Простые и составные числа

Что такое простые числа?

Простым числом называют число, которое можно разделить нацело только на себя и на ноль. Ярким примером такого числа является число 13. Его можно поделить только на 1 и на 13.

Для нахождения простых чисел пользуются таблицей простых и составных чисел. Редко требуется таблица выше 1000, поэтому ученикам желательно иметь при себе таблицу от 1 до 1000. А простые числа от 1 до 100 и вовсе стоит заучить.

Ноль не является ни простым, ни составным числом.

При разложении числа на множители в качестве множителей используют только простые числа. Разложение необходимо для нахождения НОК и НОД, которые требуются для сложения и вычитания дробей.

Примеры

Задача 1

Необходимо разложить на множители число 229.

Это задача из разряда ловушек. Такие примеры создаются для того, чтобы все четко запомнили первое правило разложения любого числа: проверить его наличие в таблице простых чисел. Как раз число 229 находится в таблице простых чисел после 200.

Кстати, существуют таблицы для 1000 и 10000 чисел, но для школьных задач 1000 вполне достаточно.

Задача 2

Разложить на простые множители число 669825

Для начала делим на 5: $669825:5=133925$

Последнее число все еще 5, а значит можно еще раз поделить на 5.

$$133925:5=26793$$

Теперь попробуем поделить на 3:

$$26793:3=8931$$

$$8931:3=2977$$

Попробуем поделить на 7:

$2977:7=425$ (ост.2) – Нацело не делится. Значит нужно пробовать все простые числа поочередно.

$2977:13=229 – а 229$, как мы уже знаем, это простое число. Запишем разложение числа 669825

$9825=3*3*5*5*13*229$$

Задача 3

Выполнить разложение чисел на множители и найти НОД, НОК для двух чисел 745 и 564.

Для начала выполним разложение, а после найдем НОК и НОД. Этот порядок действий проще, потому как первым шагом для нахождения как НОК, так и НОД служи разложение чисел на простые множители.

$745=5*149$ – 149 является простым числом.

$564=2*2*3*47$ – обратите внимание, что в обоих случаях нельзя обойтись без таблицы простых чисел. В уме не получится определить относятся 47 и 229 к простым числам или нет

НОД для этих чисел не существует. Так как у них нет общих множителей. По той же причине НОК для этих двух чисел будет равняется их произведению.

$$НОД(745;564)=745*564=420180$$

В 6 классе для закрепления темы решается много похожих задач. Но в дальнейшей программе обучения, когда навык уже будет выработан, числа станут меньше, а задачи практичнее.

Что мы узнали?

Мы дали определение простым и составным числам, поговорили о различиях. Выяснили, для чего нужно это разделение. Поговорили о разложении составных чисел на простые. Решили несколько примеров и узнали, что при разложении больших чисел не обойтись без таблицы простых чисел. А также применили полученные знания для нахождения НОД и НОК.

Значение составных чисел — пример

ПРИМЕР. Предположим, вы хотите знать, будет ли понедельник 26 апреля благоприятным днем для выполнения некоторых дел. Например, стоит ли просить повышения зарплаты.

Возьмем числа, соответствующие каждой букве вашего имени, добавим к общей их сумме составное число (или его однозначную основу), полученное сложением однозначных чисел даты 26 апреля (2 плюс 6 равно 8); добавим эту восьмерку к сумме чисел вашего имени и сумме чисел вашего рождения.

Посмотрите на значение получившегося числа, и вы поймете, является ли 26 апреля благоприятным днем или нет.

Если вы видите, что счастливого числа не получается, выберите следующий день, или еще один следующий — пока не дойдете до благоприятной даты.

Назначьте свои действия на эту дату, и вы обнаружите, что день, вычисленный таким образом, действительно является для вас благоприятным.

Предположим, ваше имя RAJIV GANDHI, а родились вы 13 мая.

ПРИМЕР: Прибавляем 2 и 1, получаем 3. К 3 вы прибавляете 8 (полученное из даты 26 апреля). Это дает нам составное число 11 (3 + 8), если свести к однозначному числу — то 2. Прибавляем это число к числу вашего рождения 13. Получаем 15.

Теперь посмотрим значение составного числа 15: для добывания денег, даров и благосклонности со стороны вышестоящих — это благоприятное число.

