a,b{\displaystyle a,b} — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число u{\displaystyle u} можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число v{\displaystyle v}, то есть представить в виде:

u=vq+r{\displaystyle u=vq+r},

где частное q{\displaystyle q} и остаток r{\displaystyle r} — гауссовы числа, причём |r|<|v|.{\displaystyle |r|<|v|.}
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, 7+2i{\displaystyle 7+2i} можно разделить на 3−i{\displaystyle 3-i} тремя способами:

7+2i=(3−i)(2+i)+i=(3−i)(1+i)+3=(3−i)(2+2i)+(−1−2i).{\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}

Многочлены

При делении с остатком двух многочленов f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

f(x)=q(x)g(x)+r(x){\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}, причём deg⁡(r)<deg⁡(g){\displaystyle \deg(r)<\deg(g)}.

Пример

2×2+4x+5x+1=2x+2{\displaystyle {\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2} (остаток 3), так как: 1=2×2+4x+5=(x+1)(2x+2)+3{\displaystyle 1=2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}.

Примечания

1. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
2. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. ; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
3. ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++, 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
4. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
5.  (англ.). dlang.org. Дата обращения 29 октября 2017.
6. К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
7. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.

Как найти количество цифр в частном?

Так как первое неполное делимое в данном примере – это 75 тысяч, то есть, мы делим единицы тысяч, тогда самый старший разряд частного также будет тысячи. Значит, помимо цифры самого большого разряда, будут ещё три цифры: в сотнях, десятках и простых единицах.

Итак, чтобы узнать количество цифр в частном, нужно:1. Найти первое неполное делимое.2. Посчитать, сколько в делимом остальных цифр.3. Прибавить к этому количеству единицу (цифра частного, полученная после деления первого неполного делимого).4. Результат и будет количеством цифр в частном.

Проверим это на нашем примере \({\color{Red} 75184\div 12}\) .

Первое неполное делимое – 75 тысяч. Оставшихся цифр в делимом три. \({\color{Red} 3+1=4}\) , значит, в частном будет четырехзначное число.

Поделим, и убедимся:

Как видите, в частном получилось четырехзначное число 6265, и остаток составил 4 единицы.

В конце хочу сказать, что определение количества цифр в частном помогают развить и укрепить очень необходимый для младших школьников навык – самоконтроль.

Вам также пригодится:

Как научить ребенка преодолевать трудности?

Быстрое нахождение однозначного частного

7 советов, которые помогут вашему ребенку понять и полюбить математику

6 правил, которые научат ребенка собранности

1+

Определение

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль, либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше.

Для вычисления неполного частного от деления a{\displaystyle a} на положительное число b{\displaystyle b} следует разделить (в обычном смысле) a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b} и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

q=⌊ab⌋,{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,} когда b>{\displaystyle b>0}.

где полускобки ⌊⋅⌋{\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor } обозначают взятие целой части. Значение неполного частного q{\displaystyle q} позволяет вычислить значение остатка r{\displaystyle r} по формуле:

r=a−b⋅q.{\displaystyle r=a-b\cdot q.}

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

q=⌈ab⌉,{\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,} когда b<{\displaystyle b<0}.

Как научить ребенка делению – закрепляем навык

Главное из-за чего у многих школьников возникает проблема с математикой — это неумение быстро делать простые арифметические расчеты. А на этой основе построена вся математика в начальной школе. Особенно часто проблема именно в умножении и делении.
Чтобы ребенок научился быстро и качественно проводить расчеты деления в уме — необходима правильная методика обучения и закрепление навыка. Для этого мы советуем воспользоваться популярными на сегодня пособиями в усвоение навыка деления. Одни предназначены для занятий детей с родителями, другие для самостоятельной работы.

1. «Деление. Уровень 3. Рабочая тетрадь» от крупнейшего международного центра дополнительного образования Kumon
2. «Деление. Уровень 4. Рабочая тетрадь» от Kumon
3. «Не Ментальная арифметика. Система обучения ребенка быстрому умножению и делению. За 21 день. Блокнот-тренажёр.» от Ш. Ахмадулина – автора обучающих книг-бестселлеров

Самым главным, когда вы учите ребёнка делению в столбик, является  усвоение алгоритма, который, в общем-то, достаточно прост.

