Алгебра логики - информатика

Логика в базах данных

База данных — объективная форма представления и организации совокупности данных, систематизированных таким образом, чтобы эти данные могли быть найдены и обработаны с помощью ЭВМ. Базы данных применяются во всех сферах человеческой деятельности, сопряжённых с учётом и хранением информации.

Разделяют плоские базы данных, в которых вся информация располагается в единственной таблице, каждая запись в которой содержит идентификатор конкретного объекта и реляционные базы данных, состоящие из нескольких таблиц, связь между которыми устанавливается с помощью совпадающих значений одноимённых полей.

реляционная модель баз данных де-факто является стандартом. В реляционных базах данные хранятся в виде таблиц, состоящих из строк и столбцов. Каждая таблица имеет собственный, заранее определенный набор именованных полей. Столбцы таблиц реляционной базы могут содержать скалярные данные фиксированного типа, например числа, строки или даты.

Поиск информации в реляционных базах данных проводится с помощью языка запросов SQL (англ. Structured Query Language — язык структурированных запросов) — универсальный компьютерный язык, применяемый для создания, поиска и модификации информации в базах данных.

Язык запросов SQL к реляционным базам данных состоит из операторов определения, поиска и обработки информации в базах данных. Операторы поиска информации содержать логические условия поиска, которые могут быть простыми и сложно составными.

Простые условия в языке SQL имеют вид равенств и неравенств типа имя = значение, где имя — это имя столбца в таблице, а значение — конкретное числовое или символьное значение (в зависимости от типа столбца в таблице).

Сложносоставные условия в запросах на языке SQL записываются с использованием логических связок AND (И), OR (ИЛИ), NOT (НЕ), выражающих логические высказывания — условия поиска информации в реляционных базах данных.

С логической точки зрения условия поиска в запросах SQL полностью соответствуют исчислению высказываний (с равенствами) — полностью эквивалентно логике высказываний Аристотеля — автора первого в истории учебника по логике и первых трех законов логики (законов Аристотеля).

Классическая математическая логика

Логическая семантика

Алгебраические семантики
Теоретико-множественные семантики
Реляционные семантики возможных миров
Проблема содержательности семантик логических систем
Категорная семантика
Теория семантических категорий

Законы логики

Закон тождества
Закон исключённого третьего
Закон противоречия
Закон достаточного основания
Законы де Моргана
Законы дедуктивных умозаключений
Закон Клавия
Законы деления

Теории логического вывода

Теории логического вывода (теория логического вывода)
Теории следования (теория следования)
Теории импликаций (теория импликаций)
Материальная импликация

2.1.2 Условие задачи

Входной оперативной информацией служит документ «Ведомость стоимости раздаточного материала на 1 человека», содержащий следующие реквизиты: наименование курса, количество практических занятий, стоимость раздаточного материала на 1 человека, стоимость раздаточного материала на все практические занятия по курсу на 1 человека. На основании этого документа создается следующая экранная форма:

Ведомость стоимости раздаточного материала на 1 человека

Наименование курса	Количество практических занятий, час.	Стоимость раздаточного материала на 1 чел., руб.	Стоимость раздаточного материала на все практические занятия по курсу на 1 чел., руб.
m	Km	Rm	Dm

Условно-постоянной информацией служит справочник: «Справочник стоимости курсов», содержащий следующие реквизиты: наименование курса, стоимость теоретических и практических занятий, стоимость курса. На основании справочника создается его экранная форма:

Справочник стоимости курсов на 1 человека (без учета раздаточного материала)

Наименование курса	Теоретический курс, руб.	Практические занятия, руб.	Стоимость курса, руб.
m	Tm	Pm	Sm

Результирующей информацией будет служить документ «Доход от проведенных курсов». Экранная форма выходного документа:

«Ведомость о доходах от проведенных курсов»

Наименование курса	Количество слушателей	Стоимость курса, руб.	Стоимость раздаточного материала на все практические занятия по курсу на 1 чел., руб.	Доход от проведенных курсов, руб.
m	Lm	Sm	Dm	Cm
Общий итог	С

Литература

Каймин В.А. Информатика. Учебник для студентов. М.: ИНФРА-М, 1998-2009.
Каймин В.А. Информатика. Учебник для поступающих. М.: Проспект, 2009.
Каймин В.А. Информатика. Пособие к экзаменам. М.: РИОР, 2008.
Иван Братко Алгоритмы искусственного интеллекта на языке PROLOG = Prolog Programming For Artificial Intelligence. — М.: «Вильямс», 2004. — С. 640. — ISBN 0-201-40375-7

Хант Э. Искусственный интеллект = Artificial intelligence / Под ред. В. Л. Стефанюка. — М.: Мир, 1978. — 558 с.

К. Дж. Дейт Введение в системы баз данных = Introduction to Database Systems. — 8-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1328. — ISBN 0-321-19784-4

Логика в программировании

Серьёзнейшей проблемой для информатики и компьютерных наук является наличие ошибок в алгоритмах и программах, публикуемых в учебниках и учебных пособиях, а также неумение преподавателями и учителями информатики выявлять и исправлять ошибки в алгоритмах и программах, составляемых учащимися.

Тестирование программ может выявить наличие ошибок в программах, но не может гарантировать их отсутствие. Гарантии отсутствия ошибок в алгоритмах и программах могут дать только доказательства их правильности. Алгоритм не содержит ошибок, если он дает правильные решения для всех допустимых данных.

Единственный путь для преодоления этих проблем является изучение систематическим методам составления алгоритмов и программ с одновременным анализом их правильности в рамках доказательного программирования с самого начала обучения основам алгоритмизации и программирования.

Сложность для преподавателей информатики и профессиональных программистов заключается в том, что они должны уметь писать не только алгоритмы и программы без ошибок, но и при этом писать доказательства правильности своих алгоритмов и программ. Что сейчас не умеют делать ни математики, ни программисты, ни преподаватели информатики.

В результате «профессиональные» программисты пишут программы с большим числом ошибок, которые они не могут ни выявить, ни исправить. Массированное тестирование программ на ЭВМ приносит программистам несомненную пользу, однако не дает гарантий полного избавления от ошибок.

Практика применения и доказательных методов программирования показала, что эта технология вполне доступна студентам математических факультетов, которым вполне по силам написание доказательств правильности алгоритмов, после проверки и тестирования программ на ЭВМ.

Наибольший эффект в освоении технологий доказательного программирования наблюдается на экзаманех по информатике в математических и экономических вузах, где студенты справляются и с решением задач на ЭВМ и написанием доказательств правильности алгоритмов и программ.

Интуитивные методы анализа правильности алгоритмов и программ характерны для олимпиад по информатике и программированию, где победителями и призёрами становятся те студенты, которые освоили технику тестирования программ на ЭВМ и составления алгоритмов и программ без ошибок.

2-1. Построить по заданной таблице истинности 2/(2-10) преобразователь для делителя частоты на 24, работающего в коде 16-8-4-2-1. Этот преобразователь использовался на заре цифровой схемотехники в радиолюбительских электронных часах.

1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x

p + p’ = 1.

Необходимо доказать, что (p’)’ p = 1.Доказательство основано на двойном отрицании и импликации:

(p’)’ p = p p = p’ + p = 1.

p (p’)’= p’ + p = 1.

(p q) (q’ p’) = (p’ + q) (q + p’) = pq’ + p’ + q = 1.

6.1.Если (р и q), то (q и р): pq qp = (pq)’ + pq = 1.

6.2.Если (р и q),то р: (pq) p = (pq)’ + p = p’ + q’ + p = 1.

6.3.Если (р и q), то q: (pq) q = (pq)’ + q = p’ + q’ + q = 1.

6.4.Если р, то : p (q pq) = p’ + q’ + pq = 1.

7.1.Если , то .

= (p’+qr)’+p’+qr = 1.

(prqs) = ‘+p’+r’+qs = pq’+rs’+p’+r’+qs = 1.

(pr) = pq’+qr’+p’+r = 1.

= pq’+rq’+p’r’+q = 1.

(p+q) (q+p) = (p+q)’+(p+q) = 1.

(p+q) (p’q) = p’q’+p+q = 1.

Логика в информатике

Логика в информатике как учебной дисциплине была введена в самых первых учебниках информатики
Каймина в 1985 году и в учебник информатики Каймина для средних школ в 1987-89гг. Парадокс в том, что первых школьных учебниках информатики Ершова, Кушниренко и многих действующих учебниках информатики для школ и вузов логика отсутствует.

В 2004 году в России были введены Единые экзамены ЕГЭ по информатике, в содержании которых изучение и знание основ логики стало обязательным. Логика в информатике используется в поиске информации в Интернет, в базах данных, в базах знаний, в алгоритмах, алгоритмизации и во всех языках программирования.

