Периодические десятичные дроби

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет
Найдите значение выражения Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Работаем с первой дробью:

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период Далее умножаем эту дробь Имеем:

10 X = 10 · 9,6666 . = 96,666 .

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10 X − X = 96,666 . − 9,666 . = 96 − 9 = 87; 9 X = 87; X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак,

Период k = 2, поэтому умножаем все

100 X = 100 · 32,393939 . = 3239,3939 .

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100 X − X = 99 X = 3207; X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;

10 X = 10 · 0,30555 . = 3,05555 . 10 X − X = 9 X = 11/4; X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10 000 X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 . 10 000 X − X = 2475,2475 . − 0,2475 2475 . = 2475; 9999 X = 2475; X = 2475 : 9999 = 25/101.

Задача : на вход в функцию подается два целых числа (int(a), int(b)) . Вернуть нужно частное a/b , причем повторяющиеся числа (период) нужно взять в скобки.

Подошел к решению задачи методом брутфорса. Перебирал дробную часть , искал совпадения. Но в случае 1/117 в период входит более 90 чисел и перебор чисел занимает больше времени, чем позволено в задаче.

Как по-другому решить эту задачу? Может есть более элегантное решение?

Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби

В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями $10, 100, \dots$.

В некоторых случаях исходную обыкновенную дробь можно легко привести к знаменателю $10$, $100$ или $1 \ 000$, после чего можно полученную дробь представить в виде десятичной дроби.

Пример 5

Чтобы дробь $\frac{3}{5}$ }привести к дроби со знаменателем $10$, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на $2$, после чего получим $\frac{6}{10}$, которую не составит труда перевести в десятичную дробь $0,6$.

Для остальных случаев используется другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную}:

числитель нужно заменить десятичной дробью с любым числом нулей после десятичной запятой;
разделить числитель дроби на знаменатель (деление выполняется как деление натуральных чисел в столбик, а в частном ставят десятичную запятую после окончания деления целой части делимого).

Пример 6

Перевести обыкновенную дробь $\frac{621}{4}$ в десятичную дробь.

Решение.

Число $621$ в числителе представим в виде десятичной дроби. Для этого добавим десятичную запятую и для начала два нуля после нее. Далее при необходимости можно буде добавить нули еще. Итак, получили $621,00$.

Выполним деление числа $621,00$ на $4$ в столбик:

Рисунок 1.

Деление дошло до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом получили не нулевой. В таком случае в частном ставится десятичная запятая и продолжается деление столбиком, не взирая на запятые:

Рисунок 2.

В остатке получили нуль, значит деление окончено.

Ответ: $155,25$.

Возможен случай, когда при делении числителя и знаменателя обыкновенной дроби в остатке $0$ так и не получается. В этом случае деление можно продолжать бесконечно. Начиная с определенного момента остатки от деления периодически повторяются, а значит повторяются и цифры в частном. Из этого можно сделать вывод, что данная обыкновенная дробь переведется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример 7

Перевести обыкновенную дробь $\frac{19}{44}$ в десятичную дробь.

Решение.}

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление в столбик:

Рисунок 3.

При делении повторяются остатки $8$ и $36$, а в частном также повторяются цифры $1$ и $8$. Итак, исходную обыкновенную дробь $\frac{19}{44}$ перевели в периодическую дробь $\frac{19}{44}=0,43181818\dots =0,43(18)$.

Ответ: $0,43(18)$.

Общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные:

если знаменатель можно разложить на простые множители, среди которых будут присутствовать только числа $2$ и $5$, то такую дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
если кроме чисел $2$ и $5$ в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то такая дробь переводится в бесконечную десятичную периодическую дробь.

История

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Тимуридский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше.

В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы Региомонтана (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать Виет. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

3 ответа 3

Для поиска периода рационального числа существует отдельный алгоритм. Перебираем одну за другой степени числа 10: 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Смотрим на остаток от деления этого числа на знаменатель. Если остаток от деления равняется 1, значит степень числа 10, это длина периода. Например, если в знаменателе стоит 13, то:

Получается, период равен 6. Этот период не зависит от того, что стоит в числителе (если дробь сокращена).

Метод не работает, если знаменатель делится на 5 или 2. В таком случае его нужно делить на 2, или 5, пока получится число, которое не делится на 2, 5.

В общем случае (как для вашего примера 1/117), придется использовать длинную арифметику.

Алгоритм ищет только длину периода, что бы получить сам период, нужно делить самому.

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида /. Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

Сначала разделится целая часть, если она есть;
Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 … = 1,7(3).

В итоге получается дробь: 0,5833 … = 0,58(3).

Записываем в нормальном виде: 4,0909 … = 4,(09).

Получаем дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

0, (3) ≈ 0,33

Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317

Выражение величин в дробном виде

Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:

Это выражение означает, что один дециметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей была взята одна часть. А одна часть из десяти в данном случае равна одному сантиметру:

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.

Итак, 6 целых сантиметров у нас уже есть:

Но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. Один сантиметр это десять миллиметров. Три миллиметра это три части из десяти. А три части из десяти записываются как см

Выражение см означает, что один сантиметр был разделён на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части.

В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:

Цифра 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра».

Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут цéлую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.

Например, запишем без знаменателя. Сначала записываем целую часть. Целая часть это 6

Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:

И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:

6,3

Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью.

Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:

6,3 см

Выглядеть это будет следующим образом:

На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части содержатся числа 10, 100, 1000 или 10000.

Как и смешанное число, десятичная дробь имеет цéлую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .

В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.

Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:

0,5

Читается как «ноль целых, пять десятых».

Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым перевóдим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.

После того как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример: перевести смешанное число в десятичную дробь.

Сначала записываем целую часть и ставим запятую:

И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать сколько нулей содержится в знаменателе дробной части.

Итак, посчитаем количество нулей в дробной части смешанного числа . Видим, что в знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2

3,2

Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2. Эта десятичная дробь читается так:

«Три целых, две десятых»

«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа содержится число 10.

Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

Записываем цéлую часть и ставим запятую:

И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.

В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3

Теперь можно довести дело до конца. Записываем после запятой числитель дробной части:

5,03

Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.

Десятичная дробь 5,03 читается так:

«Пять целых, три сотых»

«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа содержится число 100.

Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.

Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.

Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.

В первую очередь смóтрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:

Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это цифра 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед цифрой 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым: