Трапеция

Свойства средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
полусумме.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.

Докажем, что $MN\parallel AD$ и $MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($F\in CB, E\in AD$).

Тогда $FCDE$ – параллелограмм ($FC\parallel ED, FE\parallel CD$).

Следовательно, $FE=CD$, $FC=ED$.

Кроме того $\triangle FBM=\triangle AME$, по второму признаку равенства ($\angle
1=\angle 2$, как накрест лежащие, $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные,
$AM=MB$, так как $M$ – середина).

Следовательно, $FM=ME$.

Тогда $FMNC$ и $MNDE$ — параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FE\parallel
CD$).

Следовательно, $MN\parallel BC$.

Кроме того, из равенства треугольников $\triangle FBM=\triangle AME$ следует,что $FB=AE$.

Пусть $FB=AE=x$ и $BC=x$.

Тогда $FC=ED=x+y$.

Следовательно, $MN=x+y$.

Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.

Таким образом, $MN=x+y=\dfrac{BC+AD}{2}$.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.

Признаки

если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

      Определение. Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

      Поскольку у каждого имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

Рис.10

      На рисунке 10 средние линии – это отрезки   EF   и   GH .

      Замечание 1. Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

Рис.11

      На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник»   ABCD ,   средними линиями которого являются отрезки   EF   и   GH .

      Замечание 2. Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только .

      Замечание 3. В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

      Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» являются вершинами .

      Доказательство. Рассмотрим плоский четырёхугольник   ABCD ,   изображенный на рисунке 12. Точки   E, G, F, H   – середины сторон, отрезок   AC   – диагональ четырёхугольника.

Рис.12

      Поскольку отрезок   EG   –   ABC ,   то . Поскольку отрезок   FH   –   CDA ,   то . Таким образом, в четырёхугольнике   EGFH   противоположные стороны   EG   и   FH   равны и параллельны. В силу отсюда вытекает, что четырёхугольник   EGFH   – параллелограмм, что и требовалось доказать.

      Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника»   ABCD   доказательство остаётся тем же (рис. 13).

Рис.13

      Поскольку , то справедливо следующее утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы Вариньона.

      Утверждение 5. Средние линии произвольного пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

Рис.14

      Утверждение 6. Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный»   ABCD ,   у которого отрезок   EF   является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

Рис.15

      Доказательство. Рассмотрим в пространстве или   (рис. 16).

Рис.16

      В соответствии со свойствами векторов справедливы следующие равенства:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Средняя линия меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

      Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные. Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства трапеции

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна .

Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:

Второе свойство трапеции

Треугольники и подобны по двум углам. ( и – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .

Поедем дальше.

Проведём — среднюю линию в . Знаем, что и

Что же из всего этого следует?

(так как через точку можно провести лишь одну прямую параллельную , поэтому и – одна прямая )

Вот и доказали!

Четвертое свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками: (трапеция же!) (вписанный четырехугольник) . Ну, и так же .

Пятое свойство трапеции

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1) – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2) и – середины оснований; 3) – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проведём и .

Обозначим ; .

Тогда:

1. – прямоугольный

Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине). То есть . Но ведь (так как — параллелограмм) .

Средняя линия четырёхугольника[ | код]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства | код

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
• Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
• Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Виды трапеций

В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

Разнобокая

Существует две формы: остроугольная и тупоугольная. ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

Если боковины по длине равны

Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

1. Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
2. Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить окружность.
5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции:

1. Если диагонали пересекаются под углом, то половина суммы оснований будет равна длине высоты.
2. В случае, когда в правильную трапецию построена, или может быть построена, окружность, то квадрат высоты равен произведению величин оснований.
3. Ось симметрии и средняя линия трапеции являются одним и тем же ГМТ.
4. Когда диагонали пересекаются под прямым углом, тогда для вычисления площади потребуется формула: 
5. Окружность вписанная в трапецию, делает величину средней линии равной боковой.

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность боковой стороны основания емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

Средняя линия треугольника[ | код]

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Свойства | код

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки | код

Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
• Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной.

Основные свойства трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

\

Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

\

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

\

Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

\

Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

\

Формулы длин сторон трапеции

Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

\

Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\

Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:

\

Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

\

Формулы длины средних линий трапеции

Формула определения длины средней линии через длины оснований:

\

Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

\

Формулы длины высоты трапеции

Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:

\

Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:

\

Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

\

Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

\

Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

\

Формулы длин диагоналей трапеции

Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:

\

\

Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:

\

\

Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:

\

\

Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:

\

\

Формулы площади трапеции

Формула площади трапеции через основания и высоту:

\

Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:

\

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:

\

Формула площади трапеции через четыре стороны:

\

Формула Герона для площади трапеции

\

где \( p = \dfrac{a + b + c + d}{2} \) — полупериметр трапеции.

ФигурыМатематика Формулы Геометрия Теория Фигуры

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

Построение с помощью трикотажной майки

Майка должна быть чистой и выглаженной. Для точного получения выкройки необходимо разложить изделие на бумагу и зафиксировать его тяжелым предметом, например, книгой, или приколоть булавками.

Этапы построения:

1. Обвести майку точно по контуру со стороны спинки и переда. Швы должны совпадать друг с другом, на ткани не должно быть заломов.
2. Обозначить вертикальную линию середины, чтобы проверить симметричность полученного лекала. По разметке согнуть перед и спинку и скорректировать полученные боковые, плечевые срезы, контуры проймы, горловины и низа.
3. Провести моделирование выкройки. От начальной плечевой точки по спинке отметить длину готового изделия и удлинить выкройку. От линии проймы провести новую боковую линию, которая максимально расширена по низу изделия. Линию низа оформить плавно.
4. Вырезать выкройку и перенести ее на ткань с учетом припусков на швы: боковые 1, 5 — 2 см, срезы горловины и проймы 1, 0 — 1, 5 см, срезы низа 3 — 5 см.

Средние линии треугольника

      Определение. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

Рис.1

      На рисунке 1 средней линией является отрезок DE.

      Утверждение 1. Средняя линия треугольника не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник   ABC   и обозначим буквой   D   середину стороны   AB   (рис. 2). Проведем через точку   D   до пересечения с прямой   BC   прямую, прямой   AC .   Обозначим буквой   E   точку пересечения прямых   DE   и   BC .

Рис.2

      Поскольку   AD = DB ,   а прямые   AC   и   DE   параллельны, то выполнены все условия , и можно заключить, что выполнено равенство:   CE = EB .   Отсюда вытекает, что точка   E   является серединой стороны   CB ,   а отрезок   DE   является средней линией треугольника.

      Первую часть утверждения 1 мы доказали.

      Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки   DE , EF   и   FD   (рис.3).

Рис.3

      Поскольку

DE | | FC ,       DF | | EC ,

то , следовательно,   DE = FC .

      Поскольку

DE | | AF ,       AD | | FE ,

то , следовательно,   DE = AF .

      Но поскольку   AF = FC ,   то отсюда вытекает равенство

что и требуется доказать.

      Доказательство утверждения 1 закончено.

      Следствие.

• Три средних линии делят треугольник на   4   равных треугольника   ADF , DBE , ECF , DEF   (рис. 4).
• Каждый из четырёх треугольников   ADF , DBE , ECF , DEF   .

Рис.4

Происхождения слова

Первое упоминание об этой фигуре встречается еще в трудах известного древнегреческого математика Евклида.

Если кто не помнит, параллелограммом называют четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Выглядит эта фигура в классическом понимании вот так:

Интересно, что и всем известные фигуры – квадрат, прямоугольник (что это?) и ромб (это как?) – также являются частным случаем параллелограмма. Ведь действительно – у них противоположные стороны параллельны друг к другу.

И получается, что Евклид был в целом прав. Он просто поделил все четырехугольники на две большие категории – параллелограммы и трапеции.

Кстати, само слово ТРАПЕЦИЯ также имеет греческое происхождение. В древние времена оно звучало как «трапедзион». И в переводе это означает «обеденный стол». Поэтому слово «трапеза», которое у нас является синонимом любого приема пищи тоже родом оттуда.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки

Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

\

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

\

Значит, по теореме 1, получаем

\

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

\

Значит

\

Ответ: $14$ см.

Пример 3

Доказать, что средняя линия трапеции проходит через середину произвольной диагонали данной трапеции.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ADCD$ со средней линией $MN$. Рассмотрим диагональ $AC$. Обозначим точкой $K$ — точку пересечения средней линии с этой диагональю (Рис. 3).

Рисунок 3.

Докажем, что $AK=KC$.

Так как $MN$ — средняя линия трапеции, то по теореме 1 $MN||BC$. Следовательно, $AM=NB$ и $MK||BC$. Тогда, по теореме о средней линии треугольника, получим что $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Значит $AK=KC$.

ч. т. д.

Видео: Розовое болеро для девочки

https://youtube.com/watch?v=qA5aDiyGCcQ

https://youtube.com/watch?v=3JIQNmYyXNQ

Советы