Описательные статистики

Размах вариации

Размах вариации – разница между максимальным и минимальным значением:

Ниже приведена графическая интерпретация размаха вариации.

Видно максимальное и минимальное значение, а также расстояние между ними, которое и соответствует размаху вариации.

С одной стороны, показатель размаха может быть вполне информативным и полезным. К примеру, максимальная и минимальная стоимость квартиры в городе N, максимальная и минимальная зарплата по профессии в регионе и проч. С другой стороны, размах может быть очень широким и не иметь практического смысла, т.к. зависит лишь от двух наблюдений. Таким образом, размах вариации очень неустойчивая величина.

Среднее линейное отклонение

Есть показатели вариации, которые учитывают сразу все значения, а не только отдельные наблюдения (типа максимума или минимума). Одним из таких является среднее линейное отклонение. Этот показатель характеризует меру разброса значений вокруг их среднего. В чем суть? Для того, чтобы показать меру разброса данных, нужно вначале определиться, относительно чего этот самый разброс будет считаться. Обычно это среднее арифметическое. Далее нужно посчитать, насколько каждое значение отклоняется от средней. Нас интересует среднее из таких отклонений. Однако напрямую складывать положительные и отрицательные отклонения нельзя, т.к. они взаимоуничтожатся и их сумма будет равна нулю. Поэтому все отклонения берутся по модулю. Средне линейное отклонение рассчитывается по формуле:

где

a – среднее линейное отклонение,

X – анализируемый показатель,

X̅ – среднее значение показателя,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

Рассчитанное по этой формуле значение показывает среднее абсолютное отклонение от средней арифметической. Наглядная картинка в помощь.

Отклонения каждого наблюдения от среднего указаны маленькими стрелочками. Именно они берутся по модулю и суммируются. Потом все делится на количество значений.

Для полноты картины нужно привести еще и пример. Допустим, имеется фирма по производству черенков для лопат. Каждый черенок должен быть 1,5 метра длиной, но, что еще важней, все должны быть одинаковыми или, по крайней мере, плюс-минус 5 см. Однако нерадивые работники то 1,2 м отпилят, то 1,8 м. Дачники недовольны. Решил директор провести статистический анализ длины черенков. Отобрал 10 штук и замерил их длину, нашел среднюю и рассчитал среднее линейное отклонение. Средняя получилась как раз, что надо – 1,5 м. А вот среднее линейное отклонение вышло 0,16 м. Вот и получается, что каждый черенок длиннее или короче, чем нужно, в среднем на 16 см. Есть, о чем поговорить с работниками.

На этом сегодняшнюю заметку закончим. В следующей статье будут рассмотрены такие показатели вариации, как дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Среднее геометрическое

При несимметричном распределении данных сред­нее арифметическое не будет обобщающим показа­телем распределения.

Если данные скошены вправо, то можно создать более симметричное распределе­ние, если взять логарифм (по основанию 10 или по основанию е) каждого значения переменной в наборе данных. Среднее арифметическое значений этих логарифмов — характеристика распределения для преобразованных данных.

Чтобы получить ме­ру с теми же единицами измерения, что и первона­чальные наблюдения, нужно осуществить обратное преобразование — потенцирование (т. е. взять анти­логарифм) средней логарифмированных данных; мы называем такую величину среднее геометрическое.

Если распределение данных логарифма приблизитель­но симметричное, то среднее геометрическое подобно медиане и меньше, чем среднее необработанных дан­ных.

Размах, полученный из процентилей

Что такое процентили

Предположим, что мы расположим наши данные упорядоченно от самой маленькой величины перемен­ной X и до самой большой величины. Величина X, до которой расположен 1% наблюдений (и выше которой расположены 99% наблюдений), называется первым процентилем.

Величина X, до которой находится 2% наблюдений, называется 2-м процентилем, и т. д.

Величины X, которые делят упорядоченный набор значений на 10 равных групп, т. е. 10-й, 20-й, 30-й,…, 90 и процентили, называются децилями. Величины X, которые делят упорядоченный набор значений на 4 равные группы, т.е. 25-й, 50-й и 75-й процентили, называются квартилями. 50-й процентиль — это ме­диана.

Применение процентилей

Мы можем добиться такой формы описания рас­сеяния, на которую не повлияет выброс (аномальное значение), исключая экстремальные величины и определяя размах остающихся наблюдений.

Межквартильный размах — это разница между 1-м и 3-м квартилями, т.е. между 25-м и 75-м процентилями. В него входят центральные 50% наблюдений в упорядоченном наборе, где 25% наблюдений находятся ниже центральной точки и 25% — выше.

Интердецильный размах содержит в себе центральные 80% наблюдений, т. е. те наблю­дения, которые располагаются между 10-м и 90-м процентилями.

Мы часто используем размах, который содержит 95% наблюдений, т.е. он исключает 2,5% наблюдений снизу и 2,5% сверху. Указание такого интервала актуально, например, для осуществления диагностики болезни. Такой интервал называется референтный интервал, референтный размах или нормальный размах.

Вариация в пределах субъектов и между субъектами

Если провести повторные измерения непрерывной переменной у исследуемого объекта, то можно увидеть ее изме­нения (внутрисубъектные изменения). Это можно объяснить тем, что объект не всегда может дать точные и те же самые ответы, и/или ошибкой, погрешностью измерения. Однако при измерениях у одного объекта вариация обычно меньше, чем вариация единичного измерения в группе (межсубъектные изменения).

Например, вместимость легкого 17-летнего мальчика составляет от 3,60 до 3,87 л, когда измерения повторяются не менее 10 раз; если провести однократное измерение у 10 мальчиков того же возраста, то объем будет между 2,98 и 4,33 л. Эти концепции важны в плане исследования.

Связанные определения:Выборочное среднее, среднее значение выборкиВыбросДисперсия (рассеяние, разброс)Дисперсия выборки (выборочная дисперсия)Коэффициент вариацииМаксимумМатематическое ожидание дискретной случайной величиныМатематическое ожидание непрерывной случайной величиныМедианаМеры дисперсии, меры разбросаМинимумМодаОписательные статистикиОписательный анализПараметры рассеянияПараметры центральной тенденцииСреднее значениеСреднеквадратичное отклонение популяцииСтандартная ошибка среднегоСтандартное отклонение

Меры расположения

Процентили

Процентили делят упорядоченные данные на сто равных частей. В рассортированных данных процентиль — это точка, показывающая процентное отношение значений в наборе данных, находящихся ниже данной точки.

50-й процентиль — это медиана.

Например, на графике ниже показано развитие ребенка от рождения до 2 лет. Получается, что 98% развития ребенка за первый год жизни составляет в весе меньше 11,5 кг.

Другим примером является распределение доходов в стране. 99-й процентиль — это уровень дохода, при котором 99% населения зарабатывают меньше этого значения и 1% — больше. Так в Великобритании, как показано на графике ниже, 99-й процентиль составляет 75.000 фунтов стерлингов.

Распределение доходов в Великобритании

Квартили

Квартили — это процентили, которые делят набор данных на четверти. Первый квартиль, Q1, равен 25-ому процентилю, третий квартиль, Q3, равен 75-ому процентилю. Медиана может быть обозначена либо вторым квартилем, Q2, либо 50-ым процентилем.

Интерквартильный размах (IQR)

IQR — число, которое показывает разброс средней половины (т.е. средние 50%) набора данных и помогает определить выбросы. IQR — это разница между Q3 и Q1.

IQR

Выбросы — это, проще говоря, те значения данных, которые находятся за пределами следующих интервалов: Q1–1.5 x IQR и Q3 + 1.5 x IQR.

Диаграмма «ящик с усами»

Диаграмма «ящик с усами» показывает:

• насколько данные сконцентрированы;
• на каком расстоянии от большинства данных находятся точки экстремума.

Элементы диаграммы «ящик с усами»

Ящик с усами имеет горизонтальную и вертикальную оси и прямоугольный ящик.

Минимальное и максимальное значения находятся на концах осей (в данном случае, это значения -15 и 5). Точка Q1 находится на одном конце ящика, Q3 — на другом.

«Усы» (выделенные фиолетовым цветом) начинаются с концов ящика и заканчиваются на самом минимальном или максимальном значениях данных. Также бывают ящики с усами, у которых есть отмеченные значения выбросов (выделены красным цветом). В таких случаях, усы не достигают минимального и максимального значений.

Ящики с усами на графике нормального распределения Ящики с усами на нормальных распределениях имеют некоторые особенности: Несмотря на то, что первый и третий квартили (Q1 и Q3) имеют такие названия, они, на самом деле, не составляют 25% от числа данных! Они показывают 34,135%. Также второй квартиль (Q2) составляет не 50%, а 68,27%.

Сравнение диаграммы «ящик с усами» почти нормального распределения (вверху) и PDF для нормального распределения (внизу). 

Среднее арифметическое

Вероятно, большинство из вас использовало такую важную описательную статистику, как среднее.

Среднее — очень информативная мера «центрального положения» наблюдаемой переменной, особенно если сообщается ее доверительный интервал. Исследователю нужны такие статистики, которые позволяют сделать вывод относительно популяции в целом. Одной из таких статистик является среднее.

Доверительный интервал для среднего представляет интервал значений вокруг оценки, где с данным уровнем доверия, находится «истинное» (неизвестное) среднее популяции.

Например, если среднее выборки равно 23, а нижняя и верхняя границы доверительного интервала с уровнем p=.95 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с вероятностью 95% интервал с границами 19 и 27 накрывает среднее популяции.

Если вы установите больший уровень доверия, то интервал станет шире, поэтому возрастает вероятность, с которой он «накрывает» неизвестное среднее популяции, и наоборот.

Хорошо известно, например, что чем «неопределенней» прогноз погоды (т.е. шире доверительный интервал), тем вероятнее он будет верным. Заметим, что ширина доверительного интервала зависит от объема или размера выборки, а также от разброса (изменчивости) данных. Увеличение размера выборки делает оценку среднего более надежной. Увеличение разброса наблюдаемых значений уменьшает надежность оценки.

Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться плохой, особенно для малых выборок.

При увеличении объема выборки, скажем, до 100 или более, качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

Довольно трудно «ощутить» числовые измерения, пока данные не будут содержательно обобщены. Диаграмма часто полезна в качестве отправной точки. Мы можем также сжать информацию, используя важные характеристики данных. В частности, если бы мы знали, из чего состоит представленная величина, или если бы мы знали, насколько широко рассеяны наблюдения, то мы бы смогли сформировать образ этих данных.

Среднее арифметическое, которое очень часто называют просто «среднее», получают путем сложения всех значений и деления этой суммы на число значений в наборе.

Это можно показать с помощью алгебраической формулы. Набор n наблюдений переменной X можно изобразить как X₁, X₂, X₃, …, X_n. Например, за X можно обозначить рост индивидуума (см), X₁ обозначит рост 1-го индивидуума, а X_i — рост i-го индивидуума. Формула для определения среднего арифметического наблюдений (произносится «икс с чертой»):

= (Х₁ + Х₂ + … + X_n) / n

Можно сократить это выражение:

где (греческая буква «сигма») означает «суммирование», а индексы внизу и вверху этой буквы означают, что суммирование производится от i = 1 до i = n. Это выражение часто сокращают еще больше:

или

Объекты

Наиболее известными объектами сноса являются стадион имени Кирова на Крестовском острове для строительства стадиона «Зенита» (2006), Петрозавод на Малоохтинском проспекте для строительства «Охта центра» (2007), в Дегтярном переулке для строительства административно-делового комплекса «Невская ратуша» (2008), дом Рогова на Загородном проспекта (первая неудачная попытка), завод «Электросила» на Московском проспекте для строительства жилого комплекса (2012).

В 2010 году были снесены дворовые корпуса дома Проппера на Галерной улице, 40. КГИОП тогда обвинил «Ассоциацию по сносу зданий» в «уничтожении памятника архитектуры», было возбуждено уголовное дело. Губернатор В. И. Матвиенко заявила: «Так себя вести в Петербурге нельзя». Однако впоследствии уголовное дело было закрыто, а на месте снесенных корпусов построен жилой дом.

В ноябре 2015 ФГИК «Размах» провела подготовку территории под строительство инфраструктуры для резидентов индустриального парка «Станкомаш»

В 2016 году на долю ФГИК «Размах» пришлась реализация 30% крупных проектов сноса и демонтажа по РФ, что на 14% больше, чем по итогам 2015 года.

За 2016 год компания завершила 91 проект редевелопмента промышленных площадок. 26 проектов, находящихся в работе, будут завершены уже в 2017 году.  На данный момент 45% проектов в портфеле заказов «Размаха» приходится на Уральский, Сибирский и Дальневосточный федеральные округа, 22% на Центральный, 16% на Северо-Западный и 17% на Южный. 

Летом 2017 года «Размах», в рамках приоритетного федерального проекта «Чистая страна», мероприятия, направленного на ликвидацию накопленного вреда окружающей среде, приступил к работе на территории недействующего предприятия ЗАО «Еврогласс». Работы выполняются по заказу департамента Смоленской области по природным ресурсам и экологии.

Медиана

Если упорядочить данные по величине, начиная с самой маленькой величины и заканчивая самой большой, то медиана также будет характеристикой усреднения в упорядоченном наборе данных.

Медиана делит ряд упорядоченных значений пополам с равным числом этих значений как выше, так и ниже ее (левее и правее медианы на числовой оси).

Вычислить медиану легко, если число наблюдений n нечетное. Это будет наблюдение номер (n + 1)/2 в нашем упорядоченном наборе данных.

Например, если n = 11, то медиана — это (11 + 1)/2, т. е. 6-е наблюдение в упорядоченном наборе данных.

Если n четное, то, строго говоря, медианы нет. Однако обычно мы вычисляем ее как среднее арифметическое двух соседних средних наблюдений в упорядоченном наборе данных (т. е. наблюдений номер (n/2) и (n/2 + 1)).

Так, например, если n = 20, то медиана — это среднее арифметическое наблюдений номер 20/2 = 10 и (20/2 + 1) = 11 в упорядоченном наборе данных.

Перевод слова размах

• scope — масштаб, диапазон, амплитуда
  • широкий размах — wide scope
  • небывалый размах — unprecedented scale
• swing — качание, стреловидность
• span

  размах крыльев — wing span

   — пролет

• dimension

  международный размах — international dimension

   — габарит

• spread — спред

• breadth — широта
• grand scale — грандиозный масштаб
• area — область

• Spannweite

  огромный размах крыльев — die enorme Spannweite

   — ширина пролета

• Schwung

• Ausmaß

  размах работы — Ausmaß der Arbeit

   — масштаб

• Umfang — объем

• Flügelweite
• Elan
• Schwingungsweite — амплитуда
• Amplitude — амплитуда
• Wucht
• Ausschlag — амплитуда
• Schwingung
• Kraft
• Hub — ход поршня

• envergure

  грандиозный размах — envergure grandiose

   — масштаб

• étendue — охват

• amplitude — амплитуда, размах колебаний
• élan — толчок, расцвет

Моменты случайной величины

Моменты случайно величины описывают различные аспекты характера и формы нашего распределения.

#1 — первый момент случайной величины — среднее значение данных, которое показывает место распределения.

#2 — второй момент случайной величины — дисперсия, которая показывает разброс распределения. Большие значения имеют больший размах, чем маленькие.

#3 — третий момент случайной величины — коэффициент асимметрии — мера того, насколько неравномерным является распределение. Коэффициент асимметрии положителен, если распределение наклонено влево и левый хвост короче правого. То есть среднее значение находится правее. И наоборот:

Асимметрия

#4 — четвертый момент случайной величины — коэффициент эксцесса, который описывает то, насколько толстый хвост и насколько острый пик распределения. Этот коэффициент показывает, насколько вероятно найти точки экстремума в данных. Чем выше значение, тем вероятнее выбросы. Это похоже на разброс (дисперсию), но между ними есть отличия.

Коэффициент эксцесса трех кривых

Как видно на графике, чем выше значение пики, тем выше коэффициент эксцесса, т.е. у верхней кривой коэффициент эксцесса выше, чем у нижней.

Перевод статьи Semi KoenStatistics is the Grammar of Data Science — Part 3/5

Связь с другими словами

Слова заканчивающиеся на -размах:

• квазиразмах
• полуразмах

Каким бывает размах (прилагательные)?

Подбор прилагательных к слову на основе русского языка.

широкимбольшимбольшимполнымневиданнымогромнымграндиознымрусскимнебывалымгигантскимэпическимреволюционнымнужнымистиннымособымнастоящимневероятнымкощунственнымзначительнымдругимновымподлинныминымколоссальнымфантастическимподобнымсмелымугрожающимамериканскимнаибольшимглобальныммассовымвселенскимособеннымнешуточныммогучимкосмическимнеобходимымкоролевскимпространственнымнеобъятнымполитическимкороткиммощнымизлишнимвиднымгосударственнымнеистовымнемалымбогатырскимсредниммеждународнымстоличнымвеликимсерьезнымкупеческимюнымсильнымбеспрецедентныммернымменьшимчертовымудалымгромадным

Что может размах? Что можно сделать с размахом (глаголы)?

Подбор глаголов к слову на основе русского языка.

ударитьопуститьврезатьсяшвырнутьударитьсяврезатьсестьналететьхлопнутьвсадитьброситьплюхнутьсястукнутьпнутьупастьвонзитьопуститьсявлепитьшлепнутьобрушитьшлепнутьсярубанутьброситьсяусестьсядвинутьсаданутьтреснутьткнутьзаехатьвоткнутьрухнутьгрохнутьсязалепитьвпечататьвлететьзапуститьвогнатьгрохнутьхлестнутьобрушитьсяпоставитьвъехатьткнутьсяогретьпрыгнутьстукнутьсяполоснутькинутьвпечататьсяшарахнутьприпечататьзахлопнутьнаступитьдатьзашвырнутьприземлитьсяшмякнутьугодитьприложитьхватитьметнутьтолкнутьотвеситьполететь

Ассоциации к слову размах

поллицоплечоземлястенакреслоокноголовабулыжникводадиванкроватькаменьспинаделосотняглазухостулстолледатакасиланоябрьгольфгубакровьроджерзадгрудьлобгерманиячелюстьберегсердцеуголкончиккаронададеревосравнениестаканмольерносшеящекаскуладлинабассейнперегородкастроениеподбородокходкушеткареброногаприменениетеменьклинокдаугаваостриеваннатраваударколено

Авиация

Общая лексика

Математика

Техника

Морской термин