Что такое экспонента

Обзор

Красная кривая — экспоненциальная функция. Черные горизонтальные линии показывают, где он пересекает зеленые вертикальные линии.

Экспоненциальная функция возникает всякий раз, когда величина растет или уменьшается со скоростью, пропорциональной ее текущему значению. Одна из таких ситуаций представляет собой постоянно увеличивающийся интерес , и фактически именно это наблюдение привело Якоба Бернулли в 1683 году к числу

Limп→∞(1+1п)п{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

теперь известен как e . Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучил исчисление экспоненциальной функции.

Если основная сумма 1 приносит проценты по годовой ставке x , начисленные ежемесячно, тогда проценты, получаемые каждый месяц, равныИкс12умноженное на текущее значение, поэтому каждый месяц общее значение умножается на (1 +Икс12) , а значение на конец года (1 +Икс12) 12 . Если вместо этого начисляются ежедневные проценты, это будет (1 +Икс365) 365 . Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, мы получим предельное определение экспоненциальной функции,

exp⁡Иксзнак равноLimп→∞(1+Иксп)п{\ displaystyle \ exp x = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}}

впервые дан Леонардом Эйлером . Это одна из множества характеристик экспоненциальной функции ; другие включают ряды или дифференциальные уравнения .

Из любого из этих определений можно показать, что экспоненциальная функция подчиняется основному тождеству возведения в степень ,

exp⁡(Икс+y)знак равноexp⁡Икс⋅exp⁡y{\ Displaystyle \ ехр (х + Y) = \ ехр х \ CDOT \ ехр у}

что оправдывает обозначение e x для exp x .

Производная (скорость изменения) экспоненциальной функции сама является экспоненциальной функцией. В более общем смысле, функция со скоростью изменения, пропорциональной самой функции (а не равной ей), может быть выражена в терминах экспоненциальной функции. Это свойство функции приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному убыванию .

Экспоненциальная функция продолжается до целой функции на комплексной плоскости . Формула Эйлера связывает свои значения при чисто мнимых аргументах с тригонометрическими функциями . У экспоненциальной функции также есть аналоги, для которых аргументом является матрица или даже элемент банаховой алгебры или алгебры Ли .

Определения

Для вещественных ненулевых значений  x экспоненциальный интеграл Ei ( x ) определяется как

Ei⁡(Икс)знак равно-∫-Икс∞е-ттdтзнак равно∫-∞Иксеттdт.{\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = — \ int _ {- x} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \, dt = \ int _ {- { \ infty}} ^ {x} {\ frac {e ^ {t}} {t}} \, dt. \,}

Риш алгоритм показывает , что Ei не является элементарной функцией . Приведенное выше определение может использоваться для положительных значений  x , но интеграл следует понимать в терминах главного значения Коши из-за сингулярности подынтегрального выражения в нуле.

Для комплексных значений аргумента определение становится неоднозначным из-за точек ветвления в 0 и . Вместо Ei используются следующие обозначения:
∞{\ displaystyle \ infty}

E1(z)знак равно∫z∞е-ттdт,|Арграмм(z)|<π{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \, dt, \ qquad | {\ rm {Arg} } (z) | <\ pi}

(обратите внимание, что для положительных значений  x мы имеем ).
-E1(Икс)знак равноEi⁡(-Икс){\ Displaystyle -E_ {1} (х) = \ OperatorName {Ei} (-x)}

В общем, разрез ветви выполняется на отрицательной действительной оси, и E 1 может быть определено аналитическим продолжением в другое место на комплексной плоскости.

Для положительных значений действительной части это можно записать
z{\ displaystyle z}

E1(z)знак равно∫1∞е-тzтdтзнак равно∫1е-zтытыdты,ℜ(z)≥{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- tz}} {t}} \, dt = \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {e ^ {- z / u}} {u}} \, du, \ qquad \ Re (z) \ geq 0.}

Поведение E 1 вблизи сечения ветви можно увидеть из следующего соотношения:

Limδ→+E1(-Икс±яδ)знак равно-Ei⁡(Икс)∓яπ,Икс>{\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0+} E_ {1} (- x \ pm i \ delta) = — \ operatorname {Ei} (x) \ mp i \ pi, \ qquad x> 0.}

