Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр

История изучения квадрата

Древний мир воспринимает квадрат, главным образом, как четыре стороны света. Вообще, несмотря на множество четырехугольников, именно у квадрата главное число — четыре. Для ассирийцев и перуанцев квадрат — весь мир, то есть он представляет четыре основных направления, стороны света.

Даже Вселенную представляли как квадрат, еще и разделенный на четыре части — это видение жителей Северной Америки. Для кельтов вселенная — это целых три квадрата, вложенных друг в друга, а из центра вытекают четыре (!) реки. А египтяне вообще обожествляли эту фигуру!

Впервые описали квадрат посредством математических формул греки. Но для них этот многоугольник обладал только отрицательными характеристиками. Пифагор вообще не любил четные числа, видя в них слабость и женственность.

Даже в религиях присутствует квадрат. В Исламе Кааба — пуп Земли — имеет не какую-нибудь сферическую, а именно кубическую форму.

В Индии главной графемой, изображающей Землю, или символом земли, был перекрещенный квадрат. И снова речь идет о четырех сторонах света, четырех областях земли.

В Китае квадрат — это мир, гармония и порядок. Хаос побеждается построением квадратной Вары. А квадрат, вписанный в круг, является основой видения мира, символизируя единство и связь Космоса и Земли.

Интересное о квадрате

Самое популярное словосочетание, которое приходит в голову о нашем главном герое — «Черный Квадрат».

Картина Малевича до сих пор очень популярна

Сам автор после ее создания долго мучился вопросом о том, что же это такое, и почему простой черный квадрат на белом фоне так притягивает внимание к себе

Но если вы приглядитесь внимательно, то заметите, что плоскость квадрата не гладкая, а в трещинах черной краски есть множество разноцветных оттенков. Видимо, вначале была некая композиция, которая автору не понравилась, и он закрыл ее от наших глаз этой фигурой. Черный квадрат, как ничто — черная дыра, только магической квадратной формы. А пустота, как известно, притягивает…

Еще очень популярны «магические квадраты». По сути это — таблица, естественно, квадратная, заполненная числами в каждой графе. Сумма этих чисел одинакова во всех строках, столбцах и диагоналях (по отдельности). Если диагонали исключаются из равенства, то квадрат – полумагический.

Альбрехт Дюрер в 1514 году создал картину «Меланхолия I», на которой изобразил магический квадрат 4х4. В нем сумма чисел всех столбцов, строк, диагоналей и даже внутренних квадратов равна тридцати четырем.

На базе этих таблиц появились очень интересные и популярные головоломки — «Судоку».

Египтяне первыми стали проводить линии взаимосвязи чисел (дата рождения) и качеств характера, способностей и талантов человека. Пифагор взял эти знания, несколько переработал и поместил в квадрат. Получился Квадрат Пифагора.

Это уже отдельное направление в нумерологии. Из даты рождения человека путем сложений высчитывают четыре основных числа, которые помещают в психоматрицу (квадрат). Так и раскладывают все тайные сведения о вашей энергии, здоровье, таланте, удаче, темпераменте и прочем по полочкам. В среднем, по опросам достоверность составляет 60%-80%.

Применение квадрата

В современном мире технологии позволяют придавать различным материалам квадратную форму, точнее квадратное сечение.

Это во многом выгоднее, дешевле, долговечнее и безопаснее. Так, сейчас делают квадратные трубы, сваи, проволоку (провода) и даже квадратные нити.

Основные преимущества очевидны, они выходят из элементарной геометрии. При одинаковом размере площадь вписанного круга меньше площади квадрата, в который он вписан, следовательно, пропускная способность квадратной трубы или энергоемкость квадратного провода будут выше, чем у круглых аналогов.

Зачастую расходные материалы квадратного сечения более эстетичны и удобны в использовании, монтаже, креплении.

При выборе этих материалов важно правильно рассчитать сечение квадрата, чтобы провод или труба выдержали необходимую нагрузку. В каждом отдельном случае, конечно, будут необходимы такие параметры, как сила тока или давление, но и без основных геометрических правил квадрата тут не обойтись

Хотя размеры квадратных сечений уже не столько вычисляют, сколько выбирают по заданным параметрам из таблиц, установленных ГОСТами для разных отраслей.

Объем квадрата

Сама фраза является абсурдом. Что такое квадрат? Это плоская фигура, имеющая всего два параметра — длину и ширину. А объем? Это количественная характеристика пространства, которое занимает объект, то есть ее можно вычислить только у объемных тел.

Объемное тело, всеми гранями которого являются квадраты, — куб. Несмотря на колоссальное и принципиальное различие, школьники довольно часто пытаются вычислить объем квадрата. Если это кому-то удастся, Нобелевская премия обеспечена.

А чтобы узнать объем куба V, достаточно перемножить все три его ребра — a, b, c: V=a*b*c. А так как они по определению равны, то формула может выглядеть иначе: V=a3.

Уравнение квадрата

При необходимости вычислить значение различных величин у квадрата (площади, периметра, длин сторон или диагоналей) используют различные уравнения, которые выводятся из свойств квадрата, основных законов и правил геометрии.

1. Уравнение площади квадрата

Из уравнений для вычисления площади четырехугольников мы знаем, что она (площадь) равна произведению длины и ширины. А так как стороны квадрата одинаковые по длине, то площадь его будет равна длине любой стороны, возведенной во вторую степень

S=a2.

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить площадь квадрата, зная длину его диагонали.

S=d2/2.

2. Уравнение периметра квадрата

Периметр квадрата, как и всех четырехугольников, равен сумме длин его сторон, а так как они все одинаковые, то можно сказать, что периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на четыре

P=a+a+a+a=4a.

Снова теорема Пифагора поможет нам найти периметр через диагональ. Нужно значение длины диагонали умножить на два корня из двух

P=2√2d

3. Уравнение диагонали квадрата

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Найти их можно, исходя из вышеприведенных уравнений площади и периметра квадрата

d=√2*a, d=√2S, d=P/2√2

Есть еще способы узнать, какова же длина диагонали квадрата. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его диагонали, отсюда

d=√2D=2√2R, где D — диаметр, а R — радиус вписанной окружности.

Зная радиус описанной окружности, рассчитать диагональ еще проще, ведь она является диаметром, то есть d=D=2R.

Но не стоит забывать, что квадрат — это участок плоскости, ограниченный четырьмя пересекающимися линиями.

Для линий (и образованных ими фигур) существует достаточно уравнений, не нуждающихся в дополнительном описании, но линия бесконечна. А многоугольники ограничены пересечением линий. Для них можно использовать линейные уравнения, объединенные в систему, задающие прямые линии. Но необходимо указывать дополнительные параметры, условия.

Для определения многоугольников же необходимо составить такое уравнение, которое бы описывало не линию, а отдельный произвольный отрезок без вмешательства дополнительных условий и описаний.

[ x/x_i ]*[ x_i/x]*y_i — вот это специальное уравнение для многоугольников.

Квадратные скобки в нем указывают на условие исключения дробной части числа, то есть мы должны оставить только целое число. y_i — функция, которая выполнятся в диапазоне параметра от x до x_i.

Используя это уравнение, можно вывести новые уравнения для вычисления отрезков и линий, состоящих из нескольких отрезков. Оно является базовым, универсальным для многоугольников.

Помним, что квадрат — это часть плоскости, поэтому его описание типа y=f(x) можно представить, чаще всего, только как многозначную функцию, которую, в свою очередь, можно выразить через однозначные, если представлять их параметрически, то есть зависящими от какого-либо параметра t:

x=f(t), y=f(t).

Так вот, если использовать в совокупности универсальное уравнение и параметрическое представление, то действительно можно вывести уравнение для выражения многоугольников:

x=((A2+A3)*A5+A4*P)*Cos(L)

y=((A1+A4)*A5+A3*P)*Sin(L),

где

A1=[1/[T/P]]*[T/P]; A2=[2/[T/P]]*[[T/P]/2]; A3=[3/[T/P]]*[[T/P]/3]; A4=[4/[T/P]]*[[T/P]/4]; A5=T-P*[T/P],

где P — диагональ прямоугольника, L — угол наклона к горизонтали диагонали P, T — параметр изменяющийся в диапазоне от P до 5P.

Если L=3,14/4, то уравнение будет описывать квадраты разной величины, в зависимости от размера диагонали P.

Харьковский квадрат

Харьковский квадрат — игра с измененными правилами. Играется в виде турнира. Так же в неё можно играть от 2 до 4 человек.

Поле для игры:

• Размер 1 стороны квадрата — 10 шагов
• Основной квадрат делятся на 4 части
• Внутри квадрата рисуется небольшой круг

Основные правила:

• В игре принимает участие от 2 до 4 игроков
• Играется в виде турнира — 4, 3, и 2 игрока
• Подает тот, кому был забит гол.
• При попадании на линию происходит спор
• Вылет происходит когда игрок пропустил определенное количество голов

Виды голов:

• Когда на твоем поле мяч ударился 2 и более раз
• Когда ты отбил мяч за пределы квадрата
• Когда ты прокатил мяч по квадрату
• Когда ты отбил мяч любой частью руки
• Когда ты подающий и не попал в круг
• Когда ты подающий и подал вправо или влево

При тройке (когда остается 3 игрока):

• Подающий выбирает игрока которому кинет — становиться на вертикальную к нему линию, или просит любого из двух игроков стать на пустую перед ним клетку.
• Игроку попавшему в клетку где никого нет, насчитывают гол

При финале (когда остается 2 игрока):

Мяч подается конкретно в сторону игрока (отбивать уже можно и вправо и влево)

Голы для вылета:

• 4 игрока — 11 голов
• 3 игрока — 9 голов
• 2 игрока — 7 голов

Одинцовский квадрат

Одинцовский квадрат — игра, с распространенными правилами на западе от Москвы. Правила были придуманы и распространены из города Одинцово.

Поле

• Поле представляет собой 4 равные части прямоугольников/квадратов.
• На перекрестии четырех частей поля делается круг.

Общие правила

• Если по 1 квадрату мяч ударился дважды, игроку засчитывают 1 банку.
• Если игрок выбил ногой мяч за пределы поля, игроку засчитывают 1 банку.
• Если игрок касается мяча рукой, то ему засчитывают 1 банку. Исключение: плечо.
• Максимальное количество банок за один кон — 5.
• В случае слабой или неровной подачи, игрок вправе попросить «переподать».
• В случае если мяч дважды ударился о круг, то происходит переигровка раунда.
• Игрок получивший банку подает мяч руками отскоком от круга по диагонали.

Запреты в игре

• Запрещено останавливать мяч на чужом квадрате. В Одинцовских правилах это называлось «поставить точку».
• Запрещено катить мяч низом. В Одинцовских правилах это называлось «покатил»
• Запрещено создавать такие условия, при которых у противника нет шансов отбить удар. Один из примеров: Игрок после подачи принимает мяч на грудь, стоя у круга, таким образом, он может ударить мяч туда, где противника нет. Интерес к такой игре отсутствует.

Виды игры

В Одинцовском квадрате существует 2 вида игровых правил. Созданы они из-за случаев, когда желающих поиграть оказывалось более 4.

Игра на вылет

• Количество игроков более 4.
• Когда один из игроков получает 5 банок, он выходит из игры, его место занимает 5-й игрок.
• Игроки «вне игры» вступают в игру по очереди.

Классический квадрат

• Количество игроков 4.
• Каждый из квадратов имеет название: 1. «Король» 2. «Принц» 3. «Повар» 4. «Бомж». Обязательно, чтобы по диагонали друг к другу стояли «король» и «бомж», «принц» и «повар».
• В случае если игрок получает 5 банок, то он меняется местом с игроком, стоящим «ниже по значимости» квадрата.
• Игра кончается в том случае, если «бомж» проигрывает 5 конов. Они отсчитываются таким образом: 1. «По щиколотку» 2. «По колено» 3. «По пояс» 4. «По грудь» 5. «По макушку». Он может «очиститься» т.е снять 1 поражение с себя, путем получения 5 банок игроку, стоящего на квадрате «Повар». Имея не снятые поражения, «бомж» не может переместится на квадрат «повар».
• В случае окончания игры имеется лишь 1 победитель и 1 проигравший. Победителем считался «Король». Так игра сохраняла баланс и нужду в игре по диагонали.

Величины, части и характеристики

У квадрата, как и у любого многоугольника, есть вершины — это точки, в которых пересекаются его стороны. Вершины квадрата лежат на описанной вокруг него окружности. Через вершину в центр квадрата проходит диагональ, которая также является биссектрисой и радиусом описанной окружности.

Так как квадрат — это плоская фигура, то рассечь и построить сечение квадрата невозможно. Зато он может быть результатом пересечения многих объемных тел плоскостью. Например, цилиндра. Осевое сечение у цилиндра — прямоугольник или квадрат. Даже при пересечении тела плоскостью под произвольным углом может получиться квадрат!

Но у квадрата есть еще одно отношение к сечению, да не к какому-нибудь, а к Золотому сечению.

Все мы знаем, что Золотое сечение — это пропорция, в которой одна величина относится к другой так же, как их сумма к большей величине. В обобщенном процентном выражении это выглядит следующим образом: исходная величина (сумма) делится на 62 и 38 процентов.

Да, для начала вам нужно построить квадрат. Его сторона будет равна меньшей стороне будущего прямоугольника. Затем необходимо провести диагональ этого квадрата и, воспользовавшись циркулем, длину этой диагонали отложить на продолжении стороны квадрата. Из полученной на пересечении точки выстраиваем прямоугольник, у которого снова строим диагональ и откладываем ее длину на продолжении стороны. Если продолжить работу по этой схеме, получатся те самые динамические прямоугольники.

Отношение длинной стороны первого прямоугольника к короткой будет 0,7. Это почти 0,68 в Золотом сечении.

Способы построения квадрата

Исходя из определений, кажется, что нет ничего проще, чем построить правильный квадрат. Это так, но при условии, что у вас есть все измерительные инструменты. А если чего-то нет в наличии?

Давайте рассмотрим существующие способы, которые помогут нам построить эту фигуру.

Измерительная линейка и угольник — это основные инструменты, при помощи которых наиболее просто можно построить квадрат.

Сначала отметьте точку, допустим А, от нее мы построим основание квадрата.

С помощью линейки отложите от нее вправо расстояние, равное длине стороны, допустим 30 мм, и поставьте точку Б.

Теперь от обеих точек, воспользовавшись угольником, проведите вверх перпендикуляры по 30 мм каждый. На концах перпендикуляров ставим точки В и Г, которые соединяем между собой, пользуясь линейкой — все, квадрат АБВГ со стороной 30 мм готов!

С помощью линейки и транспортира тоже довольно легко построить квадрат. Начните, как и в предыдущем случае с точки, допустим Н, от нее отложите горизонтальный отрезок, например 50 мм. Поставьте точку О.

Теперь центр транспортира соедините с точкой Н, поставьте отметку у величины угла 90, через нее и точку Н постройте вертикальный отрезок 50 мм, на его конце поставьте точку П. Далее подобным образом постройте третий отрезок от точки О через угол 90, равный 50 мм, пусть он заканчивается точкой Р. Соедините точки П и Р. У вас получился квадрат НОРП с длиной стороны 50 мм.

Можно построить квадрат, пользуясь только циркулем и линейкой. Если вам важен размер квадрата и известна длина стороны, то понадобится еще и калькулятор.

Итак, ставьте первую точку Е — это будет она из вершин квадрата. Далее укажите место, где будет находится противоположная вершина Ж, то есть постойте диагональ ЕЖ вашей фигуры. Если вы строите квадрат по размерам, то имея длину стороны, высчитайте длину диагонали по формуле:

d=√2*a, где a — длина стороны.