Таким образом, оккультное влияние на человека по имени RAJIV GANDHI, родившегося 13 мая, таково, что 26 апреля ему подходит для поиска благосклонности со стороны вышестоящих лиц, а также для осуществления планов.

Если эта дата не показывает благоприятного отношения к нужной вам деятельности, проверьте следующую, потом следующую — пока, наконец, не найдете благоприятную.

Используя другой подход к значению имени и составляющих его чисел, мы можем получить еще одно значение имени RAJIV GANDHI.

Сумма вибраций части имени RAJIV- 11, а части имени GANDHI — 19. Это означает, что сумма вибраций полного имени равна 30, и нужно найти значение этого числа, а оно таково.

Число глубоких выводов, размышлений о прошлом, духовного превосходства над окружающими, но поскольку оно принадлежит, как видно, только духовному плану, люди, которых оно представляет, должны, вероятно, видеть только определенный аспект материальных вещей не потому что должны, а потому, что они так хотят.

Поэтому это число ни счастливое, ни несчастливое — все зависит от взгляда человека, которого оно представляет. Число может нести мощь и силу, но часто равнодушно по отношению к воле и желаниям человека.

Статьи журнала starfate » Нумерология » Что такое составные числа в Нумерологии

Таблица простых чисел

Простые числа, для удобства их дальнейшего использования, записывают в таблицу, которую называют таблицей простых чисел. Ниже представлена таблица простых чисел до 1 000.

Возникает логичный вопрос: «Почему мы заполнили таблицу простых чисел только до 1 000, разве нельзя составить таблицу всех существующих простых чисел»?

Ответим сначала на первую часть этого вопроса. Для большинства задач, при решении которых придется использовать простые числа, нам будет вполне достаточно простых чисел в пределах тысячи. В остальных случаях, скорее всего, придется прибегать к каким-либо специальным приемам решения. Хотя, несомненно, мы можем составить таблицу простых чисел до сколь угодно большого конечного целого положительного числа, будь то 10 000 или 1 000 000 000, в следующем пункте мы поговорим о методах составления таблиц простых чисел, в частности, разберем способ, получивший название .

Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.

Теорема.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство.

Пусть a – натуральное число, большее единицы, и b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a. Докажем, что b – простое число методом от противного.

Предположим, что b – составное число. Тогда существует делитель числа b (обозначим его b₁), который отличен как от 1, так и от b. Если также учесть, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого (это мы знаем из свойств делимости), то должно выполняться условие 1<b₁<b.

Так как число a делится на b по условию, и мы сказали, что b делится на b₁, то понятие делимости позволяет говорить о существовании таких целых чисел q и q₁, что a=b·q и b=b₁·q₁, откуда a= b₁·(q₁·q). Из правил умножения целых чисел следует, что произведение двух целых чисел есть целое число, тогда равенство a=b₁·(q₁·q) указывает на то, что b₁ является делителем числа a. Учитывая полученные выше неравенства 1<b₁<b, мы получаем противоречие условию, что b – наименьший положительный и отличный от единицы делитель числа a.

Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.

Теорема.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство.

Предположим, что это не так. То есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p₁, p₂, …, p_n. Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.

Рассмотрим число, p равное p₁·p₂·…·p_n+1. Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p₁, p₂, …, p_n. Если число p — простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его p_n+1). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p₁, p₂, …, p_n.

Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p₁·p₂·…·p_n делилось бы на p_n+1. Но на p_n+1 делится и число p, равное сумме p₁·p₂·…·p_n+1. Отсюда следует, что на p_n+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Итак, в силу того, что простых чисел бесконечно много, при составлении таблиц простых чисел всегда ограничивают себя сверху каким-либо числом, обычно, 100, 1 000, 10 000 и т.д.

Разложение составных чисел на простые множители

Разложение небольших чисел на простые множители, как правило, не составляет труда. А вот с числами крупными все обстоит уже не так очевидно.

Для того, чтобы разложить большое число на простые множители, пользуются таблицей простых чисел (см. выше) и признаками делимости.

Порядок разложения натурального числа на простые множители следующий:

1. по признакам делимости находится первый из простых чисел делитель: 2, 3, 5, 7, 11;
2. исходное число делится на первый найденный «простой» делитель, дальше продолжают работать с получившимся остатком (см. п.1).

