Решение задачи 1
Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 см и 9 см, высота – 4 см. Найти площадь боковой поверхности.
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1
Решение. Проиллюстрируем условие:
Задано: , ,
Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды.
Рис. 6. Дополнительные построения
Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра (). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.
Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:
Свойства правильной пирамиды
Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.
- боковые ребра равны между собой
- апофемы равны
- боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
- все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
- около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
- все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
- все высоты боковых граней равны между собой
Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.
Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.
Двоякое использование термина «апофема»
В геометрии значение слова «апофема» или «апотема», как ее еще называют, зависит от того, к какому объекту ее применяют. Существует два принципиально разных класса фигур, в которых она является одной из их характеристик.
В первую очередь это плоские многоугольники. Что такое апофема для многоугольника? Это высота, проведенная из геометрического центра фигуры к любой из ее сторон.
Чтобы было понятнее, о чем идет речь, рассмотрим конкретный пример. Предположим, что имеется правильный шестиугольник, показанный ниже на рисунке.
Символом l обозначена длина его стороны, буквой a — апофема. Для отмеченного треугольника она является не только высотой, но и биссектрисой, и медианой. Несложно показать, что через сторону l ее можно вычислить так:
Аналогичным образом апофема определяется для любого n-угольника.
Во вторую очередь — это пирамиды. Что такое апофема для такой фигуры? Этот вопрос требует более детального рассмотрения.
Правильная усеченная пирамида, понятие, основные определения
Правильной усеченной пирамидой называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 3).
Рис. 3. Правильная усеченная пирамида
Определение.
Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а вершина проектируется в центр этого n-угольника (центр вписанной и описанной окружности).
В данном случае в основании пирамиды лежит квадрат, и вершина проектируется в точку пересечения его диагоналей. У полученной правильной четырехугольной усеченной пирамиды ABCD – нижнее основание, – верхнее основание. Высота исходной пирамиды – РО, усеченной пирамиды – (рис. 4).
Рис. 4. Правильная четырехугольная усеченная пирамида
Определение.
Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания.
Апофема исходной пирамиды – РМ (М – середина АВ), апофема усеченной пирамиды – (рис. 4).
Определение.
Апофема усеченной пирамиды – высота любой боковой грани.
Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани – равные равнобедренные трапеции.
Правильная усеченная пирамида
Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.
Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.
Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.
- Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
- Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями
Примечания
См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:
Для правильной треугольной пирамиды
Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:
- Ознакомьтесь со справочными материалами
- Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
- После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
- Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме «раздел для школьников» в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.
Содержание главы:
Апофема правильной пирамиды
Объем правильной усеченной пирамиды
Правильная пирамида с четырехугольником в основании
Правильная пирамида с четырехугольником в основании
Нахождение боковой поверхности и высоты правильной пирамиды с четырехугольником в основании
Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3)
Нахождение углов пирамиды
Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды
Нахождение расстояний в правильной четырехугольной пирамиде
Пирамида и вписанный конусОписание курса Апофема правильной пирамиды
