Равенство и неравенство двугранных углов
Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из двугранных углов считается меньшим, который составит часть другого угла.
Подобно углам в планиметрии, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.
Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
Теоремы.1) Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.
2) Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.
Пусть PABQ, и Р1А1В1Q1 (черт. 29) — два двугранных угла. Вложим угол А1В1 в угол АВ так, чтобы ребро А1В1 совпало с ребром AB и грань P1 с гранью P.
Тогда если эти двугранные углы равны, то грань Q1 совпадёт с гранью Q; если же угол А1В1 меньше угла AB, то грань Q1 займёт некоторое положение внутри двугранного угла, например Q2.
Заметив это, возьмём на общем ребре какую-нибудь точку В и проведём через неё плоскость R, перпендикулярную к ребру. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы. Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол CBD; если же двугранные углы не совпадут, если, например, грань Q1 займёт положение Q2, то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно: ∠CBD > ∠C2BD).
Обратные теоремы. 1) Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
2) Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.
Эти теоремы легко доказываются от противного.
Следствия. 1) Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.
Пусть (черт. 30) двугранный угол PABQ прямой. Это значит, что он равен смежному углу QABP1. Но в таком случае линейные углы CDE и CDE1 также равны; а так как они смежные, то каждый из них должен быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDE1, то равны и смежные двугранные углы, т.е. каждый из ни должен быть прямой.
2) Bcе прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.
Подобным же образом легко доказать, что:
3) Вертикальные двугранные углы равны.
4) Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково (или противоположно) направленными гранями равны.
5) Если за единицу двугранных углов возьмём такой двугранный угол, который соответствует единице линейных углов, то можно сказать, чтo двугранный угол измеряется его линейным углом.
