Что такое критическая сила

ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА

В
этих примерах с увеличением нагрузки
вплоть до разрушения стержень останется
прямым, кольцо – круглым, балка –
изгибаться по одному и тому же уравнению.
Форма равновесия не зависит от величины
внешней силы. Это – устойчивые деформации.

В этих примерах
форма равновесия зависит от величины
силы. Это – неустойчивая форма деформации.

Под
устойчивостью понимают свойство упругой
системы сохранять под нагрузкой
первоначальную форму упругого равновесия.

Потеря
устойчивости наблюдается в элементах
конструкций, работающих на сжатие.
Например, устойчивость может потерять
стенка двутавровой балки при изгибе,
труба, нагруженная внешним давлением,
корпус подводной лодки, корабельный
гребной вал, ходовой винт металлорежущего
станка и т.д.

Остановимся
на изучении наиболее простой формы
потери устойчивости – стержень, сжатый
вдоль продольной оси.

1. Устойчивая форма упругого равновесия.
Стержень, получив малое отклонение,
вновь возвращается в исходное положение.

– механический
аналог

2.
Безразличная форма упругого равновесия.
Стержень, получив малое отклонение,
сохраняет состояние покоя. Сила,
соответствующая безразличному состоянию,
называется критической силой, а напряжения
– критическими напряжениями.

– механический
аналог

3.
Неустойчивая форма равновесия. Стержень,
получив малое отклонение, не возвращается
обратно, а продолжает изгибаться. Прогибы
бытро нарастают, наступает разрушение.

– механический
аналог

Пример
– пшеница . Колос наливается пшеница
полегает.

Сила
Р_кр
является опасной нагрузкой. Поэтому
нужно иметь некоторый запас по
устойчивости. Введём понятие допускаемой
силы

и напряжения.:

;

, где

— коэффициент запаса устойчивости.

Обычно
принимают:

для
сталей:

– строительные
конструкции

– машиностроение

для
чугунов

Изгиб стержня,
связанный с потерей устойчивости,
называют продольным изгибом.

Формула
Л. Эйлера для критической силы (1744 г.)

Рассмотрим
стержень длиной l
, на шарнирных опорах сжатый продольной
силой Р_кр_.

Доказано,
что упругая линия такого стержня
представляет собой синусоиду.

Величина
силы Р_кр
вычисляется по формуле Л. Эйлера (даётся
без вывода)

(1)

где

– наименьший из двух моментов инерции
поперечного сечения стержня.

l
– длина
полуволны синусоиды упругой линии (в
нашем случае – длина стержня).

Формулу
(1) можно распространить на другие способы
крепления концов стержня, при которых
длина полуволны будет другой. Тогда
формула Л. Эйлера примет вид:

(2)

где

– приведенная длина стержня ;

– коэффициент
приведения длины стержня, зависящий от
способа крепления его концов (введён
Ясинским).

Из
формулы (2) видно, что критическая сила

не зависит от характеристик прочности
материала

и
.
Поэтому при большой гибкости стержня,
когда “работает”
формула
Л. Эйлера, не имеет смысла применять
дорогие легированные стали, а наоборот,
следует использовать самые дешёвые
материалы с низкими прочностными
свойствами, т.к.

зависит только от модуля Юнга Е,
который для всех сталей примерно одинаков
(Е
= 2·105
МПа).