Наибольшее значение логика приобретает в анализе
алгоритмов и программ при решении задач на ЭВМ, когда от результатов решения задач зависят оценки на экзаменах или победа на олимпиадах по информатике или программированию.

Отсутствие ошибок в алгоритмах и программах на ЭВМ — ключевой критерий для победы на региональных, российских и международных олимпиадах и чемпионатах по информатике и программированию. Не случайно наши российские школьники и студенты систематически из года в год побеждают на этих компьютерных соревнованиях.

Литература

Исследования

Гуссерль Э. Логические исследования. Т. 1 // Философия как строгая наука. — Новочеркасск: Сагуна, 1994. — 357 с. — ISBN ISBN 5-7593-0138-1.
Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. — Наука, 1989. — 264 с. — 6200 экз. — ISBN 5-02-007946-4.

Учебная и справочная литература

Ивлев Ю. В. Учебник логики: Семестровый курс: Учебник. — М.: Дело, 2003. — 208 с — ISBN 5-7749-0317-6
Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики: Учебник. — М.: ИНФРА-М, 2001. — 296 с. — ISBN 5-16-000496-3

Литература по истории логики

Бажанов В. А. История логики в России и СССР. — М.: Канон+, 2007. — 336 с. — ISBN 5-88373-032-9
Попов П. С. История логики нового времени. — М., Издательство МГУ, 1960.
Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М., 1967.
Scholtz H. Geschichte der Logik, 1931. (Concise History of Logic. — New York, 1961).

Литература по китайской логике

Спирин B. C. О «третьих» и «пятых» понятиях в логике древнего Китая // Дальний Восток. Сборник статей по филологии, истории, философии. — М., 1961.
Кроль Ю. Л. Спор как явление культуры древнего Китая // Народы Азии и Африки. — 1987. — № 2.
Крушинский А. А. Имена и реалии в древнекитайской логике и методологии (Обзор) // Современные историко-научные исследования: наука в традиционном Китае. — М., 1987.
Пань Шимо (КНР). Логика Древнего Китая (краткий очерк) // Философские науки. — 1991. — № 12.
Чжоу Юньчжи. Основные вехи развития древнекитайской логики мин бянь, её главные особенности и реальные достижения // Рационалистическая традиция и современность. Китай. 1993. №. — С. 152—178.
Крушинский А. А. Логика «И цзина». Дедукция в древнем Китае. — М., 1999.
Кварталова Н. П. Логические идеи трактата «Гунсунь Лун-цзы» // Человек и духовная культура Востока. Альманах. Вып. I. — М., 2003. — С. 167—172.
Кобзев А. И. Школа имен (мин цзя): коллизия логики и диалектики // Китай в диалоге цивилизации: К 70-летию академика М. Л. Титаренко. — М. 2004. — С. 550—557.

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

1.1 Основные понятия и определения

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

При этом под высказыванием (суждением) понимают повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Её создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу специалистов. Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры логики Дж. Булем, прежде чем в 1938 Клод Шеннон (1916 — 2001) показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.

Алгебра логики явилась математической основой теории электрических и электронных переключателей схем, используемых в ЭВМ. В компьютерных науках её предпочитают называть не алгеброй логики, а Булевой алгеброй — по имени её создателя.

Алгебра логики изучает свойства функций, у которых и аргументы, и значения принадлежат заданному двухэлементному множеству (например, {0,1}). Иногда вместо термина «алгебра логики» употребляют термин «двузначная логика».

В компьютерах булевы переменные представляются (кодируются) битами (разрядами двоичной системы счисления), где 1 означает истину, а 0 — ложь. Манипуляции высказываниями и их комбинациями используются для получения некоего единственного результата, который можно использовать, например, для выбора той или иной последовательности действий. Поскольку логические переменные кодируются по тем же принципам, что и числа, символы и прочая информация, то можно комбинировать операции логики с

операциями арифметики для реализации различных алгоритмов.

Таким образом, алгебра логики — это область математики. Она оперирует величинами, которые могут принимать два значения (булевых значения). Эти два значения могут быть обозначены как угодно, лишь бы по-разному. Самые распространенные варианты:

0, 1 F, T false, true ложь, истина Л, И

При применении булевой алгебры в вычислительной технике, булевы значения — это 0 и 1. Они представляют собой состояние ячейки памяти объёмом в 1 бит или наличие/отсутствие напряжения в электрической схеме. Алгебра логики позволяет строить сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой математической теории. При применении булевой алгебры в логических построениях в математике, булевы значения — это «ложь» и «истина». Они определяют истинность или ложность некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются математические формулы. При применении булевой алгебры в повседневных рассуждениях, булевы значения — это также «ложь» и «истина». Они представляют собой оценку истинности или ложности некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются фразы, которые удовлетворяют строго определенному списку свойств.

Логическое выражение — это символическая запись, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками). В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные буквами латинского алфавита.

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логика и искусственный интеллект

В информатике проблемы искусственного интеллекта рассматриваются с позиций проектирования экспертных систем и баз знаний. Под базами знаний понимается совокупность данных и правил вывода, допускающих логический вывод и осмысленную обработку информации.

В целом исследования проблем искусственного интеллекта в информатике направлено на создание, развитие и эксплуатацию интеллектуальных информационных систем, включая вопросы подготовки пользователей и разработчиков таких систем.

Логический подход к созданию систем искусственного интеллекта направлен на создание экспертных систем с логическими моделями баз знаний с использованием языка предикатов.

Учебной моделью систем искусственного интеллекта в 1980-х годах был принят язык и система логического программирования Пролог, используемый для создания баз знаний и моделей экспертных систем на ЭВМ.

Базы знаний на языке Пролог представляют наборы фактов и правил логического вывода, записанных языка логических предикатов с использованием лексики русского языка, хорошо понятно русским, казахам, украинцам — всем русскоязычным людям. Известны случаи написания программ и баз знаний с использованием русскоязычных интерпретаторов Пролога на казахском языке.

Логическая модель баз знаний позволяет записывать не только конкретные сведения и данные в форме фактов на языке Пролог, но и обобщенные сведения с помощью правил и процедур логического вывода и в том числе логических правил определения понятий, выражающих определенные знания как конкретные и обобщенные сведения.

В целом исследования проблем искусственного интеллекта в информатике в рамках логического подхода к проектированию баз знаний и экспертных систем направлено на создание, развитие и эксплуатацию интеллектуальных информационных систем, включая вопросы обучения студентов и школьников, а также подготовки пользователей и разработчиков таких интеллектуальных информационных систем

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель: подготовить учащихся к уроку.

Объявляется тема урока. Перед учащимися ставится задача: показать, как они научились решать задачи по теме.

2. Повторение изученного материала.

Выполнение в тестирующей оболочке MyTest теста на тему «Основные понятия алгебры логики».(приложение1.mtf)

3. Изучение нового материала.

Вопросы для изучения:

Простые и сложные выражения.
Основные логические операции.

При объяснении нового материала используется компьютерная презентация (презентация.PPT)

1. Простые и сложные выражения.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

2. Основные логические операции.

По ходу объяснения нового материала ученики заполняют в тетради таблицу следующего вида.

Название логической операции	Обозначение логической операции	Результат выполнения логической операции	Таблица истинности	Примеры
Отрицание
Дизъюнкция
Конъюнкция
Импликация
Эквиваленция

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

НЕ (логическое отрицание, инверсия);
ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);
И (логическое умножение, конъюнкция)

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения: НЕ, ‾, ˥ not А. Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами.

Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

А	В	A v В
1	1
1	1
1	1	1

Применяемые обозначения: А или В; A v В; А ог В. При выполнении сложных логических преобразований для наглядности условимся пользоваться обозначением А + В, где А, В — аргументы (исходные высказывания).

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение.

Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

А	В	А^ В
1
1
1	1	1

Применяемые обозначения: А и В; А ^ В; А & В; A and В.

Условимся пользоваться при выполнении сложных логических преобразований обозначением A-В, где А, В — аргументы (исходные высказывания).

Операция «ЕСЛИ-TO— логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

Применяемые обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А—»В.

Результат операции следования (импликации) ложен, только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Таблица истинности:

А	В	Если А, то В
1
1	1
1
1	1	1

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ~В.

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности:

А	В	А ~ В
1
1	1
1
1	1	1

4. Закрепление изученного материала

5. Подведение итогов урока

Скажите был ли сегодняшний урок для вас познавательный?

Что больше всего запомнилось из урока?

6. Домашнее задание

Учебник. п.23.2., заполнить таблицу «Логические операции» до конца.
Выполнить задание (приложение 3)
Подготовиться к тестированию.
Знать ответы на вопросы:
- какие высказывания бывают;
- какие высказывания называются простыми, а какие – сложными;
- основные логические операции и их свойства.

Законы алгебры логики

Исключение констант	\( 1 + A = 1 \)\( 0 ⋅ A = 0 \)\( 0 + A = A \)\( 1 ⋅ A = A \)
Идемпотентность	\( A + A = A \)\( A ⋅ A = A \)
Закон исключения третьего	\( A + \overline{A} = 1 \)
Закон непротиворечивости	\( A ⋅ \overline{A} = 0 \)
Закон отрицания	\( \overline{\overline{A}} = A \)
Закон коммутативности	\( A + B = B + A \)\( A ⋅ B = B ⋅ A \)
Закон ассоциативности	\( A + B + C = A + (B + C)\)\( A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)\)
Закон дистрибутивности	\( A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C \)\( A + (B ⋅ C) = (A + B) ⋅ (A + C) \)
Правило де Моргана	\( \overline{(A + B)} = \overline{A} ⋅ \overline{B}\)\( \overline{(A ⋅ B)} = \overline{A} + \overline{B}\)
Закон поглощения	\( A + A ⋅ B = A\)\( A ⋅ (A + B) = A\)
Закон склеивания	\( A ⋅ B + \overline{A} ⋅ B = B \)\( (A + B) ⋅ (\overline{A} + B) = B \)

Законы алгебры можно доказать составив таблицу истинности.

Логика и логическое программирование

‘Логическое программирование’ — парадигма программирования, основанная на автоматическом доказательстве теорем, с использованием механизмов логического вывода информации на основе заданных фактов и правил вывода.Язык Пролог и логическое программирование и широко используются для создания баз знаний и экспертных систем и исследований в сфере искусственного интеллекта на основе логических моделей баз знаний и логических процедур вывода и принятия решений.

Язык и система логического программирования Пролог основаны на языке исчисления предикатов, представляющей собой подмножество логики первого порядка. Основными в языке Пролог являются понятия фактов и правил логического вывода, а также запросы на поиск и вывод информации в базах знаний.

Процедуры логического вывода и принятия решений, на основе которых система логического программирования Пролог делает логические выводы и дает осмысленные ответы. Факты в языке Пролог описываются логическими предикатами с конкретными значениями. Правила в Прологе записываются в форме правил логического вывода с логическими заключениями и списком логических условий.

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние или просто «И»).

Правило: результат равен наименьшему операнду.

Описание.
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества {,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Результат также принадлежит множеству {,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений ,1{\displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false,true{\displaystyle false,true} или F,T{\displaystyle F,T} или «ложь», «истина», но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, true>false{\displaystyle true>false}, при цифровом обозначении старшинство естественно 1>{\displaystyle 1>0}.
Правило: результат равен 1{\displaystyle 1}, если все операнды равны 1{\displaystyle 1}; во всех остальных случаях результат равен {\displaystyle 0}.

Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции

a{\displaystyle a}	b{\displaystyle b}	a∧b{\displaystyle a\land b}
{\displaystyle 0}	{\displaystyle 0}	{\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1}	{\displaystyle 0}	{\displaystyle 0}
{\displaystyle 0}	1{\displaystyle 1}	{\displaystyle 0}
1{\displaystyle 1}	1{\displaystyle 1}	1{\displaystyle 1}

для тернарной конъюнкции

a{\displaystyle a}	b{\displaystyle b}	c{\displaystyle c}	a∧b∧c{\displaystyle a\land b\land c}
1
1
1	1
1
1	1
1	1
1	1	1	1

Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции.

Следствие

Логическая операция следования (импликация) — одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме — из правды не может следовать ложь.

Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться — правда.
Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться — также может быть истиной.
Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются — тоже правда.
Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются — ложь.

Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.