Если ребёнок хорошо оперирует таблицей умножения и «обратным» делением, у него не возникнет трудностей

Тем не менее очень важно постоянно тренировать полученный навык. Не останавливайтесь на достигнутом, как только вы поймёте, что ребёнок уловил суть метода

Для того чтобы легко научить ребёнка операции деления нужно:

• Чтобы в возрасте двух–трех лет он освоил отношения «целое – часть». У него должно сложиться понимание целого, как неразделимой категории и восприятие отдельной части целого как самостоятельного объекта. Например – игрушечный грузовик – целое, а его кузов, колеса, дверцы – части этого целого.
• Чтобы в младшем школьном возрасте ребенок свободно оперировал действиями по сложению и вычитанию чисел, понимал суть процессов умножения и деления.

Для того чтобы занятия математикой доставляли ребёнку удовольствие, необходимо возбуждать его интерес к математике и математическим действиям, не только во время обучения, но и в бытовых ситуациях.

Поэтому поощряйте и развивайте наблюдательность у ребёнка, проводите аналогии с математическими действиями (операции на счёт и деление, анализ отношений «часть-целое» и т.д.) во время конструирования, игр и наблюдений за природой.

Как делать проверку

Проверка деления производится с помощью умножения: делитель умножается на делитель. Делать это можно столбиком:

Теперь проверим:

Для проверки деления с остатком нужно:

1. Умножить полное частное на делитель.
2. Прибавить к результату остаток.

17х2=34

34+1 (остаток) =35

Алгоритм проверки правильности решения примера деления не изменяется от разрядности цифр.

Видео: как научиться делить в столбик

Обучение делению столбиком десятичных дробей с запятой

Деление десятичных дробей

Чтобы ребенок сориентировался в этом математическом действие, ему необходимо разложить информацию «по полочкам»:

Десятичная дробь допускает деление не только на десятичную дробь, но и на целое значение. В таких задачах необходимо действовать, как с обычными примерами. Только когда у делимого закончатся значения до запятой, ее нужно поставить в частное. Далее деление тоже протекает привычным способом.

Десятичные дроби так же делятся на десятичные дроби. В этом математическом действии нужно убрать запятые у второго числа. Для этого требуется перенести ее вправо в обоих значениях на то количество цифр, которое отделено у делителя.

Задачи, которые решаются при помощи действия деления

В курсе математики
средней школы наиболее часто используется деление при решении таких задач,
когда нужно:

• Узнать, во сколько раз одно число меньше и больше другого? Этот вопрос может звучать по-другому: сколько раз меньшее число содержится (помещается) в большем? Или: сколько раз поместится в большем числе меньшее?Например: сколько пятиграммовых стиков сахара находится в килограммовой упаковке? (1000 г : 5 г = 200 шт.).
• Число разделить на заданное количество равных частей.Например: сколько получится грамм сахара в каждом пакете, если пересыпать килограмм сахара в 5 одинаковых пакетов поровну? (1000 г : 5 шт. = 200 г).
• Уменьшить число в заданное количество раз.Например: для приготовления блюда на 5 человек использовали 1 кг сахара, а сколько сахара потребуется для приготовления этого же блюда для одного человека? (1000 г : 5 чел. = 200 г).

Подготовка в обучению

Для того, чтобы начать объяснять ребенку принцип счета столбиком, Вы должны понять: готов ли он к этому. Обучение должно начинаться только в том случае, если малыш свободно и правильно производит простые арифметические действия с числами от 0 до 10.

Сюда входят сложение, вычитание, деление и умножение (если ребенок не знает одно из приведенных действий, то лучше научите его заранее, ведь «столбик» желательно учить комплексом, т.е. все вариации разбирать вместе)

Важно повторить все перед «стартом», ведь это — самая основа, которую закладывают во 2 — 3 классе.

Не забудьте «разобрать по полочкам» понятие единиц, десятков, сотен и тысяч! Без этого ребенок не сможет наиболее точно понять принцип подсчета и дальше двузначных чисел вы не уйдете.

Здесь отлично подойдет методика, где ученик записывает разные цифры числа под строкой своего разряда. Например: 2312 и 534 — тут получится, что 5 будет под 3, 3 под 1, а 4 под 2, двойка в разряде тысяч будет стоять одна, ведь тысячных частей больше нет.