Определение
Пусть A{\displaystyle A} — алгебра над кольцом R{\displaystyle R}. Дифференцирование алгебры A{\displaystyle A} — это R{\displaystyle R}-линейное отображение ∂A→A{\displaystyle \partial :A\to A}, удовлетворяющее тождеству Лейбница:
- ∂(ab)=(∂a)b+a(∂b){\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}
В более общем случае дифференцирование коммутативной A{\displaystyle A} со значениями в A{\displaystyle A}-модуле M{\displaystyle M} — это R{\displaystyle R}-линейное отображение ∂A→M{\displaystyle \partial :A\to M}, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае M{\displaystyle M} называют дифференциальным модулем над A{\displaystyle A} Множество всех дифференцирований со значениями в M{\displaystyle M} обозначается D(M){\displaystyle \mathrm {D} (M)} (Der(M){\displaystyle \mathrm {Der} (M)}, DerR(A,M){\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}) и является A{\displaystyle A}-модулем. Функтор D{\displaystyle \mathrm {D} } является представимым, его представляющий объект обозначается Λ1(A){\displaystyle \Lambda ^{1}(A)} или ΩAR1{\displaystyle \Omega _{A/R}^{1}} и называется модулем кэлеровых дифференциалов. Λ1(A){\displaystyle \Lambda ^{1}(A)} является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над A{\displaystyle A}, то есть существует такое дифференцирование dA→Λ1(A){\displaystyle d:A\to \Lambda ^{1}(A)}, что любое дифференцирование δ∈D(M){\displaystyle \delta \in \mathrm {D} (M)} пропускается через d{\displaystyle d}:
- ∃!fΛ1(A)→M δ=f∘d{\displaystyle \exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d}
Свойства
- D(A){\displaystyle \mathrm {D} (A)} имеет естественную структуру алгебры Ли: D1,D2∈D(A)⟹D1,D2=D1∘D2−D2∘D1∈D(A){\displaystyle \mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies =\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)}
- Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если A{\displaystyle A} — алгебра с единицей, то для любого A{\displaystyle A}-модуля M{\displaystyle M}
- Diff1(M)=D(M)⊕M{\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M}
- Здесь Diff1(M){\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)} — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из A{\displaystyle A} в M{\displaystyle M}.
DerR(A,M){\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)} является функтором из (Ringop)×(R−Algop)×(A−Mod){\displaystyle ({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)} в A−Mod{\displaystyle A-{\mathcal {M}}od}.
Градуированное дифференцирование
Пусть A{\displaystyle A} — Z{\displaystyle \mathbb {Z} }-градуированная алгебра, градуировку элемента a∈A{\displaystyle a\in A} обозначим |a|{\displaystyle |a|}. Правильным аналогом дифференцирований в этом случае являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями DA→A{\displaystyle \mathrm {D} :A\to A} степени |D|{\displaystyle |\mathrm {D} |}, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби (ε=±{\displaystyle \varepsilon =\pm }):
- D(ab)=(Da)b+ε|a||D|a(Db){\displaystyle \mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)}
Если ε=1{\displaystyle \varepsilon =1}, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если ε=−1{\displaystyle \varepsilon =-1}, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора
- D1,D2=D1∘D2−(−1)|D1||D2|D2∘D1{\displaystyle =\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}}
Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.