Примеры разложения натуральных чисел на простые делители

В качестве примера разложим на простые делители число 777:

• первым делом смотрим в таблицу простых чисел (см. выше) и видим, что число 777 не является простым;
• начинаем поиск наименьшего простого делителя;
• первым простым делителем числа 777 будет число 3 — это сразу понятно, т.к. 2 не подходит, т.к. 777 число нечетное, а 3 подходит, и тут даже не надо складывать цифры числа, поскольку в числе 777 присутствует 3 одинаковых цифры: 777:3=259;
• снова проверяем по таблице, является ли число 259 простым числом — нет, не является, значит, продолжаем его разложение на простые множители;
• первым простым делителем числа 259 будет число 7: 259:7=37;
• смотрим снова в таблицу простых чисел, и видим, что число 37 является простым числом, значит разложение закончено;
• Результат: 777=2·7·37.

Возьмем число побольше, например, 27359850:

• сразу раскроем небольшой «секрет» — если число кратно 10, то сразу имеются два простых множителя, произведение которых дает 10 — это 2 и 5: 2·5=10;
• поэтому, «со старта» уже имеем два простых множителя 2 и 5, а исходное число уменьшается на 10;
• работаем дальше с числом 2735985 — это нечетное число, поэтому, 2 отбрасывается;
• сумма цифр в числе 2735985 кратна 3, значит, следующим простым множителем будет 3: 2735985:3=911995;
• число 91195 не кратно ни 2, ни 3, но кратно 5: 91195:5=18239;
• следующим наименьшим простым делителем будет число 13: 18239:13=1403;
• следующим наименьшим простым делителем будет число 23: 1403:23=61;
• 61 является простым числом — разложение закончено;
• Результат: 27359850=2·3·5·5·13·23·61.

Что такое простые числа

Начинать разбираться с вопросом нужно с определения простых чисел. Итак, простым числом называют любое число, которое делиться само на себя и на 1. Наиболее ярким примером, который просто запомнить ученикам, является число 13.

По числу 13 сразу видно, что разделить его можно либо на 13 и получить 1, либо на 1 и получить 13.

Следует понимать, что речь идет именно о делении числа нацело. С остатком: целым или дробным – можно делить практически любые числа.

Для того, чтобы не гадать каждый раз: какое именно число перед вами, можно и нужно пользоваться таблицами простых чисел. В средней школе достаточно таблицы со значениями простых чисел до 100.

Разложение сложных чисел

Запишем алгоритм разложения сложных чисел на простые множители:

• Нужно проверить, действительно ли число составное. Для этого число сверяют с таблицей простых чисел.
• После этого число делят на простой множитель. Начинать нужно всегда с меньших множителей. Деление всегда должно выполняться нацело.
• Результат деления снова делится на простое число и так продолжается, пока результат не станет простым числом.
• Простое число делят на себя и получают единицу.
• Через знак равенство записывается разложение числа на простые множители. Простыми множителями будут все использованные нами делители.

Приведем простой пример разложения числа на простые множители.

1638:2=819

819:3=273

273:3=91

91:7=13

13:13=1

1638=2*3*3*7*13

Примерно так выглядит разложение сложного числа на простые множители.

Что мы узнали?

Мы поговорили о понятии простых и составных чисел. Выяснили, что такое взаимно простые числа. Сказали, где можно найти все значения простых чисел и для чего вообще нужно разложение на простые множители в математике.

Что такое составные числа

Нетрудно догадаться, что составных чисел в разы больше, чем простых. Составным числом является число, которое не является простым. Вот и все определение, в этом нет ничего сложного.

Разберемся с тем, почему эта группа чисел называется составными. Разберемся на примере, возьмем уже знакомое нам число 13 и умножим его на другое простое число: 2.

13*2=26 – в результате получилось составное число, которое можно разделить на 1,2,13,26. Это число состоит из двух множителей: 2 и 13. Значит, составными числами называют числа, которые состоят из нескольких простых множителей. Иначе говоря, в состав числа входят 2 и более простых множителя.

По аналогии с простыми числами, составные числа называют сложные. Разделение чисел на простые и сложные запомнить куда проще, чем деление на простые и составные.

Что такое составные числа?

В нумерологии, кроме основных чисел от 1 до 9, выделяются и составные числа, например 10, и управляющие числа 11 и 22, которые обладают своей собственной характеристикой.

То есть в роли составных чисел они не являются простым дополнением натурального числа. Они обладают своим собственным значением.

Все числа равны между собой. Каждое число сочетается с любым другим. Все числа по-своему ведут к таким качествам, как сострадание, любовь, хладнокровие, сплоченность, одобрение.

Каждое число кардинально отличается от всех остальных и в то же время находится в гармонии с каждым из них.

Способность хорошо сочетаться с другими числами, сохраняя свою индивидуальность, называется настройкой возможности завершенности

Следует осознать, что простые числа означают то, чем вы являетесь в глазах окружающих, в то время как составные показывают скрытые влияния, которые играют роль по ту сторону сцены и некоторым загадочным способом предсказывают будущее.

Когда мы проходим базовые числа от 1 до 9, начинается то, что называется символикой чисел, это продолжается до тех пор, пока не взято 5 раз по 9, то есть 45.

В этой точке входит в действие мистическое число 7 и, добавленное к 45, дает 52, что означает 52 недели в году. 52 7 даст 364, то есть число дней обычного года.

Древние люди, создавая летоисчисление, использовали 365-й день каждого года как праздник, в это время не разрешалось делать никакую работу.

Число 365 основано на прохождении Солнца через 12 созвездий Зодиака.

Все числа от 10 становятся составными и имеют смысл, отличный от базовых чисел. Мы не знаем, как и в каком веке эти составные числа были открыты.

Мы можем только сказать, что они появились, чтобы существовать всегда.

Значения, приписываемые числам от 1 до 9, принадлежат физической или материальной стороне вещей, а составные числа от 10 и выше относятся к более скрытой, духовной стороне жизни.

Отчетливое символическое значение приписывается составным числам до мистического числа 52.

Универсальная символика составных чисел в древние времена давалась в картинках и по сей день ее можно увидеть в картах Таро, которые пришли к нам из древних времен.

Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Пример.

Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Решение.

Сумма цифр данного числа равна 9·8+9·9=9·17. Так как число, равное 9·17 делится на 9, то по признаку делимости на 9 можно утверждать, что исходное число также делится на 9. Следовательно, оно составное.

Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.

Самый логичный подход состоит в переборе всех возможных делителей данного числа. Если ни один из возможных делителей не будет истинным делителем данного числа, то это число будет простым, в противном случае – составным. Из теорем, доказанных в предыдущем пункте, следует, что делители данного числа a нужно искать среди простых чисел, не превосходящих . Таким образом, данное число a можно последовательно делить на простые числа (которые удобно брать из таблицы простых чисел), пытаясь найти делитель числа a. Если будет найден делитель, то число a – составное. Если же среди простых чисел, не превосходящих , не окажется делителя числа a, то число a – простое.

Пример.

Число 11 723 простое или составное?

Решение.

Выясним, до какого простого числа могут быть делители числа 11 723. Для этого оценим .

Достаточно очевидно, что , так как 2002=40 000, а 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью сравнение чисел). Таким образом, возможные простые делители числа 11 723 меньше числа 200. Это уже значительно облегчает нашу задачу. Если бы мы этого не знали, то нам бы пришлось перебирать все простые числа не до 200, а вплоть до числа 11 723.

При желании можно оценить более точно. Так как 1082=11 664, а 1092=11 881, то 1082<11 723<1092, следовательно, . Таким образом, любое из простых чисел, меньших 109, потенциально является простым делителем данного числа 11 723.

Теперь мы будем последовательно делить число 11 723 на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Если число 11 723 разделится нацело на одно из записанных простых чисел, то оно будет составным. Если же оно не делится ни на одно из записанных простых чисел, то исходное число простое.

Не будем описывать весь этот монотонный и однообразный процесс деления. Сразу скажем, что 11 723 не делится нацело на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, а на 19 – делится. Вот тому подтверждение в виде деления столбиком:

Следовательно, число 11 723 – составное, так как кроме 1 и самого себя имеет делитель 19.

Ответ:

число 11 723 – составное.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?