Урок-лекция по теме «интеграл. площадь криволинейной трапеции»

Виды трапеций

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
  • Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной.

Основные свойства трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

\

Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

\

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

\

Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

\

Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

\

Формулы длин сторон трапеции

Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

\

Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\

Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:

\

Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\

Формулы длины средних линий трапеции

Формула определения длины средней линии через длины оснований:

\

Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

\

Формулы длины высоты трапеции

Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:

\

Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:

\

Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

\

Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

\

Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

\

Формулы длин диагоналей трапеции

Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:

\

\

Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:

\

\

Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:

\

\

Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:

\

\

Формулы площади трапеции

Формула площади трапеции через основания и высоту:

\

Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:

\

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:

\

Формула площади трапеции через четыре стороны:

\

Формула Герона для площади трапеции

\

где \( p = \dfrac{a + b + c + d}{2} \) — полупериметр трапеции.

ФигурыМатематика Формулы Геометрия Теория Фигуры

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

Теорема Ньютона — Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две функции   f (x),   то

S (x) = F (x) + c (8)

      Воспользовавшись равенством (8), из получаем, что

(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

      Заметим, что

(11)

поскольку , «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна  

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 243-258
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Лимит времени:

из 5 заданий окончено

Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

Информация

  1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
  2. Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
  3. Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали из баллов ()

Средний результат  
Ваш результат  

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  1. С ответом

  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 5

    1.

    Количество баллов: 4

    Для нахождения площади криволинейной трапеции сперва требуется:

    • Разбить отрезок на n-частей монотонным набором точек

    • Провести через точки деления прямые, параллельные oy

    • Получить n маленьких криволинейных трапеций

    • Сложить площади криволинейных транеций

    Правильно

    Неправильно

  2. Задание 2 из 5

    2.

    Количество баллов: 1

    Суммы вида $latex {\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}}$ называются

    • предельными

    • интегральными

    • Римановскими

    • производными

    Правильно

    Неправильно

  3. Задание 3 из 5

    3.

    Количество баллов: 1

    Площадь всей ступенчатой фигуры (обозначена светло- и темно-зелёным цветом), составленной из прямоугольников, равна пределу суммы $$ {S=\sum_{n=1}^{k}=f(x_{n})\triangle x_{n}} $$

    при $latex \lambda \to 0$

    • Да, верно.

    • Нет, неверно.

    Правильно

    Неправильно

  4. Задание 4 из 5

    4.

    Количество баллов: 1

    Исходя из прочитанного материала, дополните предложение:

    С помощью интегральных сумм вычисляется (масса) линейного стержня.

    Правильно

    Неправильно

  5. Задание 5 из 5

    5.

    Количество баллов: 1

    Площадь криволинейной трапеции можно вычислить только, если

    • наибольший отрезок из разбиения стремится к нулю

    • наименьший отрезок из разбиения стремится к нулю

    • сумма будет иметь предел S , не зависящий ни от выбора промежуточных
      точек, ни от способа разбиения

    • сумма будет иметь предел S , зависящий и от выбора промежуточных
      точек, и от способа разбиения

    Правильно

    Неправильно

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Урок-лекция по теме «интеграл. площадь криволинейной трапеции»

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – на отрезке    функция, принимающая только положительные .

      Определение 1. Фигуру, ограниченную   y = f (t)   сверху, отрезком     снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Урок-лекция по теме «интеграл. площадь криволинейной трапеции»

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок    называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

3.4.1. Определенный интеграл window.top.document.title = «3.4.1. Определенный интеграл»;


Урок-лекция по теме «интеграл. площадь криволинейной трапеции»
Рисунок 3.4.1.1.Определение криволинейной трапеции

f (x)f (x)x = ax = bкриволинейной трапецией

В курсе геометрии было введено понятие площади фигуры S (Ф). Напомним, что площадь обладает следующими свойствами:

  • площадь любой фигуры неотрицательна: S (Ф) ≥ 0;
  • равные фигуры имеют равные площади: если Ф1 = Ф2, то S (Ф1) = S (Ф2);
  • площадь фигуры равна сумме площадей ее частей;
  • площадь квадрата со стороной 1 равна единице.

Урок-лекция по теме «интеграл. площадь криволинейной трапеции»
Рисунок 3.4.1.2.Площадь фигуры Ф

sTSTsT  ≤ ST

Можно доказать, что если неотрицательная функция f (x) непрерывна на отрезке , то ее криволинейная трапеция имеет площадь S (Ф), которая подчиняется неравенству sT ≤ S (Ф) ≤ ST, причем sT и ST стремятся к S (Ф) при неограниченном уменьшении площади каждого квадрата. Этот предел S (Ф) не зависит от способа дробления фигуры Ф на квадраты.

Рассмотрим непрерывную и неотрицательную на функцию f (x). Разобьем отрезок на n отрезков точками x1,…, xn–1. Проведем через эти точки прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Тогда криволинейная трапеция Ф, соответствующая графику функции y = f (x), разобьется на n частей, каждая из которых также является криволинейной трапецией.

Обозначим Δxi = xi – xi–1, x = a, xn = b и выберем каким-нибудь образом точки

Произведение Δxi · f (ξi) является площадью прямоугольника, ограниченного осью абсцисс, прямыми x = xi–1 и x = xi и горизонтальной прямой y = f (ξi). Суммарная площадь ступенчатой фигуры, являющейся объединением всех прямоугольников, равна

Она зависит от выбора количества n прямоугольников и точек ξi. При достаточно мелком разбиении эта ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной фигуры Ф в том смысле, что можно доказать существование предела

Число J называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке , если для любого ε > 0 существует такое

что для разбиения отрезка на равные части n точками и для любого выбора точек

выполняется неравенство

Если число J существует, то функция f (x) называется интегрируемой на отрезке . Определенный интеграл обозначается

числа a и b называются пределами интегрирования.

Если функция f (x) интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, функция Дирихле

ограничена на любом отрезке, но не интегрируема на нем.

Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нем.

Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на нем.

Выберем на отрезке
максимальное и минимальное значения функции f (x):

Обозначим через T некоторое разбиение отрезка точками

Верхней суммой Дарбу называется выражение

Нижней суммой Дарбу называется

Модель 3.9.
Определенный интеграл

Свойства сумм Дарбу (здесь

  • для любых ξ справедливы неравенства
    sT ≤ σT (ξ) ≤ ST;
  • справедливы равенства

  • при увеличении числа отрезков n нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается;
  • для любых разбиений T1 и T2

Если функция интегрируема на отрезке, то ее определенный интеграл на этом отрезке

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий