Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды
Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.
Удобнее всего изучать характеристики усеченной пирамиды, если ее основания параллельны друг другу. В этом случае нижнее и верхнее основания будут подобными многоугольниками. Поскольку в четырехугольной правильной пирамиде основание — это квадрат, то образованное при срезе сечение тоже будет представлять квадрат, но уже меньшего размера.
Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.
Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:
Здесь h — расстояние между основаниями фигуры, So1, So2 — площади нижнего и верхнего оснований.
Усеченная пирамида
Усеченная пирамида изображается как в предыдущей задаче.
Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она получена, была правильной.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды.
Усеченная пирамида — плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.
Усеченная пирамида имеет два основания ( рис. 215): верхнее и нижнее. В силу построения и теоремы 1 эти основания лежат в параллельных плоскостях и представляют собой подобные многоугольники.
Усеченная пирамида называется правильной, если исходная пирамида — правильная.
Усеченная пирамида называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники, и отрезок, соединяющий центры оснований, является высотой усеченной пирамиды. Очевидно, правильная усеченная пирамида является частью правильной пирамиды.
Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды — два многоугольника, стороны которых попарно параллельны.
Усеченная пирамида называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники и отрезок, соединяющий центры оснований, является высотой усеченной пирамиды. Очевидно, правильная усеченная пирамида является частью правильной пирамиды.
Усеченная пирамида изображается как в предыдущей задаче. Для изображения линейного угла искомого двугранного угла проводим АгЕ и B F ( черт.
Усеченная пирамида, правильная и неправильная.
Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции, их высоты называются апофемами.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобочные трапеции. Высота каждой из этих трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
Усеченная пирамида называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара. Основания такбй пирамиды являются многоугольниками, вписанными в круги шара, лежащие в параллельных плоскостях. Следовательно, центр шара лежит на прямой 00Х, где О и Ог-центры указанных кругов. Легко доказать, что любая правильная усеченная пирамида может быть вписана в шар. Центр описанного шара может лежать как внутри, так и вне усеченной пирамиды или конуса.
Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной
Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.
В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.
Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.
Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:
S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)
Здесь первое слагаемое — это площадь боковой поверхности, второе слагаемое — площадь треугольных оснований.
Объем фигуры рассчитывается следующим образом:
V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)
Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.
Правильная четырехугольная пирамида
Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.
Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).
Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.
Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.
Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды
Введем следующие обозначения
| V | объем |
| Sбок | площадь |
| Sполн | площадь |
| Sверх.осн | площадь верхнего |
| Sнижн.осн | площадь нижнего |
| Pверх.осн | периметр верхнего |
| Pнижн.осн | периметр нижнего |
|
V объем |
|
Sбок площадь |
|
Sполн площадь |
|
Sверх.осн площадь верхнего |
|
Sнижн.осн площадь нижнего |
|
Pверх.осн периметр верхнего |
|
Pнижн.осн периметр нижнего |
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды:
| Пирамида | Рисунок | Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности |
| Произвольная |
гдеh – |
|
|
(см. раздел ), , * * * * * *
* * * * * * гдеh – ,a – длина ,a’ – длина ,l – длина |
,
| Произвольная |
|
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: , гдеh – |
|
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: (см. раздел ), , * * * * * * * * * гдеh – ,a – длина ,a’ – длина ,l – длина |
Усеченная пирамида
Название этой фигуры говорит само за себя. Получается усеченная пирамида из обычной, если срезать ее верхнюю часть. При этом плоскость среза должна быть параллельна плоскости треугольного основания. Эта фигура показана ниже.
Из рисунка видно, что фигура образована двумя равносторонними треугольниками разных размеров. Они называются основаниями пирамиды. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых равнобедренных трапеций. Таким образом, усеченная треугольная правильная пирамида кардинальным образом отличается от полной.
Важными свойствами правильной усеченной треугольной пирамиды являются площадь поверхности ее и объем. Формулы для их вычисления выглядят несколько сложнее, чем аналогичные выражения для полной фигуры. Здесь не будем вдаваться в подробности получения этих формул, а приведем их сразу:
Здесь a1 и a — стороны треугольников разных оснований, h — расстояние между основаниями, hb — высота трапеции пирамиды. В формуле для S первое слагаемое соответствует площади боковой поверхности пирамиды, второе — это площадь двух оснований. Из записанных формул для S и V усеченной пирамиды видно, что для однозначного определения ее свойств необходимо знать три линейных параметра фигуры.
Решение задачи 3
Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3
АСВ – правильный треугольник, Н – центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ – апофема заданной пирамиды. – апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:
Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:
Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ – апофему исходной пирамиды:
Из начального соотношения:
Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:
Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности. Следующий урок будет посвящен решению задач.
Список литературы
- И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
- Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
- Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задача 1: плоскость, параллельная плоскости основания правильной шестиугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1:7, считая от вершины пирамиды. Высота пирамиды – 14 см, сторона основания – 2 см. найдите площадь поверхности полученной усеченной пирамиды.
- Задача 2: площадь боковой поверхности правильной усеченной пятиугольной пирамиды – , ее высота составляет четверть высоты исходной пирамиды, апофема равна 2 см. Найдите стороны оснований и высоту усеченной пирамиды.
- Задача 3: охарактеризуйте максимальным количеством свойств правильную усеченную четырехугольную пирамиду.
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
Что такое пирамида в общем случае?
В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.
Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая — четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.
Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:
- в основании должен находиться правильный многоугольник;
- боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.
Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.
Усеченная пирамида
Рассмотренная выше фигура называется полной пирамидой. Теперь покажем, что такое усеченная пирамида и как ее можно получить из полной.
Пусть у нас имеется полная фигура с пятиугольным основанием. Она показана ниже на рисунке слева.
Возьмем произвольную плоскость и отсечем верхнюю часть у полной пирамиды. Плоскость разделит исходную фигуру на две части: верхняя будет представлять также пирамиду, а вот нижняя — это уже усеченная пирамида (см. правое изображение на рисунке).
Заметим, что в данном случае мы выбрали секущую плоскость, которая параллельна основанию исходной фигуры. Полученная из правильной фигуры с помощью параллельного сечения усеченная пирамида также будет называться правильной.
Рисунок также показывает, что основания усеченной пирамиды (пятиугольники в примере) образованы подобными правильными многоугольниками, при этом размер верхнего будет всегда меньше, чем нижнего. Боковая поверхность этой фигуры, в отличие от полной пирамиды, образована равнобедренными трапециями.
Если в основании усеченной пирамиды лежит n-угольник, тогда она имеет 2 × n вершин, 3 × n ребер и n + 2 стороны.
Двумя важными геометрическими параметрами рассматриваемой фигуры являются площадь ее поверхности и объем.
