Биссектриса угла

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

Соотношение со сторонами треугольника

Слово, в переводе с латинского языка, обозначает «сечение поперек». Чем отличается биссектриса от других главных и второстепенных отрезков треугольной фигуры, было известно еще Архимеду, который в своих трудах активно использовал ее свойства для определения сторон многоугольников. При этом количество сторон должно быть кратным трем. Классическая теорема о биссектрисе гласит, что линия разделяет противоположную сторону на 2 отрезка, отношение которых друг к другу такое же, как соотношение двух соприкасающихся к основанию сторон.

Пример

Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена биссектриса АД, разделяющая сторону ВС на 2 отрезка (ДВ и ДС). Смысл теоремы сводится к равенству нескольких величин: ВД/АВ=СД/АС и ВД/ДС=АВ/АС. Лучше понять формулу помогает фото треугольника с проведенной линией.

Характеристика линий:

любая биссектриса, выпущенная из вершины неправильного треугольника, расположена между медианой и высотой, выходящей из этого же места,
все точки, расположенные на отрезке, удалены от сторон по бокам вершины на одинаковое расстояние,
лучи, разделяющие пополам внешний и внутренний угол треугольной фигуры, перпендикулярны между собой,
все отрезки, делящие на равные части внутренние углы, пересекаются в строго определенной точке, которая служит центром вписанной в эту фигуру окружности,
если две биссектрисы равны по длине, то фигура – равнобедренная, если все одинакового размера, треугольник – правильный.

Длина

Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок,
длины сторон, которые образуют этот угол.

Для решения поставленной задачи используется формула, смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

известны значения всех сторон фигуры.

При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о приключениях этой прямой

Примечания

Иванов А. Б. Биссектриса угла // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 496. — 576 с. — 150 000 экз.
.
v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig.
<span class=»nowrap»>Акопян А. В.</span>, <span class=»nowrap»>Заславский А. А.</span>. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.

Свойства

Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной окружности, а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:

Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон, которые составляют пространство между лучами.
Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон.

Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.

В равнобедренном треугольнике

Биссектриса равнобедренного треугольника – гораздо более полезный луч. Она одновременно является не только делителем угла напополам, но и медианой, и высотой.

Медиана – это отрезок, который выходит из какого-то угла и падает на середину противолежащей стороны, разделяя её тем самым на равные части. Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону, именно с её помощью любую задачу можно свести к простой и примитивной теореме Пифагора. В данной ситуации биссектриса треугольника равна корню из разности квадрата гипотенузы и другого катета. Кстати, именно это свойство встречается в геометрических задачах чаще всего.

Для закрепления: в данном треугольнике биссектриса FB является медианой (AB=BC) и высотой (углы FBC и FBA составляют 90 градусов).

В общих чертах

Итак, что же нужно запомнить? Биссектриса треугольника – это луч, который делит его вершину пополам. На пересечении трёх лучей находится центр окружности, вписанной в данный треугольник (единственный минус этого свойства в том, что оно не имеет практической ценности и служит только для грамотного выполнения чертежа). Она же делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению сторон, между которыми прошёл этот луч. В четырёхугольнике свойства чуть усложняются, но, признаться, они практически не встречаются в задачах школьного уровня, поэтому обычно не затрагиваются в программе.

Биссектриса равнобедренного треугольника – предел мечтаний любого школьника. Она одновременно является и медианой (то есть делит противолежащую сторону пополам), и высотой (перпендикулярна этой стороне). Решение задач с такой биссектрисой сводится к теореме Пифагора.

Знание базовых функций биссектрисы, а также основных её свойств необходимо для решения геометрических задач как среднего, так и высокого уровня сложности. На самом деле встречается этот луч только в планиметрии, так что нельзя говорить о том, что зазубривание информации о нём позволит справляться со всеми типами заданий.

Свойства

Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами

Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис

Точка пересечения биссектрисы со стороной треугольника называется основанием биссектрисы.

BDCD=ABAC{\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}} или BDAB=CDAC{\displaystyle {\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}}.

Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть BDCD=ABAC{\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}} или BDAB=CDAC{\displaystyle {\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}}.
Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис .

Свойства осей биссектрис

Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.

Другие свойства

Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, причём даже при наличии трисектора.
Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника.