Что такое простые числа, решето эратосфена и таблица простых чисел до 1000

Чтение натуральных чисел

С цифрами мы разобрались — их в десятеричной системе счисления 10.

Счет принято начинать с цифры 1, хотя в некоторых случаях гораздо удобнее иметь точку отсчета — 0.

Число, которое состоит из одной цифры, называют однозначным.

Число, которое состоит из двух цифр, называют двузначным; трех цифр — трехзначным; четырех — четырехзначным и т. д.

В многозначном числе каждая цифра занимает строго определенную позицию, которую называют разрядом числа.

Разряды чисел отсчитывают с его конца.

Разряды идут в следующем порядке:

единицы: 1 — один; 2 — два,.., 9 — девять;
десятки: 10 — десять; 2 — двадцать,.., 90 — девяносто;
сотни: 100 — сто; 200 — двести,.., 900 — девятьсот;
тысячи: 1000 — одна тысяча; 2000 — две тысячи,.., 9000 — девять тысяч;
десятки тысяч;
сотни тысяч;
миллионы;
десятки миллионов;
сотни миллионов;
миллиард; десятки миллиардов; сотни миллиардов;
триллион; десятки триллионов; сотни триллионов и т. д.

Любое натуральное число всегда закачивается разрядом единиц. В случае, если какой-либо разряд в числе отсутствует, на его месте пишется цифра 0 (ноль).

Если натуральное число небольшое, проичитать его не составит большого труда.

Например:

число 45 — сорок пять содержит два разряда (4 десятка и 5 единиц).
число 701 — семьсот один содержит три разряда (7 сотен; 0 десятков и 1 единицу);
число 2150 — две тысячи сто пятьдесят (2 тысячи; 1 сотня; 5 десятков и 0 единиц).

Правила чтения натуральных чисел:

разбить число, начиная с его конца (справа налево) на классы, содержащие по три цифры в каждом классе;
прочитать число в каждом классе, начиная со старшего (т. е., с начала числа или слева направо), после чего добавить название класса;
название класса единиц, а также тех классов, в которых стоят нули, не читаются.

Правило на первый взгляд достаточно путаное и непонятное, но, если разобрать его на примерах, то оно достаточно простое.

Примеры (для удобства чтения мы будем отделять классы пробелом):

125 348 900 — сто двадцать пять миллионов триста сорок восемь тысяч девятьсот;
18 000 116 — восемьнадыать миллионов сто шестнадцать;
5 000 000 099 — пять миллиардов девяносто девять;
1 002 900 505 303 — один триллион два миллиарда пятьсот пять тысяч триста три;
30 010 001 — тридцать миллионов десять тысяч один;
10 000 000 100 — десять миллиардов сто.

Что такое натуральное число в математике?

Это понятие относится к одним из самых старых, так как оно родилось из-за древней необходимости научиться считать количество обычных предметов. Что значит натуральное число? Чаще всего дается следующее определение – это числа, которые возникают при подсчете, причем происходит подобное естественным образом.

Отсюда берется и второе название этого термина – естественные числа. Своей последовательностью, расположенностью по возрастанию, они образуют натуральный ряд. Иначе говоря, все цифры, начиная с единицы, которые используются для подсчета предметов, являются натуральными.

Таким образом, существует самое малое натуральное число – им является единица. Наибольшего же не бывает, так как к любой цифре можно добавить ещё один. Ноль не входит в натуральный ряд, так как с его помощью нельзя ничего посчитать, хотя далеко не все ученые с этим согласны.

Что стоит знать о натуральных числах?

Цифры, используемые для счета, не всегда были такими, как мы их знаем сегодня. Изначально применялось относительно схематическое изображение, постепенно сформировавшееся в римские цифры.

Современный же вариант зародился в Индии, примерно полторы тысячи лет назад. Впоследствии они были привезены в европейские страны арабами, за что и получили своё известное название – арабские цифры. Несмотря на то, что натуральных чисел может быть любое количество, цифр всего десять – от нуля и до девятки.

Если рассматривать натуральный ряд, то в нем каждое число будет отличаться от предыдущего или последующего на единицу, при том, что сам ряд бесконечен. Однако, в процессе счета появляется так называемая десятичная позиционная.

Под этим словом подразумевается тот факт, что когда числа доходят до десяти, они образуют новую единицу старшего разряда. Эти разряды бывают самыми разными – в частности, к ним относятся миллионы и миллиарды. В зависимости от их количества, разряды объединяют по классам.

Например, миллиарды могут исчисляться десятками или сотнями. Это будут разряды, но все они в целом образуют класс миллиардов. То же самое происходит и с разрядами миллионов, тысяч, сотен, десяток и единиц.

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел[править]

Индукцияправить

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений И пусть первое утверждение верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения следует верность . Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений . И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения следует верность . Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элементаправить

Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.

Теорема (О существовании минимума):

Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум.
Т. е.

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.

Утверждение:

Если истинно при а из того, что оно истинно при всех следует, что оно истинно и при то истинно для всех натуральных значений .

Обозначим через подмножество натуральных чисел, для которых ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число k. Этим числом не может быть , так как по условию истинно. Значит, . Но поскольку — наименьшее число, для которого ложно, то для всех истинно, а тогда по условию теорем оно должно быть истинно и при . Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что истинно и ложно. Следовательно, предположение о том, что не пустое множество, ложно. Значит, — пустое множество, т.е. нет натуральных чисел, для которых ложно. Что означает, что истинно для всех натуральных значений .

[править] Операции

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

их складывать и перемножать любым образом,
вычитать меньшее число из большего,
делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

a+b=b+a (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)

(a + b) + c=a + (b + c) (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

a \cdot b = b \cdot a

(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)

Умножение дистрибутивно по сложению:

a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c

Натуральные числа — множество вполне упорядоченное: в любом подмножестве будет минимальный элемент. Это словно «отражение» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а a-b=b, a \gt b \iff a=2b. Уже́ у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, выдавая число, большее первого.

Каждое натуральное число >1 обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением (факторизацией) на простые множители. Это Основная теорема арифметики.

Литература

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Eves, Howard (1990), (6th ed.), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4
Halmos, Paul (1960), , Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6
Hamilton, A. G. (1988), (Revised ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0
James, Robert C. & James, Glenn (1992), (Fifth ed.), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0
Landau, Edmund (1966), (Third ed.), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2
Mendelson, Elliott (2008), , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5
Morash, Ronald P. (1991), (Second ed.), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), (10th ed.), Wiley Global Education, ISBN 978-1-118-45744-3

Как называются компоненты умножения

Во многих простых и даже сложных задачах нахождение ответа зависит от умения школьников умножать.

Для того, чтобы быстро и правильно умножать и уметь решать обратные задачи, необходимо знать компоненты умножения.

15.10=150. В данном выражении 15 и 10 являются множителями, а 150 – произведением.

Умножение обладает свойствами, которые необходимы при решении задач, уравнений и неравенств:

От перестановки множителей конечное произведение не изменится.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (справедливо для всех множителей).

Например: 15.Х=150. Разделим произведение на известный множитель. 150:15=10. Сделаем проверку. 15.10=150. По такому принципу решаются даже сложные линейные уравнения (если упростить их).

Важно! Произведение может состоять не только из двух множителей. Например: 840=2.5.7.3.4. Что такое натуральные числа в математике?

Что такое натуральные числа в математике?

https://youtube.com/watch?v=2ANFu8OmWJE

Разряды и классы натуральных чисел

Основная теорема арифметики[править]

Лемма Евклидаправить

Лемма:

Если простое число делит без остатка произведение двух , то делит или .

Доказательство:

Пусть делится на , но не делится на . Тогда и — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа и , что

(соотношение Безу).

Умножая обе части на , получаем

Оба слагаемых левой части делятся на , значит, и правая часть делится на .

Основная теорема арифметикиправить

Теорема:

Каждое натуральное число представляется в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство:

Существование. Пусть — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

[править] Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел \mathbb{Z}, которое наиболее четко являет основу теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить, как получаемые от обратного счёта — последовательного убавления по единице — которое вводит ряд отрицательных чисел. Из тех каждое сложением обнуляет противоположное ему натуральное: n+(-n)=0.

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел \mathbb{Q}. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел \mathbb{R}, представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел \mathbb{C} (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица i: i^2=-1.

Определение натуральных чисел

Подобные цифры определяются двумя главными методами. Первый из них подразумевает перечисление всего имеющегося, а второй называет итоговое количество.

Первый метод определения является подсчетом или нумерацией имеющихся предметов. Например, видя перед собой несколько яблок, человек может посчитать их – одно, два, три…
Второй метод определения называет итоговое количество имеющихся предметов. Таким образом, если яблок нет совсем, то можно сказать, что предметов нет. Это значит, что при подсчете появляется ноль.

В этой цифре и заключается основная разница между двумя данными методами определения. В первом случае минимальным числом является единица, а во втором возможно и использование нуля. Математики так и не смогли прийти к единогласному решению о том, какой метод лучше, и стоит ли ставить ноль в один ряд с другими натуральными числами.

Как правило, применяется всё же первый вариант, оставляющий спорную цифру в стороне. Тем не менее, в некоторых трудах, вроде Бурбаки, используется другой подход. Помимо этого, ноль является неотъемлемой и широко применяемой частью в мире программирования.

Операции с натуральными числами

В математике существует понятие замыкания. Оно обозначает минимально возможное расширение какого-то множества, операции с которым не выходят за его пределы. В отношении натуральных чисел выделяется несколько таких замкнутых операций.

В первую очередь, это сложение. Естественные числа легко можно сложить друг с другом, чтобы получить какую-то сумму.
Возможно и умножение. Два натуральных множителя дадут произведение.
Наконец, используется возведение в степень. Оно состоит из основания и показателя. В том случае, если обе части представлены натуральными числами, то и результат получится таким же.

Иногда в данном вопросе рассматриваются ещё две операции. Их проблема заключается в том, что они применимы не для всех случаев. Иногда подобное может существовать, а иногда нет. К этим операциям относятся:

Вычитание. Оно даст натуральное число только в том случае, если первая цифра будет больше второй. Иначе возможно получение отрицательного числа, не относящегося к натуральным, или же нуля, который является спорным;
То же самое относится и к делению. В самых простых примерах все числа в итоге будут естественными, однако существует множество ситуаций, в результате которых получатся нецелые.

Как правило, наука сосредотачивается на первых двух операциях – сложении и вычитании. Интересно, что именно они способствуют созданию кольца целых чисел – это происходит через бинарные сложения и умножения.