Значение буквенного выражения и выражения с переменными
Помимо числовых выражений изучают буквенные выражения, то есть выражения, в записи которых вместе с числами присутствует одна или несколько букв. Буквы в буквенном выражении могут обозначать различные числа, и если буквы заменить этими числами, то буквенное выражение станет числовым.
Определение.
Числа, которыми заменяют буквы в буквенном выражении, называют значениями этих букв, а значение полученного при этом числового выражения называют значением буквенного выражения при данных значениях букв.
Итак, для буквенных выражений говорят не просто о значении буквенного выражения, а о значении буквенного выражения при данных (заданных, указанных и т.п.) значениях букв.
Приведем пример. Возьмем буквенное выражение 2·a+b. Пусть заданы значения букв a и b, например, a=1 и b=6. Заменив буквы в исходном выражении их значениями, получим числовое выражение вида 2·1+6, его значение равно 8. Таким образом, число 8 есть значение буквенного выражения 2·a+b при заданных значениях букв a=1 и b=6. Если бы были даны другие значения букв, то мы бы получили значение буквенного выражения для этих значений букв. Например, при a=5 и b=1 имеем значение 2·5+1=11.
В старших классах при изучении алгебры буквам в буквенных выражениях позволяют принимать различные значения, такие буквы называют переменными, а буквенные выражения – выражениями с переменными. Для этих выражений вводится понятие значения выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Разберемся, что это такое.
Определение.
Значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных называется значение числового выражения, которое получается после подстановки выбранных значений переменных в исходное выражение.
Поясним озвученное определение на примере. Рассмотрим выражение с переменными x и y вида 3·x·y+y. Возьмем x=2 и y=4, подставим эти значения переменных в исходное выражение, получаем числовое выражение 3·2·4+4. Вычислим значение этого выражения: 3·2·4+4=24+4=28. Найденное значение 28 является значением исходного выражения с переменными 3·x·y+y при выбранных значениях переменных x=2 и y=4.
Если выбрать другие значения переменных, например, x=5 и y=0, то этим выбранным значениям переменных будет соответствовать значение выражения с переменными, равное 3·5·0+0=0.
Можно отметить, что иногда для различных выбранных значений переменных могут получаться равные значения выражения. К примеру, для x=9 и y=1 значение выражения 3·x·y+y равно 28 (так как 3·9·1+1=27+1=28), а выше мы показали, что такое же значение это выражение с переменными имеет при x=2 и y=4.
Значения переменных можно выбирать из соответствующих им областей допустимых значений. В противном случае при подстановке в исходное выражение значений этих переменных получится числовое выражение, не имеющее смысла. К примеру, если выбрать x=0, и подставить это значение в выражение 1/x, то получится числовое выражение 1/0, которое не имеет смысла, так как деление на нуль не определено.
Остается лишь добавить, что существуют выражения с переменными, значения которых не зависят от значений входящих в них переменных. Например, значение выражения с переменной x вида 2+x−x не зависит от значения этой переменной, оно равно 2 при любом выбранном значении переменной x из области ее допустимых значений, которая в данном случае является множеством всех действительных чисел.
Список литературы.
- Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
Некогда разбираться?
Буквенные выражения
Буквенное выражение — это числовое выражение, в котором числа могут быть обозначены и цифрами, и буквами. Буквенные выражения так же называются алгебраическими выражениями.
При обозначении чисел буквами обычно используют строчные (маленькие) буквы латинского алфавита:
7 · a — буквенное выражение,
a – (b + c) — буквенное выражение.
Чаще всего в буквенных выражениях разные числа обозначены разными буквами, но, например, в выражении:
a = b
подразумевается, что a и b являются одним и тем же числом.
Значение буквенного выражения — это число, получившееся после выполнения всех вычислений. Действия в буквенных выражениях выполняются после подстановки вместо букв их численных значений.
Пример. Найдите значение буквенного выражения 2 · a + 3 при a = 7.
Решение:
2 · 7 + 3 = 14 + 3 = 17.
Ответ: 17.
В буквенных выражениях знак умножения между числом и буквой, а так же между буквами, не пишут, поэтому считается, что:
7 · a = 7a и x · y = xy.
Если в записи выражения одна и та же буква, например a, употребляется несколько раз, то под значением этой буквы во всех случаях мы должны иметь ввиду одно и тоже число.
Пример. Найдите значение буквенного выражения 5x — 2x при x = 4.
Решение:
5 · 4 — 2 · 4 = 20 — 8 = 12.
Ответ: 12.
В арифметике буквенные обозначения употребляют, когда необходимо выразить, что некоторое свойство (или правило) принадлежит не каким-нибудь отдельным числам, а является общим для любых чисел. Например:
a + b = b + a.
Данное равенство показывает нам, что, как бы мы не переставляли слагаемые, сумма от этого не изменится. Подставив вместо букв любые числа, мы можем убедиться в этом сами:
1 + 2 = 2 + 1.
Что называют значением числового выражения?
Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с первых уроков математики в школе. Практически сразу вводится и понятие «значение числового выражения». Его относят к выражениям, составленным из чисел, соединенных знаками арифметических действий (+, −, ·, :). Дадим соответствующее определение.
Определение.
Значение числового выражения – это число, которое получается после выполнения всех действий в исходном числовом выражении.
Для примера рассмотрим числовое выражение 1+2. Выполнив сложение натуральных чисел, получаем число 3, оно и является значением числового выражения 1+2.
Часто в словосочетании «значение числового выражения» слово «числового» опускают, и говорят просто «значение выражения», так как все равно понятно, о значении какого выражения идет речь.
Данное выше определение значения выражения распространяется и на числовые выражения более сложного вида, которые изучаются в старших классах. Здесь нужно заметить, что можно столкнуться с числовыми выражениями, указать значения которых нет возможности. Это связано с тем, что в некоторых выражениях невозможно выполнить записанные действия. Например, , поэтому мы не можем указать значение выражения 3:(2−2). Подобные числовые выражения называют выражениями, не имеющими смысла.
Часто на практике интерес представляет не столько числовое выражение, как его значение. То есть, встает задача, заключающаяся в определении значения данного выражения. При этом обычно говорят, что нужно найти значение выражения. В указанной статье подробно разобран процесс нахождения значения числовых выражений различного вида, и рассмотрена масса примеров с детальными описаниями решений.
Рациональные способы вычисления значений выражений
Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в предыдущих пунктах, но не нужно это делать слепо и механически. Этим мы хотим сказать, что часто можно рационализировать процесс нахождения значения выражения. Например, значительно ускорить и упростить нахождение значения выражения позволяют некоторые свойства действий с числами.
К примеру, мы знаем такое свойство умножения: если один из множителей в произведении равен нулю, то и значение произведения равно нулю. Используя это свойство, мы можем сразу сказать, что значение выражения 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) равно нулю. Если бы мы придерживались стандартного порядка выполнения действий, то сначала нам бы пришлось вычислять значения громоздких выражений в скобках, а это бы заняло массу времени, и в результате все равно получился бы нуль.
Также удобно пользоваться свойством вычитания равных чисел: если от числа отнять равное ему число, то в результате получится нуль. Это свойство можно рассматривать шире: разность двух одинаковых числовых выражений равна нулю. Например, не вычисляя значения выражений в скобках можно найти значение выражения (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3), оно равно нулю, так как исходное выражение представляет собой разность одинаковых выражений.
Рациональному вычислению значений выражений могут способствовать тождественные преобразования. Например, бывает полезна группировка слагаемых и множителей, не менее часто используется вынесение общего множителя за скобки. Так значение выражения 53·5+53·7−53·11+5 очень легко находится после вынесения множителя 53 за скобки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Непосредственное вычисление заняло бы намного больше времени.
В заключение этого пункта обратим внимание на рациональный подход к вычислению значений выражений с дробями – одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Например, сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе дроби позволяет сразу найти ее значение, которое равно 1/2.
Числовые выражения
Числовое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа обозначены цифрами (в неё также могут входить знаки арифметических действий и скобки). Числовые выражения так же называются арифметическими выражениями.
7 — числовое выражение,
2 + 2 — 1 — числовое выражение,
7 — 2 · + : 1 — бессмысленный набор символов.
Вычислить значение выражения — это значит выполнить все арифметические действия, указанные в выражении. Действия выполняются в определённом порядке, в зависимости от самих действий и присутствия в выражении скобок. Про порядок выполнения действий можно прочитать в теме Порядок действий
.
Значение числового выражения — это число, получившееся после выполнения всех вычислений. Например, в выражении
6 + 2 = 8,
число 8 — это значение числового выражения 6 + 2.
Пример 1. Найдите значение числового выражения 4 + 3.
Решение:
4 + 3 = 7.
Ответ: 7.
Пример 2. Вычислите значение числового выражения 4 · 3.
Решение:
4 · 3 = 12.
Ответ: 12.
Пример 3. Запишите числовые выражения и найдите их значения.
1) Из числа 60 вычесть чисел 23 и 7.
2) К чисел 30 и 6 прибавить 18.
3) Число 93 уменьшить на 5 и 6.
4) Из чисел 57 и 7 вычесть число 8.
Решение:
1) 60 — (23 + 7) = 60 — 30 = 30.
2) 30 : 6 + 18 = 5 + 18 = 23.
3) 93 — 5 · 6 = 93 — 30 = 63.
4) (57 — 7) — 8 = 50 — 8 = 42.
С помощью числовых выражений можно записывать решение задач.
Задача. Из куска шёлка длиной 18 метров сшили 4 платья, расходуя на каждое по 3 метра. Сколько метров шёлка осталось в куске?
Решение: Задача решается в два действия: сначала узнаём сколько шёлка было израсходовано на платья, а затем сколько шёлка осталось. Решение по действиям можно записать так:
1) 3 · 4 = 12 (м) — израсходовали на платья.
2) 18 — 12 = 6 (м) — осталось в куске.
Объединив эти два действия, получим числовое выражение
18 — 3 · 4 = 6 (м).
Значение этого выражения является ответом на вопрос данной задачи.
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 69,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 73,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Задание 91,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 1 часть
Страница 36. Вариант 1. № 5,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 45. Вариант 2. № 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 23,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 48,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть
3 класс
Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 36,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 37,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 42,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 60,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 71,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 1 часть
Страница 23. Вариант 2. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 25,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 61,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть
4 класс
Страница 13,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 84,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть
Страница 22,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 33,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 50,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 74,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 83,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 89,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть
Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть
5 класс
Задание 427,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 430,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 939,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1291,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1469,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Упражнение 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Упражнение 245,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Упражнение 256,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Упражнение 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Упражнение 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Задание 473,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 481,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 551,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 583,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 597,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
В словаре Д.Н. Ушакова
ВЫРАЖЕ́НИЕ, выражения, ср.1. Действие по гл. выразить-выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности.2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого-нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение, которое в неискаженном виде передает его переживание.3. Оборот речи, принятый в каком-нибудь языке, слово, слова, служащие для передачи мысли. Образное выражение. Непонятное выражение. Употребить какое-нибудь выражение. Письмо, полное неловких выражений. Непристойные выражения.| Совокупность знаков, формула, выражающая какие-нибудь математические отношения (мат.). Алгебраическое выражение.4. только ед. Характерные внешние черты, отражающие душевное состояние, мимика. Страдальческое выражение лица. Лицо утратило, приняло привычное выражение. В его лице нет выражения. Грустное выражение глаз.
Иррациональные выражения, выражения с корнями
Преобразование иррациональных выражений (выражений с корнями)
Разобрано, какие выражения называют иррациональными и какие преобразования для них характерны.
Использование свойств корней при преобразовании выражений
Научитесь преобразовывать иррациональные выражения с использованием свойств корней.
Вынесение множителя из-под знака корня
Объяснено, какое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня и как оно выполняется, рассмотрены решения характерных примеров.
Как внести множитель под знак корня?
Даны правила, позволяющие вносить множитель под знак корня, показаны примеры с решениями.
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Узнайте, что такое иррациональность в знаменателе дроби и какие существуют способы, позволяющие освободиться от нее.
Переход от корней к степеням и обратно
Научитесь осуществлять переход от корней к степеням с дробными показателями и обратно, рассмотрите решения характерных примеров.
Тождественные преобразования выражений
Тождество: определение, знак, примеры тождеств
Разберите что такое тождество, какие для них приняты обозначения, рассмотрите примеры тождеств.
Тождественно равные выражения
Познакомьтесь с тождественно равными выражениями, осознайте соответствующее определение и остановитесь на примерах тождественно равных выражений.
Тождественные преобразования выражений
Выясните какие преобразования приводят выражение к тождественно равному выражению, рассмотрите примеры тождественных преобразований.
Раскрытие скобок
Разберите правила, по которым проводится раскрытие скобок, научитесь применять их при преобразовании выражений.
Приведение подобных слагаемых
Дано определение подобных слагаемых и на примерах показано как выполняется приведение подобных слагаемых.
Группировка слагаемых и множителей
Научитесь группировать слагаемые и множители, рассмотрите правила группировки и характерные примеры с решениями.
Вынесение за скобки общего множителя
Познакомьтесь с правилом вынесения за скобки общего множителя, научитесь выполнять это тождественное преобразование.
Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными
находится для конкретных заданных значений букв и переменных. То есть, речь идет о нахождении значения буквенного выражения для данных значений букв или о нахождении значения выражения с переменными для выбранных значений переменных.
Правило нахождения значения буквенного выражения или выражения с переменными для данных значений букв или выбранных значений переменных таково: в исходное выражение нужно подставить данные значения букв или переменных, и вычислить значение полученного числового выражения, оно и является искомым значением.
Пример.
Вычислите значение выражения 0,5·x−y при x=2,4 и y=5.
Решение.
Чтобы найти требуемое значение выражения, сначала нужно подставить в исходное выражение данные значения переменных, после чего выполнить действия: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
Ответ:
−3,8.
В заключение отметим, что иногда выполнение преобразований буквенных выражений и выражений с переменными позволяет получить их значения, независимо от значений букв и переменных. Например, выражение x+3−x можно упростить, после чего оно примет вид 3. Отсюда можно сделать вывод, что значение выражения x+3−x равно 3 для любых значений переменной x из ее области допустимых значений (ОДЗ). Еще пример: значение выражения равно 1 для всех положительных значений x, так областью допустимых значений переменной x в исходном выражении является множество положительных чисел, и на этой области имеет место равенство .
Список литературы.
- Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / . — 22-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2008. — 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021134-5.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Некогда разбираться?
Дроби
Преобразование выражений с дробями
Рассмотрены основные преобразования, которые приходится выполнять с дробями общего вида, в которых присутствуют корни, степени, логарифмы и т.п.
Общие преобразования для всевозможных дробей
Здесь разобраны преобразования, которые можно выполнять с любыми дробями: сокращение, приведение к новому знаменателю, изменение знаков числителя и знаменателя и т.д.
Действия с дробями общего вида
Научитель выполнять действия не только с обыкновенными и рациональными дробями, но и с дробями общего вида, содержащими корни, степени, логарифми и т.п.