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

Что такое экспонентаВторой замечательный предел

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Вычисление

При вычислении (приближении) экспоненциальной функции около аргумента результат будет близок к 1, а вычисление значения разницы с помощью арифметики с плавающей запятой может привести к потере (возможно, всех) значащих цифр , что приведет к большая ошибка вычислений, возможно даже бессмысленный результат.
exp⁡Икс-1{\ Displaystyle \ ехр х-1}

Следуя предложению Уильяма Кахана , может быть полезно иметь специальную процедуру, часто вызываемую , для вычисления e x — 1 напрямую, минуя вычисление e x . Например, если экспонента вычисляется с использованием ряда Тейлора

еИксзнак равно1+Икс+Икс22+Икс36+⋯+Икспп!+⋯,{\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + \ cdots,}

можно использовать ряд Тейлора еИкс-1{\ displaystyle e ^ {x} -1:}

еИкс-1знак равноИкс+Икс22+Икс36+⋯+Икспп!+⋯.{\ displaystyle e ^ {x} -1 = x + {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} + \ cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} + \ cdots.}

Впервые это было реализовано в 1979 году в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C и предоставлялось несколькими калькуляторами, операционными системами (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ), системами компьютерной алгебры и языками программирования (например, C99 ).

В дополнении к базовым е , то IEEE 754-2008 стандарта определяет подобные экспоненциальные функции вблизи 0 для основания 2 и 10: и .
2Икс-1{\ displaystyle 2 ^ {x} -1}10Икс-1{\ displaystyle 10 ^ {x} -1}

Аналогичный подход был использован для логарифма (см. Lnp1 ).

Тождество в терминах гиперболического тангенса ,

expm1⁡(Икс)знак равноexp⁡Икс-1знак равно2танх⁡(Икс2)1-танх⁡(Икс2),{\ displaystyle \ operatorname {expm1} (x) = \ exp x-1 = {\ frac {2 \ tanh (x / 2)} {1- \ tanh (x / 2)}},}

дает значение высокой точности для малых значений x в системах, которые не реализуют expm1 ( x ) .

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

Что такое экспонентаДжон Непер — шотландский математик (1550–1617 гг.)

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Что такое экспонентаЛеонард Эйлер — швейцарский математик (1707–1783 гг.)

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Узнайте также, что такое Число Пи, Натуральные числа и Логарифм.

Комплексная экспонента

График экспоненты в комплексной плоскости.Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением f(z)=ez{\displaystyle f(z)=e^{z}}, где z{\displaystyle z} есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x)=ex{\displaystyle f(x)=e^{x}} вещественного переменного x{\displaystyle x}:

Определим формальное выражение

ez=ex+iy=ex⋅eiy{\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции ez{\displaystyle e^{z}}, то есть показать, что ez{\displaystyle e^{z}} разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

f(z)=ez=ex⋅eiy=eiy∑n=∞xnn!{\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Сходимость данного ряда легко доказывается:

|eiy∑n=∞xnn!|≤|∑n=∞xnn!|≤∑n=∞|xnn!|=∑n=∞|x|nn!=e|x|{\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z)=ez{\displaystyle f(z)=e^{z}}. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция ez{\displaystyle e^{z}} всюду определена и аналитична.

Свойства

  • Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
  • ez{\displaystyle e^{z}} — периодическая функция с основным периодом 2πi: eiφ=ei(φ+2π){\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}}. В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой 2π{\displaystyle 2\pi }.
  • ez{\displaystyle e^{z}} — единственная функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
  • Алгебраически экспонента от комплексного аргумента z=x+iy{\displaystyle z=x+iy} может быть определена следующим образом:
    ez=ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny){\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)} (формула Эйлера)

    В частности, имеет место (тождество Эйлера),
    eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

Что такое экспонента

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как Что такое экспонента.

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

  • Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
  • Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
  • Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост)x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Экспонента

Здесь все просто (но это только пока). Многие считают, что экспонента это просто число е=2,718281828459045235360287.  Конечно, это не так. Это самое число e, называется числом Эйлера, оно трансцендентно и иррационально, что звучит красиво и загадочно, но экспонента, не число, а функция.

f(x)=ex

Те, кто немного дружил с математикой в школе сразу заметят интересную особенность этой функции. Ее основанием является не отрицательное число, а значит, она будет всегда возрастать.

При х=0 у=1, при х=1, у=2,718, при х=2 y=7,39…. Ну а при х=10, у=22 026,5

Значение функции растет и растет явно очень быстро. Стремительно и неудержимо.

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры.
В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

exp⁡A=∑k=∞Akk!.{\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора A{\displaystyle A} с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы A{\displaystyle A:} exp⁡‖A‖.{\displaystyle \exp \|A\|.} Следовательно, экспонента от матрицы A∈Rn×n{\displaystyle A\in {\mathbb {R} }^{n\times n}} всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение x˙=Ax,   x∈Rn{\displaystyle {\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}} с начальным условием x()=x{\displaystyle x(0)=x_{0}} имеет своим решением x(t)=exp⁡(At)x.{\displaystyle x(t)=\exp(At)x_{0}.}

h-экспонента

Введение h{\displaystyle h}-экспоненты основано на втором замечательном пределе:

eh(x)=(1+h)xh.{\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}

При h→{\displaystyle h\to 0} получается обычная экспонента.

Время примеров!

Примеры всегда делают сухую математику веселее. Маленькая поправка: мы так уже привыкли к формулам типа 2x и обычному, составному росту, что можно легко запутаться (я и сам через это прошел). Почитайте подробнее о простом, составном и непрерывном росте.

Эти примеры демонстрируют плавный, непрерывный рост, а не «скачкообразный» рост, которые происходит в годичные интервалы. Есть способы расчетов прибыли между интервалами, но оставим это для новой статьи.

Пример 1: Наращивание кристаллов

Предположим, у меня есть 300 кг магических кристаллов. Они магические, потому что растут в течение дня: сначала я вижу один кристалл, а через 24 часа он выбрасывает из себя другой кристалл, весом как он сам. (Кристаллы-детки начинают расти сразу же, и с таким же темпом, но я это уже не могу отследить — я могу увидеть только вот эту первую партию новорожденных). Сколько кристаллов будет у меня через 10 дней?

В общем, так как кристаллы начинают расти немедленно, мы имеем дело с непрерывным ростом. Наш коэффициент прироста 100% каждые 24 часа, так что через 10 дней мы получим 300 × e1 × 10 = 6.6 миллионов кг магических самоцветов.

Здесь может быть загвоздка: видите, какая разница между исходным коэффициентом и общим коэффициентом прироста. «Исходный» — это насколько изменяется один кристалл: 100% за 24 часа. Общий прирост равен числу е (2.718х), потому что детки-кристаллы тоже постоянно растут.

В этом случае у нас есть исходный коэффициент (как быстро растут кристаллы), и мы хотим получить совокупный результат (как вся группа вырастет с учетом кристаллов-деток). Если у нас есть общий прирост, а вычислить требуется исходный коэффициент (рост одного кристалла за определенный период времени), мы вычисляем в обратном порядке и используем натуральный логарифм.

Пример 2: максимальная ставка процента

Допустим, у меня есть 120 рублей на счету в банке с 5% ставкой. Мой банк очень щедр, и обеспечивает мне максимально возможную капитализацию. Сколько у меня будет денег через 10 лет?

Наша ставка составляет 5%, и нам повезло с непрерывной капитализацией. После 10 лет мы получим 120 × e0.05 × 10 = 197,85 рублей. Конечно, большинство банков не настолько хороши, чтобы предоставить вам лучший из возможных процентов. Разница между вашей конечной суммой и размером непрерывного прироста показывает, насколько именно они жадничают..

Пример 3: радиоактивный распад

У меня 10 кг радиоактивного материала, который непрерывно распадается с коэффициентом 100% в год. Как много у меня останется через 3 года?

Совсем ничего? Ноль без палочки? Подумайте еще раз.

Распадаться непрерывно на 100% в год — примерно такую ситуацию мы рассматривали в начале. Да, мы начали с 10 кг, и ожидаем потерять все к концу первого же года, так как материал распадается на 10 кг/год.

Наше радиотопливо распадалось несколько месяцев, и осталось всего 5 кг материала. До полного распада осталось полгода? Неа! Теперь мы теряем в весе уже 5 кг/год, так что у нас еще целый год для полного распада!

Мы ждем еще несколько месяцев, и доходим до 2 кг. И конечно же, дальнейший распад уже пойдет со скоростью 2 кг/год, так что у нас еще в запасе полный год (с этого момента). Мы доходим до 1 кг, и опять в запасе целый год, так мы достигнем 0,5 кг, еще один год – улавливаете схему?

С течением времени мы теряем материал, но и скорость распада постепенно уменьшается. Этот постоянно изменяющийся темп и лежит в основе непрерывного роста и распада.

Спустя три года, у нас останется 10 × e-1 × 3 = 0.498 кг. Мы использовали отрицательную степень для распада – нам нужна дробь (1/eп × в) вместо произведения роста (еп × в). (Распад обычно дается в контексте «полураспада» — мы поговорим о преобразовании этих показателей в другой статье).

Больше примеров

Если вы хотите более сложные примеры, попробуйте формулу опционов Блэка-Шоулза (число е используется для экспоненциального снижения в цене) или радиоактивный распад. Цель таких примеров — дать человеку увидеть еп × в в формуле и понять, почему она там: это и моделирует прирост или распад.

Сейчас вы знаете, почему константа называется «е», а не «пи» или другое какое-то число: е, возведенная в степень «п × в», позволяет оценить влияние коэффициента прироста П и времени В.

Формальное определение

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых n + 1 членов ее степенного ряда (красным).

Действительная экспоненциальная функция может быть охарактеризована множеством эквивалентных способов. Обычно это определяется следующим степенным рядом :
expр→р{\ Displaystyle \ ехр \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

exp⁡Иксзнак равно∑kзнак равно∞Иксkk!знак равно1+Икс+Икс22+Икс36+Икс424+⋯{\ displaystyle \ exp x: = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} + {\ frac {x ^ {4}} {24}} + \ cdots}

Поскольку радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение, фактически, применимо ко всем комплексным числам (см. для расширения до комплексной плоскости). Тогда постоянная e может быть определена какz∈C{\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C}}exp⁡Икс{\ Displaystyle \ ехр х}езнак равноexp⁡1знак равно∑kзнак равно∞(1k!).{\ textstyle е = \ ехр 1 = \ сумма _ {k = 0} ^ {\ infty} (1 / k!).}

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех действительных x , что приводит к другой общей характеристике как единственного решения дифференциального уравнения(ddИкс)(exp⁡Икс)знак равноexp⁡Икс{\ Displaystyle (д / дх) (\ ехр х) = \ ехр х}exp⁡Икс{\ Displaystyle \ ехр х}

y′(Икс)знак равноy(Икс),{\ Displaystyle у ‘(х) = у (х),}

удовлетворяющий начальному условию y()знак равно1.{\ displaystyle y (0) = 1.}

Основываясь на этой характеристике, цепное правило показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм , удовлетворяет для или Эта связь приводит к менее распространенному определению действительной экспоненциальной функции как решения уравнения
(ddy)(журнале⁡y)знак равно1y{\ Displaystyle (д / ду) (\ журнал _ {е} у) = 1 / у}y>,{\ displaystyle y> 0,}журнале⁡yзнак равно∫1y1тdт.{\ textstyle \ log _ {e} y = \ int _ {1} ^ {y} {\ frac {1} {t}} \, dt.}exp⁡Икс{\ Displaystyle \ ехр х}y{\ displaystyle y}

Иксзнак равно∫1y1тdт.{\ displaystyle x = \ int _ {1} ^ {y} {\ frac {1} {t}} \, dt.}

Посредством биномиальной теоремы и определения степенного ряда экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел:

exp⁡Иксзнак равноLimп→∞(1+Иксп)п.{\ displaystyle \ exp x = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}.}

Экспоненциальный рост

Что такое экспоненциальный рост? Простыми словами, это такой рост, при котором, чем больше вырастят какое-либо значение, тем больше ускоряется его рост. То есть, со временем растет не только значение, но и сама скорость его роста.

А это, иными словами, означает, что значение переменной функции и скорость ее роста находятся в прямо пропорциональной зависимости. То есть, если значение увеличиться два раза, скорость роста увеличится тоже в 2 раза.

В конечном итоге, экспоненциальный рост — самый быстрый.

На самом деле, все вышесказанное касается любой показательной функции, а не только экспоненты.

f(x)=аx

Основанием может быть любое не отрицательное число, хоть два, хоть три, хоть… сколько угодно.

Несколько примеров из жизни

Самым  актуальным и наглядным можно назвать ситуацию с распространением вируса (либо любой другой инфекции). Предположим, что каждый человек в течение дня заражает двух других. Тогда, в первый день у нас будет один инфицированный, во второй — трое. Один старый знакомый и два новых. Каждый из новичков, в свою очередь заразит двух других. В третий день — 7 заразившихся, в четвертый — 1, а пятый — 31…Стоп, это только при условии, что каждый человек заразит только двоих и, чудесным образом, перестанет это делать на притяжении следующих дней. Но ведь так не будет! Все эти люди и дальше будут заражать по 2 человека в день.

А раз так, то на третий день будет уже 9 разносчиков вируса, на пятый — 81, а через неделю по нашему воображаемому городу будет бродить уже 729 зараженных.

Это и будет экспоненциальный рост количества зараженных. Без учета их лечения, карантина или любых других мер, болезнь будет развиваться именно так. Через 10 дней зараженных людей будет уже 59 тысяч человек. Через 15 дней — более 14 миллионов. Просто математика, но какой яркий пример экспоненциального роста?

Легко вывести формулу: 1, 3, 9, 27, 81… это «три» в степени 2, 3 и 4. То есть, показательна функция с основанием 3.

f(x)=3x

И, хотя в этой формуле в степень возводится не число Эйлера (2,71828….), такой рост тоже называется экспоненциальным.

Еще один пример из биологии: размножение бактерий.

Бактерии размножаются делением. Каждая делится надвое и так далее… Но, конечно, не бесконечно. Предел есть, но об этом чуть позже.

Экспоненциальный рост в экономике

Есть примеры роста по экспоненте и в экономике. Самый интересный — финансовая пирамида. Самый безопасный — Закон Мура.

Первый закон Мура гласит, что количество транзисторов удваивается каждые 2 года. Таким образом и вычислительные мощности компьютера удваиваются каждые два года.

Второй Закон Мура (который сформулировал уже не Гордон Мур) гласит, что стоимость производства микросхем также возрастает экспоненциально из-за усложнения технологий.

Что же касается финансовых пирамид, то основная идея в том, что их рост обусловлен исключительно ростом количества «сектантов» верящих в огромные прибыли или тех, кто верит, что сумеет вовремя «соскочить». Так или иначе, пирамиды всегда рушатся. И вот вопрос, почему?

Но, конечно, рост не может продолжаться бесконечно. В случае с бактериями (и любыми другими организмами, да хоть мышами), наступит время, когда им не хватит пространства и пищи. В случае с микросхемами наступит физический предел скорости передачи данных (мы вряд ли сумеем превысить скорость света). Ну а всевозможные волшебные экономические модели в форме пирамид рано или поздно сталкиваются с той же проблемой, питательная среда в виде легковерных последователей

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Свойства

  • (ex)′=ex{\displaystyle (e^{x})’=e^{x}}, а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения y′=y{\displaystyle y’=y} с начальными данными y()=1{\displaystyle y(0)=1}. Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента — выпуклая функция.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм (ln⁡x){\displaystyle (\ln x)}.
  • Фурье-образ экспоненты не существует.
  • Однако преобразование Лапласа существует.
  • Производная в нуле равна 1{\displaystyle 1}, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45∘ (π4){\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}}.
  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
    exp⁡(a+b)=exp⁡(a)exp⁡(b){\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}.

    Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0{\displaystyle 0}, либо имеет вид exp⁡(cx){\displaystyle \exp(cx)}, где c{\displaystyle c} — некоторая константа.

ex=sh⁡x+ch⁡x{\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}, где sh{\displaystyle \operatorname {sh} } и ch{\displaystyle \operatorname {ch} } — гиперболические синус и косинус.

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий