Интересный факт
Связь математики с музыкой«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»Г. НейгаузКазалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.Консонанс определяет приятное для слуха звучание струныВ основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .w = a : l ,где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.
Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)
Теорема о смежных углах
Теорема: сумма смежных углов равна 180°Доказательство:Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.
Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.
Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
Определение 1.1. Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:
Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.
Определение 3. Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.
Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.
Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.пересекающиеся прямые.
Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.
Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.На рисунке 1:смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1вертикальные: 1 и 3; 2 и 4Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.
рис. 4
Геометрия вокруг нас
Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры
Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились.
Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов.
Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.
Задание 1.
1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?
Задание 2.
Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.
Задание 3.
Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.
Как найти смежные углы
Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов
- Дана величина основного угла;
- Дано соотношение основного и смежного угла;
- Дана величина вертикального угла.
Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.
Дана величина основного угла
Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла – сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.
Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.
Дано соотношение основного и смежного угла
В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:
- Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
- Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
- Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
- Общая формула будет выглядеть так – a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
- Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
- Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.
Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.
Дана величина вертикального угла
Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.
Вертикальный угол – это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.
Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.
Также вы можете прочесть наши полезные статьи Что такое угол и Какие есть углы.