Импликация
Е	х	х	о	о
Н	х	о	х
Е -> Н	х	о	х	х

Приложения логики

Прикладные проблемы логики (см. Прикладная логика) и логической семантики

Приложения логики в методологии науки
Приложения логики в философии
Приложения логики в теологии
Приложения логики в психологии
Приложения логики в правовых науках
Приложения логики в лингвистике
Приложения логики в других дисциплинах
Искусственный интеллект

Приложения логики в анализе познавательных процедур

Логический анализ форм и приёмов познания

Формы мышления
Определение
Классификация
Абстракция
Идеализация
Аксиоматизация
Формализация
Логические проблемы аргументации
Логика доказательств

Приложения логики в философии

Приложения логики в философии
Приложения логики в онтологии
Приложения логики в эпистемологии
Приложения логики в этике
Логические проблемы аргументации (теория аргументации)
Аналитическая философия

Приложения логики в психологии

Когнитивная наука
Когнитивная психология
Логика открытий

Поскольку логика устанавливает законы и схемы мышления, существует проблема соотнесения логики с творчеством, которое опирается на интуицию. Творчество без ограничений является идеализацией: оно ограничено психологическими закономерностями восприятия или, например, законами композиции в изобразительном искусстве. Творчество предполагает не только способность выдвинуть интересную идею, но и умение убедительно обосновать её и претворить в жизнь по определённым правилам, следовательно, должно следовать каким-то правилам мышления.

Приложения логики в компьютерных науках

Динамические логики (динамическая логика)
Логики программ (логика программ)
Логика экспертных систем (логики экспертных систем)
Логика в информатике
Доказательное программирование
Автоматическое доказательство теорем
Логическое программирование

1.4. Применение алгебры логики в информатике

После изготовления первого компьютера стало ясно, что при его производстве возможно использование только цифровых технологий – ограничение сигналов связи единицей и нулём для большей надёжности и простоты архитектуры компьютера. Благодаря своей бинарной природе, математическая логика получила широкое распространение в вычислительной технике и информатике. Были созданы электронные эквиваленты логических функций, что позволило применять методы упрощения булевых выражений к упрощению электрической схемы. Кроме того, благодаря возможности нахождения исходной функции по таблице позволило сократить время поиска необходимой логической схемы.

В программировании логика незаменима как строгий язык и служит для описания сложных утверждений, значение которых может определить компьютер.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: «1» и «0».

Из этого следует два вывода:

1) одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

2) на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет

значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера. Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации.

В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или наоборот), например: Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И — НЕ, ИЛИ — НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода. Чтобы представить два логических состояния – «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» (1), а низкий — значению «ложь»(0).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нём реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Булевы алгебры находят применение главным образом в теории множеств, в математической логике, в теории вероятностей и в функциональном анализе.

Итак, алгебра логики применяется: 1) для упрощения сложных логических формул и доказательств тождеств; 2) при решении логических задач; 3) в контактных схемах; 4) при доказательствах теорем; 5) в базах данных при составлении запросов.

Логические основы работы компьютера

Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых «ложь» и «истина». Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал.

Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции: «И», «ИЛИ», «НЕ».

Логический элемент «НЕ» (инвертор)

Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот.

У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Говорят также, что элемент «НЕ» инвертирует значение входной двоичной переменной.

Проверь соответствие логического элемента «НЕ» логическому элементу «НЕ». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «И» (конъюнктор)

Логический элемент «И» (конъюнктор) выдает на выходе значение логического произведения входных сигналов.

Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе конъюнктора появляется тогда и только тогда, когда поданы сигналы на все входы. На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей. Известным примером последовательного соединения проводников является елочная гирлянда: она горит, когда все лампочки исправны. Если же хотя бы одна из лампочек перегорела, то гирлянда не работает.

Проверь соответствие логического элемента «И» логическому элементу «И». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор)

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдает на выходе значение логической суммы входных сигналов. Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе дизъюнктора не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы.

На элементарном уровне дизъюнкцию можно представить себе в виде параллельно соединенных выключателей.

Примером параллельного соединения проводников является многорожковая люстра: она не работает только в том случае, если перегорели все лампочки сразу.

Проверь соответствие логического элемента «ИЛИ» логическому элементу «ИЛИ». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Пример 1.Составьте логическую схему для логического выражения: F=A \/ B /\ A.

1.Две переменные – А и В.

2.Две логические операции: 1-/\, 2-\/.

3.Строим схему:

Пример 2.Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А/\В\/ ¬(В\/А). Вычислить значения выражения для А=1,В=0.

1.Переменных две: А и В; 1 4 3 2

2.Логических операций три: /\ и две \/; А/\В\/ ¬ (В\/ А).

3.Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

4. Вычислим значение выражения: F=1 /\ 0 \/ ¬(0 \/ 1)=0