После того как вы узнаете длину диагонали, постройте отрезок ЕЖ этой величины. Из точки Е с помощью циркуля в направлении точки Ж проведите полукруг радиусом ЕЖ. И наоборот, из точки Ж — полукруг в сторону точки Е, радиусом ЖЕ. Через точки пересечения этих полукругов, пользуясь линейкой, постройте отрезок ЗИ. ЕЖ и ЗИ пересекаются под прямым углом и являются диагоналями будущего квадрата. Соединив точки ЕИ, ИЖ, ЖЗ и ЗЕ с помощью линейки, вы получите вписанный квадрат ЕИЖЗ.

Новосибирский квадрат

В нулевые годы в Новосибирске в Квадрат играли по следующими правилам:

• Каждый игрок имеет только одно касание.
• Если мяч находится в воздухе, то игрок может «набивать» ногой, коленом или головой сколько угодно раз до того, как мяч коснулся земли (касание игрока продолжается).
• Если мяч остановился в зоне игрока, а он уже использовал своё касание, любой другой игрок может дотянутся до мяча ногой со своей зоны или прыгнуть на мяч из аута (на чужой зоне нельзя стоять), чтобы выбить его из зоны для продолжения игры.
• Если мяч попал на одну из линий, а после ушел в аут, игрок, нанесший последний удар, делает скидывание.
• Если мяч ударился об зону игрока или катился по ней, а после ушел в аут, этому игроку начисляются очки (голы).
• Если после удара игрока мяч сразу ушел в аут, ему начисляются очки.
• За простой удар ногой начисляется одно очко, за удар головой или коленом два очка. Очки «набивания» суммируются, даже если оно было сделано несколькими игроками (например, если один игрок ударил или «набил», а второй добил еще не коснувшийся земли мяч). Если игрок пропустил мяч «в домик» между ног после простого удара, это также два очка.
• Игра состоит из конов, каждый кон играется до пяти очков, забитых любому из игроков. После окончания кона игроки меняются своими зонами по кругу. Если есть кто-то, ожидающий своей игры, то он заходит на смену проигравшему игроку,
• Игрок, который за кон ни разу не пропустил, получает «шкурку». «Шкурка» снимается попаданием любой стоимости (но только одна за раз), это называется «сбрить шкурку». «Шкурки» могут копиться. Игрок, накопивший шесть «шкурок», больше не может их потерять и дальше играет в своё удовольствие,
• Если игроку забили ударом на несколько очков, после чего у того оказалось больше пяти очков, эти штрафные очки переходят в следующий кон. Если штрафных очков больше пяти, то игроки сразу сдвигаются по зонам не на одну, а на несколько позиций, и всех игрокам, кроме проигравшего, автоматически начисляются шкурки за все пропущенные коны (например, после удара на 10 очков игроки сдвигаются на две позиции и не проигравшие игроки получают по одной шкурке автоматически, и еще по одной, если в последнем игровом кону у них было ноль очков. Число очков проигравшего игрока остается тем же). Зашедшему на замену игроку штрафные очки не начисляются.

Наличие правил, позволяющих забивать игроку огромное количество очков за раз или становиться «бессмертным» существенно повышает азарт игроков. По сути, происходит постоянная борьба за получение или «сбривание» «шкурок», для чего требуется быстро забивать соперникам много очков рискованными набиваниями (неудачным набиванием можно послать мяч в аут или не суметь отразить «обратку» от соперника и получить все эти очки самому, подарив всем остальным по «шкурке»). От количества игроков со «шкурками» и их распределения зависят и стратегии игры, возникают временные «союзы» против одного или нескольких игроков, которые могут поменяться уже в следующем кону.

Как ни парадоксально, часто в Квадрат играли на круглом поле. Оно делает игру более динамичной, а также является более удобным, чем квадратное, потому, что его можно разделить на три равных сектора, если игроков только трое.

Свойства квадрата:

1. Длины всех сторон равны.

Рис. 3. Квадрат

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны.

Рис. 4. Квадрат

AB||CD,   BC||AD

3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.

Рис. 5. Квадрат

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

5. Диагонали квадрата равны между собой.

Рис. 6. Квадрат

AC = BD

6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 

Рис. 7. Квадрат

AC ┴ BD 

7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 8. Квадрат

BO = OD = AO = OC 

8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.

Рис. 9. Квадрат

∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45° 

9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.

Рис. 10. Квадрат

∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°

10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Рис. 11. Квадрат

△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,

△AOB = △BOC = △COD = △AOD 

11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.

Рис. 12. Квадрат

Правила игры

1. Игра начинается с подачи мяча в круг поля в направление соперника. Подавать можно только по диагонали.
2. Касаний не ограничено.
3. Игрок может отбить мяч «до» и «после» (максимум 1) касания мячом его квадрата.
4. Если игрок отбивает мяч на свой квадрат, ему засчитывается 1 гол.
5. Если мяч упал на линию (между 2 игроками) или на круг, переподает тот игрок, который коснулся мяча последним.
6. Если игрок подал мяч на линию соперника (со стороны аута), то переподает мяч игрок, который коснулся мяча последним.
7. Если мяч улетел в аут (за пределы общего квадрата), игроку подавшему этот мяч насчитывается 1 очко.
8. Если на квадрат игрока упал мяч и ударился об поле 2 раза, игроку насчитывается 1 гол.
9. Как правило, игра продолжается до 11 голов. Забивать голы можно любой частью тела, кроме рук.
10. Если один из игроков пропустил 11 голов, он выбывает из игры. Когда на игровой площадке остается 2 игрока, они занимают каждый по два квадрата, и играют до тех пор пока один из них пропустит 7 голов.
При игре два на два — игроки, находящиеся по диагонали друг к другу — считаются союзниками и имеют общий счёт.

«Заглушить» — набивая мяч на ноге (колене, голове), ногой зафиксировать его на квадрате соперника. Соперник зная этот манёвр, имеет возможность сбить набивание. При этом каждый игрок не может выходить из своего квадрата (касаться одновременно двумя ногами чужой зоны).

Кстати, можно перед началом игры договариваться о том, что мяч задевается только один раз, то есть «набивания» в игре нет; так даже интересней играть (высший уровень). Ещё иногда играют с правилом «Сквозной»: если мяч коснулся вашей зоны и следующее касание по мячу произвёл другой игрок, а не вы, то вам засчитывается гол.

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру. Форма квадрата — четырехугольник, который имеет равные стороны и углы. Еще точнее, этот четырехугольник называют правильным.

У квадрата есть свои признаки. Это:

• стороны, равные по длине;
• равные между собой углы — прямые (по 90 градусов).

В силу этих признаков и особенностей в квадрат можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Описанная окружность будет касаться всех его вершин, вписанная — середины всех его сторон. Их центр будет совпадать с центром квадрата и разделит все его диагонали пополам. Последние, в свою очередь, равны между собой и делят углы квадрата на равные части.

Одна диагональ разделяет квадрат на два равнобедренных треугольника, обе — на четыре.

Таким образом, если длина стороны квадрата — t, длина радиуса описанной окружности — R, а вписанной — r, то

площадь основания квадрата, или площадь квадрата (S) будет равна S=t2=2R2=4r2;

периметр квадрата P следует вычислять по формуле P=4t=4√2R=8r;

длину радиуса описанной окружности R=(√2/2)t;

вписанной — r=t/2.

Площадь основания квадрата еще можно вычислить, зная его сторону (a) или длину его диагонали (c), тогда формулы будут выглядеть соответственно: S=a2 иS=1/2c2.

Что такое квадрат, мы с вами выяснили. Давайте подробнее рассмотрим детали, ведь фигура квадрат самый симметричный четырехугольник. У него пять осей симметрии, причем одна (четвертого порядка) проходит через центр и является перпендикуляром к плоскости самого квадрата, а четыре другие — оси симметрии второго порядка, две из них параллельны сторонам, а еще две проходят через диагонали квадрата.