Стереометрия

5.4. Сечения

Сечения

Сечение – планиметрическая фигура, образованная рассечением объемного тела. Сечение должно образовывать единую фигуру (быть замкнутым). Построение сечения делается по строгим правилам и принципам, которые, в свою очередь, основываются на аксиомы и теоремы стереометрии.

Стереометрия

СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

Сечение многогранника плоскостью — плоский многоугольник, у которого:

  • вершины принадлежат ребрам,
  • а стороны – граням многогранника.

Две соседние вершины сечения принадлежат одной грани многогранника.

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ:

1. Если две точки сечения принадлежат одной грани, то эти точки можно соединить.

Стереометрия

Пример:

Стереометрия

Стереометрия

2. Если известна линия, по которой плоскость пересекает одну из параллельных граней, то вторую грань плоскость пересечет по линии, параллельной данной.

Стереометрия

Большое значение для этого принципа имеет именно третье свойство – свойство параллельных плоскостей.

Пример:

Стереометрия

МЕТОД СЛЕДОВ

Особенным методом построения сечений в многогранниках является метод следов. Для начала, разберемся, что такое «след».

СтереометрияСлед –прямая l

Стереометрия

След –точка M

След плоскости на плоскости – прямая, по которой плоскость пересекает плоскость .

След прямой l на плоскости – точка пересечения прямой l с плоскостью .

Суть метода: уже известные стороны сечения на гранях многогранника мы продолжаем за пределы стереометрической фигуры до пересечения с ребрами многогранника. Благодаря этому мы получаем «следы» этих прямых на гранях многогранника, то есть точки. Получив две точки на одной грани, мы, воспользовавшись первым принципом, можем их соединить.

Пример:

Стереометрия

СЕЧЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ:

ЦИЛИНДР

Характерные сечения цилиндра:

Стереометрия

Другие варианты сечений (сечение — эллипс или часть эллипса):

Стереометрия

КОНУС

Характерные сечения конуса:

Стереометрия

Другие варианты сечений (сечение – эллипс или часть эллипса):

Стереометрия

ШАР

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Стереометрия

Прочитано
Отметь, если полностью прочитал текст

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» — «измеряю») — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

  • На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
  • В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
  • Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
  • Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  • Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
  • Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  • Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
    1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
    2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
  • Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Литература

  • В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
  • И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.
Портал «Наука»
Основания математики Теория множеств Математическая логика алгебра логики
Теория чисел (арифметика)
Алгебра Общая алгебра
Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Общая алгебра
Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий
Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и
интегральные уравнения
Дифференциальное исчисление • Интегральное исчисление
Теория функций вещественного переменного • Теория меры • Комплексный анализ • Кватернионный анализ • Функциональный анализ • Вариационное исчисление • Гармонический анализ
Обыкновенные дифференциальные уравнения • Уравнения в частных производных • Динамические системы и эргодическая теория • Интегральные уравнения
Векторный анализ • Глобальный анализ • Теория катастроф • Нестандартный анализ • Гладкий инфинитезимальный анализ
Геометрия и топология Геометрия Топология
Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия
Общая топология  • Алгебраическая топология  • Дифференциальная геометрия и топология
Дискретная математика
Комбинаторика  • Теория графов
Прикладная математика
  • Математическая физика
  • Математическая химия
  • Математическая статистика
  • Математическое моделирование
  • Теория алгоритмов
  • Численные методы
  • Математическая экономика

  • Финансовая математика
  • Теория вероятностей
  • Исследование операций
  • Теория игр
  • Портал «Математика»
  • Категория «Математика»

ru.wikipedia.org

Литература[править | править код]

  • В. В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
  • И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка «Квант», Вып.31).
Это заготовка статьи по геометрии.
  1. Википедия Стереометрия адрес
  2. Викисловарь — адрес
  3. Викицитатник — адрес
  4. Викиучебник — адрес
  5. Викитека — адрес
  6. Викиновости — адрес
  7. Викиверситет — адрес
  8. Викигид — адрес

Выделить Стереометрия и найти в:

  1. Вокруг света адрес
  2. Академик адрес
  3. Астронет адрес
  4. Элементы адрес
  5. Научная Россия адрес
  6. Кругосвет адрес
  7. Научная Сеть
  8. Традиция — адрес
  9. Циклопедия — адрес
  10. Викизнание — адрес
  1. Bing
  2. Yahoo
  3. Яндекс
  4. Mail.ru
  5. Рамблер
  6. Нигма.РФ
  7. Спутник
  8. Google Scholar
  9. Апорт
  10. Архив Интернета
  11. Научно-популярные фильмы на Яндексе
  12. Документальные фильмы
  1. Список ru-вики
  2. Вики-сайты на русском языке
  3. Список крупных русскоязычных википроектов
  4. Каталог wiki-сайтов
  5. Русскоязычные wiki-проекты
  6. Викизнание:Каталог wiki-сайтов
  7. Научно-популярные сайты в Интернете
  8. Лучшие научные сайты на нашем портале
  9. Лучшие научно-популярные сайты
  10. Каталог научно-познавательных сайтов
  11. НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов
  • Страница — краткая статья
  • Страница — энциклопедическая статья
  • Разное — на страницах: , , ,

Основные понятия стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.

Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.

Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).

Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).

Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий