Математика

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

k2 + 2 * k * e + e2 = (k + e)2.
k2 — 2 * k * e + e2 = (k — e)2.

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.

https://youtube.com/watch?v=LZHIxNitECI

401 — 600

401 − 420 401 401 402 2·3·67 403 13·31 404 22·101 405 34·5 406 2·7·29 407 11·37 408 23·3·17 409 409 410 2·5·41 411 3·137 412 22·103 413 7·59 414 2·32·23 415 5·83 416 25·13 417 3·139 418 2·11·19 419 419 420 22·3·5·7 421 − 440 421 421 422 2·211 423 32·47 424 23·53 425 52·17 426 2·3·71 427 7·61 428 22·107 429 3·11·13 430 2·5·43 431 431 432 24·33 433 433 434 2·7·31 435 3·5·29 436 22·109 437 19·23 438 2·3·73 439 439 440 23·5·11 441 − 460 441 32·72 442 2·13·17 443 443 444 22·3·37 445 5·89 446 2·223 447 3·149 448 26·7 449 449 450 2·32·52 451 11·41 452 22·113 453 3·151 454 2·227 455 5·7·13 456 23·3·19 457 457 458 2·229 459 33·17 460 22·5·23 461 − 480 461 461 462 2·3·7·11 463 463 464 24·29 465 3·5·31 466 2·233 467 467 468 22·32·13 469 7·67 470 2·5·47 471 3·157 472 23·59 473 11·43 474 2·3·79 475 52·19 476 22·7·17 477 32·53 478 2·239 479 479 480 25·3·5 481 − 500 481 13·37 482 2·241 483 3·7·23 484 22·112 485 5·97 486 2·35 487 487 488 23·61 489 3·163 490 2·5·72 491 491 492 22·3·41 493 17·29 494 2·13·19 495 32·5·11 496 24·31 497 7·71 498 2·3·83 499 499 500 22·53

501 − 520 3·167 502 2·251 503 503 504 23·32·7 505 5·101 506 2·11·23 507 3·132 508 22·127 509 509 510 2·3·5·17 511 7·73 512 29 513 33·19 514 2·257 515 5·103 516 22·3·43 517 11·47 518 2·7·37 519 3·173 520 23·5·13 521 − 540 521 521 522 2·32·29 523 523 524 22·131 525 3·52·7 526 2·263 527 17·31 528 24·3·11 529 232 530 2·5·53 531 32·59 532 22·7·19 533 13·41 534 2·3·89 535 5·107 536 23·67 537 3·179 538 2·269 539 72·11 540 22·33·5 541 − 560 541 541 542 2·271 543 3·181 544 25·17 545 5·109 546 2·3·7·13 547 547 548 22·137 549 32·61 550 2·52·11 551 19·29 552 23·3·23 553 7·79 554 2·277 555 3·5·37 556 22·139 557 557 558 2·32·31 559 13·43 560 24·5·7 561 − 580 561 3·11·17 562 2·281 563 563 564 22·3·47 565 5·113 566 2·283 567 34·7 568 23·71 569 569 570 2·3·5·19 571 571 572 22·11·13 573 3·191 574 2·7·41 575 52·23 576 26·32 577 577 578 2·172 579 3·193 580 22·5·29 581 − 600 581 7·83 582 2·3·97 583 11·53 584 23·73 585 32·5·13 586 2·293 587 587 588 22·3·72 589 19·31 590 2·5·59 591 3·197 592 24·37 593 593 594 2·33·11 595 5·7·17 596 22·149 597 3·199 598 2·13·23 599 599 600 23·3·52

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

• Признак делимости числа на «2»
  Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
• Признак делимости числа на «3»
  Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
• Признак делимости числа на «4»
  Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
• Признак делимости числа на «5»
  Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
• Признак делимости числа на «6»
  Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
• Признак делимости числа на «8»
  Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
• Признак делимости числа на «9»
  Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
• Признак делимости числа на «10»
  Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
• Признак делимости числа на «11»
  Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
• Признак делимости числа на «25»
  Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

Разность двух членов, стоящих во второй степени, прямо пропорциональна произведению разности этих членов на их сумму. Например, 16 2 — 3 2 = (16 — 3) * (16 + 3) = 247 или 9 * h 2 — 4 * e 2 * h 2 = (3 * h — 2 * e * h) * (3 * h — 2 * e * h).
Квадрат суммы двух членов можно разложить на квадрат первого элемента и удвоенное произведение его на второй элемент, прибавив квадрат второго члена. Используя это правило, можно быстро находить квадрат числа без использования калькулятора. Например, 114 2 = (100 +14) = 100 2 + 2 * 100 * 14 + 14 2 = 10000 + 2800 + 196 = 12966.
Квадрат разности двух членов равняется квадрату первого члена с вычетом из него двойного произведения первого на второй с добавлением квадрата второго члена. В этом правиле используют обыкновенное раскрытие скобок. Например, (6 — 3) 2 = 6 2 — 2 * 6 * 3 + 3 2 = (3 — 6) 2 = 9 .
Кубическая сумма двух выражений определяется кубом первого члена с прибавлением к нему утроенного произведения исходного числа в степени два на второй член, плюс увеличенное в три раза произведение исходного числа на квадрат второго с прибавлением этого элемента в третьей степени. Например, (2h+7e) 3 = (2 * h) 3 + 3 * 2 * h 2 * 7* e + 3 * 2h * (7 * e) 2 + (7 * e) 3.
Куб разности находится вычитанием из исходного числа утроенного произведения первого члена, возведённого во вторую степень, с прибавлением утроенного произведения исходного члена на второй в степени два минус его куб. Например, (4 * h − 2 * e) 3 = (4 * h) 3 − 3 * (4 * h) 2 * 2 * e + 3 * 4 * h * (2 * e) 2 − (2 * e) 3 .
Сумма кубов находится как произведение суммы членов на неполный квадрат разности: (5 * h) 3 + 8 3 = (5 * h + 8) * ((5 * h) 2 − 5 * h * 8 + 8 2). Неполным квадратом называют выражение: (h 2 — h * e + e 2).
Разность кубов равна выражению, полученному перемножением разности двух чисел на неполный квадрат суммы: h3− e3 = (h − e) * ((h 2 +h) * (e + e 2)).

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.

Предыдущая
АлгебраОбласть значения функции как определить и найти, примеры решения нахождения области значений тригонометрических функций по графику
Следующая
АлгебраОпределитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

6 = 2 × 3.

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение  на простые множители?

Давайте разбираться.

Что значит «Разложить на простые множители?».

Запомни определение:

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие,  простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

32 | 2

16 | 2

 8  | 2

 4  | 2

 2  | 2

 1

Например:

Разложим на множителичисло 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

1. Вначале, определяем, не является ли делимое простым. Для этого смотрим, сколько делителей можно подобрать:

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали  шесть делителей, значит,  делимое, является составным числом.

1. Далее, займемся подбором делителей.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

Начнем с наименьшего простого числа 2

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

20 : 2 = 10.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2.Так как запись 10, оканчивается 0,  по признаку делимости,  число делится на 2 без остатка:

10 : 2 = 5.

В результате мы получили простое число, которое  можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

5 : 5 = 1.

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте  запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

20

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

20 | 2

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

20 | 2

10

После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.

20 | 2

10 | 2

 5  |  5

 1

 Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

можно записать 2×2 =22 .

Тогда, 20 = 22 × 5.

Ничего сложного. Главное  – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Разложим число 156.

Чтобы выполнить данное задание  используем правило разложения числа на простые множители.

1) Сначала, выясним, не является ли это число простым. Давайте посмотрим на последнюю цифру в записи – 6. Последняя цифра   четная(то есть, делится на два), согласно признаку деления на два,  если последняя цифра делится на два, то и все число делится на два. Сразу вспоминаем, что любое число всегда можно разделить на 1 и на само себя. Поэтому рассматриваемое число уже имеет больше двух делителей: 1,2,156 и называется составным.

2) Теперь начинаем подбирать делители. Мы уже выяснили, что первым делителем будет два.

156 | 2

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

156 | 2

 78

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

156 | 2

 78 | 2

 39

Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее  – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

             3 + 9 = 12.

             12 : 3 = 4.

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

         Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

156 | 2

 78 | 2

 39 | 3

 13 

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

156 | 2

 78 | 2

 39 | 3

 13 | 13

  1

156 = 2×2×3×13.

Произведение 2×2 заменим выражением 22.

156 = 22 × 3 × 13.

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

• для численного выражения — найти число, на которое можно будет разделить без остатка любой коэффициент одночлена;
• для выражения с неизвестным — определить неопределённое число, повторяющееся в каждом одночлене, и вынести его за скобку в наименьшей степени;
• рассчитать многочлен, стоящий в скобках.

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78 на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p₁ числа a=78. Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78, получаем 78:2=39. Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p₁=2 – первый найденный простой делитель числа 78. В этом случае a₁=a:p₁=78:2=39. Так мы приходим к равенству a=p₁·a₁ имеющему вид 78=2·39. Очевидно, что a₁=39 отлично от 1, поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p₂ числа a₁=39. Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p₁=2. Делим 39 на 2, получаем 39:2=19 (ост. 1). Так как 39 не делится нацело на 2, то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3) и делим на него 39, получаем 39:3=13. Следовательно, p₂=3 – наименьший простой делитель числа 39, при этом a₂=a₁:p₂=39:3=13. Имеем равенство a=p₁·p₂·a₂ в виде 78=2·3·13. Так как a₂=13 отлично от 1, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a₂=13. В поисках наименьшего простого делителя p₃ числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p₂=3. Число 13 не делится на 3, так как 13:3=4 (ост. 1), также 13 не делится на 5, 7 и на 11, так как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Следующим простым числом является 13, и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p₃ числа 13 есть само число 13, и a₃=a₂:p₃=13:13=1. Так как a₃=1, то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p₁·p₂·p₃).

Ответ:

78=2·3·13.

Пример.

Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p₁=2 и a₁=a:p₁=83 006:2=41 503, откуда 83 006=2·41 503.

На втором шаге выясняем, что 2, 3 и 5 не являются простыми делителями числа a₁=41 503, а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929. Имеем p₂=7, a₂=a₁:p₂=41 503:7=5 929. Таким образом, 83 006=2·7·5 929.

Наименьшим простым делителем числа a₂=5 929 является число 7, так как 5 929:7=847. Таким образом, p₃=7, a₃=a₂:p₃=5 929:7=847, откуда 83 006=2·7·7·847.

Дальше находим, что наименьший простой делитель p₄ числа a₃=847 равен 7. Тогда a₄=a₃:p₄=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Теперь находим наименьший простой делитель числа a₄=121, им является число p₅=11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7). Тогда a₅=a₄:p₅=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Наконец, наименьший простой делитель числа a₅=11 – это число p₆=11. Тогда a₆=a₅:p₆=11:11=1. Так как a₆=1, то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11.

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·73·112.

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112

Пример.

Разложите на простые множители число 897 924 289.

Решение.

В этом примере чтобы найти первый простой множитель разложения, придется перебрать все простые числа, начиная с 2. Этот долгий перебор заканчивается на числе 937. То есть, p₁=937, тогда a₁=a:p₁=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

На втором шаге алгоритма уже бы пришлось перебирать меньше простых чисел, чем на первом шаге. Здесь мы бы начали с p₁=937, а число 967 уже является простым делителем числа a₁=958 297. То есть, p₂=967, тогда a₂=a₁:p₁=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

На третьем шаге мы можем сразу сказать, что 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991<402), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p₃=991 и a₃=a₂:p₃=991:991=1. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991.

Ответ:

897 924 289=937·967·991.

Функции Омега

Функция ω(n) (омега) представляет собой число различных простых множителей n, в то время как функция Ω(n) (большая Омега) представляет собой число простых множителей n, пересчитанное с учётом кратности. Если

n=∏i=1ω(n)piαi,{\displaystyle n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{\alpha _{i}},}

тогда

Ω(n)=∑i=1ω(n)αi.{\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}\alpha _{i}.}

Например, 24 = 23 × 31, Так что ω(24) = 2 и Ω(24) = 3 + 1 = 4.

• ω(n) для n = 1, 2, 3, … соответственно 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … — последовательность A001221 в OEIS.
• Ω(n) для n = 1, 2, 3, … соответственно 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … — последовательность A001222 в OEIS.

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018,  американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 282 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Для рассматриваемого примера дискриминант квадратного уравнения будет равняться: Д = 25 — 4*2 (-3) = 49. Отсюда p1 = (5 + 7)/4 = 3, p2 = (5 — 7)/4 = -½. Подставив полученные корни в формулу, можно запись: 2 * (p — 3) * (p + ½).

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

601 — 800

601 − 620 601 601 602 2·7·43 603 32·67 604 22·151 605 5·112 606 2·3·101 607 607 608 25·19 609 3·7·29 610 2·5·61 611 13·47 612 22·32·17 613 613 614 2·307 615 3·5·41 616 23·7·11 617 617 618 2·3·103 619 619 620 22·5·31 621 − 640 621 33·23 622 2·311 623 7·89 624 24·3·13 625 54 626 2·313 627 3·11·19 628 22·157 629 17·37 630 2·32·5·7 631 631 632 23·79 633 3·211 634 2·317 635 5·127 636 22·3·53 637 72·13 638 2·11·29 639 32·71 640 27·5 641 − 660 641 641 642 2·3·107 643 643 644 22·7·23 645 3·5·43 646 2·17·19 647 647 648 23·34 649 11·59 650 2·52·13 651 3·7·31 652 22·163 653 653 654 2·3·109 655 5·131 656 24·41 657 32·73 658 2·7·47 659 659 660 22·3·5·11 661 − 680 661 661 662 2·331 663 3·13·17 664 23·83 665 5·7·19 666 2·32·37 667 23·29 668 22·167 669 3·223 670 2·5·67 671 11·61 672 25·3·7 673 673 674 2·337 675 33·52 676 22·132 677 677 678 2·3·113 679 7·97 680 23·5·17 681 − 700 681 3·227 682 2·11·31 683 683 684 22·32·19 685 5·137 686 2·73 687 3·229 688 24·43 689 13·53 690 2·3·5·23 691 691 692 22·173 693 32·7·11 694 2·347 695 5·139 696 23·3·29 697 17·41 698 2·349 699 3·233 700 22·52·7

701 − 720 701 701 702 2·33·13 703 19·37 704 26·11 705 3·5·47 706 2·353 707 7·101 708 22·3·59 709 709 710 2·5·71 711 32·79 712 23·89 713 23·31 714 2·3·7·17 715 5·11·13 716 22·179 717 3·239 718 2·359 719 719 720 24·32·5 721 − 740 721 7·103 722 2·192 723 3·241 724 22·181 725 52·29 726 2·3·112 727 727 728 23·7·13 729 36 730 2·5·73 731 17·43 732 22·3·61 733 733 734 2·367 735 3·5·72 736 25·23 737 11·67 738 2·32·41 739 739 740 22·5·37 741 − 760 741 3·13·19 742 2·7·53 743 743 744 23·3·31 745 5·149 746 2·373 747 32·83 748 22·11·17 749 7·107 750 2·3·53 751 751 752 24·47 753 3·251 754 2·13·29 755 5·151 756 22·33·7 757 757 758 2·379 759 3·11·23 760 23·5·19 761 − 780 761 761 762 2·3·127 763 7·109 764 22·191 765 32·5·17 766 2·383 767 13·59 768 28·3 769 769 770 2·5·7·11 771 3·257 772 22·193 773 773 774 2·32·43 775 52·31 776 23·97 777 3·7·37 778 2·389 779 19·41 780 22·3·5·13 781 − 800 781 11·71 782 2·17·23 783 33·29 784 24·72 785 5·157 786 2·3·131 787 787 788 22·197 789 3·263 790 2·5·79 791 7·113 792 23·32·11 793 13·61 794 2·397 795 3·5·53 796 22·199 797 797 798 2·3·7·19 799 17·47 800 25·52

201 — 400

201 − 220 3·67 2·101 7·29 22·3·17 5·41 2·103 207 32·23 24·13 11·19 2·3·5·7 211 22·53 3·71 214 2·107 5·43 23·33 7·31 2·109 3·73 220 22·5·11 221 − 240 13·17 2·3·37 223 25·7 225 32·52 2·113 227 227 228 22·3·19 229 2·5·23 3·7·11 232 23·29 233 233 2·32·13 5·47 236 22·59 3·79 2·7·17 239 24·3·5 241 − 260 241 241 242 2·112 35 244 22·61 245 5·72 246 2·3·41 13·19 248 23·31 249 3·83 2·53 251 251 252 22·32·7 253 11·23 254 2·127 255 3·5·17 256 28 257 257 258 2·3·43 259 7·37 260 22·5·13 261 − 280 261 32·29 262 2·131 263 263 264 23·3·11 265 5·53 266 2·7·19 267 3·89 268 22·67 269 269 270 2·33·5 271 271 272 24·17 273 3·7·13 274 2·137 275 52·11 276 22·3·23 277 277 278 2·139 279 32·31 280 23·5·7 281 − 300 281 281 282 2·3·47 283 283 284 22·71 285 3·5·19 286 2·11·13 287 7·41 288 25·32 289 172 290 2·5·29 291 3·97 292 22·73 293 293 294 2·3·72 295 5·59 296 23·37 297 33·11 298 2·149 299 13·23 300 22·3·52

301 − 320 7·43 302 2·151 303 3·101 304 24·19 305 5·61 306 2·32·17 307 307 308 22·7·11 309 3·103 310 2·5·31 311 312 23·3·13 313 314 2·157 315 32·5·7 316 22·79 317 317 318 2·3·53 319 11·29 320 26·5 321 − 340 321 3·107 322 2·7·23 323 17·19 324 22·34 325 52·13 326 2·163 327 3·109 328 23·41 329 7·47 330 2·3·5·11 331 331 332 22·83 333 32·37 334 2·167 335 5·67 336 24·3·7 337 337 338 2·132 339 3·113 340 22·5·17 341 − 360 341 11·31 342 2·32·19 343 73 344 23·43 345 3·5·23 346 2·173 347 347 348 22·3·29 349 349 350 2·52·7 351 33·13 352 25·11 353 353 354 2·3·59 355 5·71 356 22·89 357 3·7·17 358 2·179 359 359 360 23·32·5 361 − 380 361 192 362 2·181 363 3·112 364 22·7·13 365 5·73 366 2·3·61 367 367 368 24·23 369 32·41 370 2·5·37 371 7·53 372 22·3·31 373 373 374 2·11·17 375 3·53 376 23·47 377 13·29 378 2·33·7 379 379 380 22·5·19 381 − 400 381 3·127 382 2·191 383 383 384 27·3 385 5·7·11 386 2·193 387 32·43 388 22·97 389 389 390 2·3·5·13 391 17·23 392 23·72 393 3·131 394 2·197 395 5·79 396 22·32·11 397 397 398 2·199 399 3·7·19 400 24·52

Об этой статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 52 человек(а). Количество просмотров этой статьи: 60 079.

Категории: Математика

English:Factor a Number

Español:factorizar un número

Italiano:Scomporre un Numero in Fattori Primi

Português:Fatorar um Número

中文:找出一个数的因数

Français:décomposer un nombre en un produit de facteurs

Nederlands:Een getal ontbinden in factoren

Bahasa Indonesia:Memfaktorkan Bilangan

ไทย:แยกตัวประกอบ

العربية:تحليل عدد لعوامله

Čeština:Jak faktorizovat číslo

हिन्दी:किसी संख्या का गुणनखंड ज्ञात करें

한국어:소인수분해 하는 법

Tiếng Việt:Phân tích Một số Thành các Thừa số

日本語:因数分解する

Печать

Полный квадрат

Квадрат числа имеет то свойство, что все его простые множители имеют чётные кратности. Например, число 144 (квадрат 12) имеет простые множители

144=2×2×2×2×3×3=24×32.{\displaystyle 144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=2^{4}\times 3^{2}.}

В более понятной форме:

144=2×2×2×2×3×3=(2×2×3)×(2×2×3)=(2×2×3)2=(12)2.{\displaystyle 144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=(2\times 2\times 3)\times (2\times 2\times 3)=(2\times 2\times 3)^{2}=(12)^{2}.}

Поскольку каждый простой множитель присутствует здесь чётное число раз, исходное число можно представить в виде квадрата некоторого числа. Таким же образом, куб числа — это число, у которого кратности простых множителей делятся на три, и так далее.