Задачи №6. вписанные, центральные углы

Математика — это просто!

ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ
· Что такое окружность
· Что такое круг
· Касательная к окружности
· Вписанная окружность
· Описанная окружность
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
· Отрезок, луч, прямая
· Угол
· Разновидности углов
· Признаки параллельности
МНОГОУГОЛЬНИКИ
· Виды треугольников
· Биссектриса и высота
· Признаки равенства треугольников
· Равнобедренные треугольники
· Площадь треугольника
· Теорема Пифагора
· Теорема синусов
· Теорема косинусов
· Подобные треугольники
· Параллелограмм
· Ромб, квадрат
· Трапеция
ВЕКТОРЫ
· Что такое вектор
· Сложение и вычитание векторов
· Умножение вектора на число
· Координаторы вектора
· Угол между векторами
· Скалярное произведение векторов
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол, образованный , которые пересекаются вне круга Задачи №6. вписанные, центральные углы

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный и , проходящей через точку касания

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол, образованный и Задачи №6. вписанные, центральные углы

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя к окружности Задачи №6. вписанные, центральные углы

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный пересекающимися
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол, образованный, которые пересекаются вне круга
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный и, проходящей через точку касания
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол, образованный и и
Формула:

Теорема

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя к окружности
Формулы:

Теорема

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

      Теорема 1. Величина равна половине величины , опирающегося на ту же дугу.

      Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является, и центральный угол AOC (рис. 5).

Рис. 5

      Так как отрезки AO и BO являются, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является AOB, то справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

      Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

      Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Рис. 6

      В этом случае справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

и теорема 1 в этом случае доказана.

      Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Рис. 7

      В этом случае справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

      Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – BED, а углы CDB и ABD являются , то справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Величина угла, образованного, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Задачи №6. вписанные, центральные углы

Рис. 9

      Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются , то справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Величина угла, образованного  и   и , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.

Задачи №6. вписанные, центральные углы

Рис. 10

      Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD –, проходящий через точку касания, а угол ACD – , опирающийся на диаметр, . Поэтому справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

что и требовалось доказать

      Теорема 5. Величина угла, образованного, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Задачи №6. вписанные, центральные углы

Рис. 11

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – DBE, а углы BDC и BCD являются . Кроме того, углы DBE и DCB, в силу , равны. Поэтому справедливы равенства

Задачи №6. вписанные, центральные углы

что и требовалось доказать.

      Теорема 6.Величина угла, образованного двумя, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.

Задачи №6. вписанные, центральные углы

Рис. 12

      Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что . Поэтому справедливо равенство

α = π – γ .

      Далее получаем

Задачи №6. вписанные, центральные углыЗадачи №6. вписанные, центральные углыЗадачи №6. вписанные, центральные углы

что и требовалось доказать.

Задачи №6. вписанные, центральные углы

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий