Общий знаменатель, понятие и определение

Общий знаменатель для нескольких дробей.

Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?

Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac{2}{11}, \frac{1}{15}, \frac{3}{22}\)

Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.

Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби \(\frac{2}{11}, \frac{1}{15}, \frac{3}{22}\) к общему знаменатели равному 330.

Вопросы по теме: Какой общий знаменатель у дробей \(\bf \frac{2}{25}\) и \(\bf \frac{1}{14}\)?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.

Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.

Это мы нашли наименьший общий знаменатель:

Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей \(\frac{2}{25}\) и \(\frac{1}{14}\) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3/4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде ±mn{\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} или ±mn,{\displaystyle \pm m/n,} где n≠{\displaystyle n\neq 0.} Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  • ½,
  • 1/2 или 12{\displaystyle ^{1}\!/_{2}} (наклонная черта называется «солидус»),
  • выключная формула: 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}},
  • строчная формула: 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}.

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби 35{\displaystyle {\frac {3}{5}}}, 78{\displaystyle {\frac {7}{8}}} и 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}} — правильные, в то время как 83{\displaystyle {\frac {8}{3}}}, 95{\displaystyle {\frac {9}{5}}}, 21{\displaystyle {\frac {2}{1}}} и 11{\displaystyle {\frac {1}{1}}} — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1{\displaystyle 1}.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 237=2+37=147+37=177{\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

1213{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}} или 1213{\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}} или 123426{\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}.

Десятичные дроби

Основная статья: Десятичная дробь

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом (знак +{\displaystyle +} вне аримфетических выражений обычно опускается):

±a1a2…an,b1b2¯…{\displaystyle {\overline {\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}}}\dots }

Пример: 3,1415926{\displaystyle 3{,}1415926}.

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

История и этимология термина

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.), Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.), Московский математический папирус (ок. 1850 год до н.э.), Деревянная табличка из Ахмима (англ.) (ок. 1950 год до н.э.).

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X-II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше.

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа 14,215{\displaystyle {\tfrac {1}{4}},2{\tfrac {1}{5}}} записывались таким способом: 14,2I5.{\displaystyle {\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.} Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский). Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как 42 51 32{\displaystyle {\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}} или 42 5 ① 3 ②, где в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века.

На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Примечания

  1. .
  2.  (англ.). British Museum. Дата обращения 13 января 2019.
  3. Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. — С. 17—18, 25, 37—38, 255—257.
  4. William K. Simpson. An Additional Fragment from the «Hatnub» Stela // Journal of Near Eastern Studies. — 1961. — Январь (т. 20, № 1). — С. 25—30.
  5. Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
  6. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
  7. ↑ Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары : Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.