Проекция (геометрия)

Черчение

II. Чертежи в системе прямоугольных проекций

§ 3. Проецирование

3.1. Общие сведения о проецировании. Изображения предметов на чертежах в соответствии с правилами государственного стандарта выполняют по способу (методу) прямоугольного проецирования. Проецированием называют процесс построения проекции предмета. Как получаются проекции? Рассмотрите такой пример.

Возьмем в пространстве произвольную точку А и какую-нибудь плоскость Н (рис. 37). Проведем через точку А прямую так, чтобы она пересекала плоскость Н в некоторой точке а. Тогда точка а будет проекцией точки А. Плоскость, на которой получается проекция, называется плоскостью проекций. Прямую Аа называют проецирующим лучом. С его помощью точка А проецируется на плоскость Н. Указанным способом могут быть построены проекции всех точек любой пространственной фигуры.

Рис. 37. Получение проекций точки

Следовательно, чтобы построить проекцию какой-либо фигуры на плоскости, необходимо через точки этой фигуры провести воображаемые проецирующие лучи до их пересечения с плоскостью. Проекции всех точек фигуры образуют проекцию заданной фигуры. Рассмотрим получение проекции какой-нибудь геометрической фигуры, например треугольника (рис. 38).

Рис. 38. Проекция фигуры

Будем в дальнейшем обозначать точки, взятые на предмете, прописными буквами, а их проекции — строчными. Проекцией точки А на заданную плоскость и будет точка 0 как результат пересечения проецирующего луча Аа с плоскостью проекций. Проекциями точек В и С будут точки b и с. Соединив на плоскости точки а, Ь и с отрезками прямых, получим фигуру abc, которая и будет проекцией заданной фигуры ABC.

Представление о проекции можно получить, рассматривая тени предметов. Возьмем, например, проволочную модель призмы (рис. 39). Пусть эта модель при освещении солнечными лучами отбрасывает тень на стену. Полученную таким образом тень можно принять за проекцию заданного предмета.

Рис. 39. Получение тени модели

Слово «проекция» латинское. В переводе на русский язык оно означает «бросать (отбрасывать) вперед».

Положите на бумагу какой-нибудь плоский предмет и обведите его карандашом. Вы получите изображение, соответствующее проекции этого предмета. Примерами проекций являются также фотографические снимки, кинокадры и др.

1. Что называется проецированием? Приведите примеры проекций.
2. Как построить на плоскости проекцию точки? проекцию фигуры?

3.2. Центральное и параллельное проецирование. Если проецирующие лучи, с помощью которых строится проекция предмета, исходят из одной точки, проецирование называется центральным (рис. 40). Точка, из которой исходят лучи, называется центром проецирования. Полученная при этом проекция называется центральной.

Рис. 40. Центральное проецирование

Центральную проекцию часто называют перспективой. Примерами центральной проекции являются фотоснимки и кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки и др. Центральные проекции применяют в рисовании с натуры.

Если проецирующие лучи параллельны друг другу (рис. 41), то проецирование называется параллельным. а полученная проекция — параллельной. Примером параллельной проекции можно условно считать солнечные тени предметов (рис. 39).

Строить изображение предмета в параллельной проекции проще, чем в центральной. В черчении такие проекции используются для построения чертежей и наглядных изображений.

При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одинаковым углом. Если это любой острый угол, как на рисунке 41, то проецирование называется косоугольным.

Рис. 41. Косоугольное проецирование

В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 42), т. е. составляют с ней угол 90°, проецирование называют прямоугольным. Полученная при этом проекция называется прямоугольной.

Рис. 42. Прямоугольное проецирование

Прямоугольное проецирование широко используется для построения изображений на чертежах. Большинство чертежей в учебнике выполнено по этому способу.

1. Какое проецирование называется центральным, параллельным, прямоугольным, косоугольным?
2. Какой способ проецирования используется при построении чертежа и почему?

Другие способы защиты

Помимо проекции, существует еще несколько способов психологической защиты:

1. Отрицание — защитная реакция, которая начинает формироваться с детства. Первые ее проявления можно заметить, когда ребенок разбил тарелку, но упорно доказывает матери что это сделал не он. Отрицание часто проявляется у людей, которые не хотят признавать серьезный диагноз. Сильное психологическое давление со стороны только усилит защиту психики, что приведет к общей замкнутости человека.
2. Вытеснение — механизм психологической защиты, с помощью которого насущные проблемы вытесняются из сознания в область бессознательного, но от этого проблема не исчезает. Она укореняется в психике, из-за чего общее состояние не изменяется в лучшую сторону.
3. Интроекция — механизм защиты, с помощью которого человек погружается в мир своего авторитета. При этом можно узнать, какие чувства сильнее греют его, чего ему не хватает.
4. Изоляция — механизм, с помощью которого человек делит свою личность на две части. Одну он принимает, оберегает, другу отрицает, старается скрывать от окружающих.
5. Регрессия — механизм психологической защиты, при активизации которого личность переходит на упрощенный уровень функционирования.
6. Фантазирование — механизм защиты, с помощью которого субъект создает не настоящую действительность, которая не может произойти в реальной жизни. Это помогает справиться с жаждой собственных желаний.
7. Перенесенная агрессия. Помогает не обижаться на любимого человека, когда он возвращаясь с собственных дел в плохом настроении, начинает выплескивать агрессию на близких.
8. Реактивное образование. Проявляется у людей, которые не умеют экономить деньги. При этом чем сложнее им заработать определенную сумму, тем быстрее они ее потратят.

Еще один механизм психологической защиты — рационализация. Она прослеживается в рассказах, которые составляют студенты или школьники при опоздании на урок, невыполнении домашнего задания.

Проекция — механизм психологической защиты, которые развивается у любого человека с самого рождения. Он защищает человеческую психику от разрушительного воздействия негативных эмоций, переживаний, обид. Защитная реакция искажает реальность, что мешает людям здраво оценивать ситуацию.

Проекция в психологии: примеры из жизни

Так как этот защитный механизм встречается часто, примеров вокруг нас очень много. Давайте научимся находить проекции!

Пример №1 Наталья считает, что ее муж при любом удобном случае будет ей изменять. Она патологически ревнует его к каждой мимо проходящей женщине и называет «бабником». Хотя муж ни разу не давал ей повода в себе усомниться. На самом деле, она сам не прочь завести роман на стороне, но никогда себе в этом не признается. Поэтому она ежедневно вновь и вновь возвращается к этой теме.

Пример №2 Коля в юности был влюблен в Свету. Они встречались, но потом по какой-то причине Света его бросила. Коля решил, что Света так поступила, потому что не обладала высоким уровнем интеллекта, а значит и все женщины на свете тоже не обладают. Когда он теперь знакомится с девушками, он заранее знает, что они не отличаются острым умом.

Пример №3 Екатерине 55 лет, она никогда не была замужем. Она очень любит ругать нынешнюю молодежь за распущенность. Так происходит, потому что она сама всю жизнь была лишена отношений с противоположным полом. Екатерина завидует. Однако еще больше женщина будет осуждать свою одинокую подругу, тоже оставшуюся «старой девой».

1.1. Центральное проецирование

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Известны два метода проецирования: центральное  и параллельное.

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).

Рисунок 1.1 – Центральное проецирование

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

S – центр проецирования (глаз наблюдателя);
π₁ – плоскость проекций;

A, B, C – объекты проецирования – точки;

SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Виды проекции

Проявления проекции в нашей жизни и в отношениях с другими людьми разнообразны. Обычно выделяют 4 основных ее вида:

Атрибутивная проекция основана на приписывании индивидом мотивов своего поведения другим людям. Обычно это осуждаемые обществом или неприемлемые самим человеком побуждения. («Жадина!», — кричит ребенок сверстнику, не желающему угощать его конфетой).
Комплиментарная проекция в чем-то противоположна атрибутивной и проявляется в приписывании себе качеств, противоположных тем, которые отвергаются. («Я сильный и смелый, а ты просто трус и слабак!»).
Рациональная – это оправдание своих ошибок и провалов через обвинение других в каких-то недостатках, слабостях, непрофессионализме. («Проект был бы удачным, если бы со мной в команде не работали такие бездари и лентяи». «У нас был бы идеальный брак, если бы муж больше заботился о семье»).
Аутическая проекция – это проецирование своих потребностей во внешний мир. Ее хорошо иллюстрирует поговорка: «Рыбак рыбака видит издалека»

Голодный человек прежде всего обращает внимание на пищу, а женщина, пережившая измену мужа, среди окружающих мужчин видит только предателей и изменников. Других она просто не замечает.

Нередко в поведении человека и его восприятии окружающего мира разные виды проекции взаимодействуют. Особенно это характерно для неуверенных в себе людей, отягощенных комплексами и чувством вины.

Виды проекций

В психологии выделяют несколько разновидностей проекций.

• Атрибутивная. Это самая известная нам разновидность проекции. Она срабатывает тогда, когда индивид приписывает свои мысли и чувства другим людям.
• Аутистическая. В этом случае потребности и мотивы человека обуславливают то, как он видит предметы и других людей.
• Рациональная. Здесь человек предпочитает переносить ответственность за свои неудачи на других людей, а не признавать свои ошибки и недостатки.
• Комплементарная. Индивид в этом случае считает себя лидером, сильной личностью, в отличие от других людей, которые, как он полагает, слабы и беспомощны.

Понятие и принцип действия

Чтобы понять, как действует проекция, нужно представить работу электронного проектора. Принцип его работы заключается в том, что транслируемое изображение переносится на любую противоположную поверхность. То же самое случается после того, как человек накапливает в себе негативные эмоции. Она начинает изливать их на окружающих.

Тяжелыми переживаниями являются стыд, чувство вины. Чтобы их не ощущать, запускаются естественные защитные реакции психики. После проявления агрессии, ненависти по отношению к окружающим человек не избавляет себя от негатива, а передает его другим. Благодаря этому он не ощущает себя виноватым, поскольку считает, что другие не лучше его.

Защитный механизм, который психологи называют проекцией, начинает формироваться у любого человека сразу после рождения. Он развивается под воздействием различных запретов, которые устанавливает социум. Во время воспитания в сознании закрепляются представления о том, что такое хорошо и что такое плохо. При этом в процессе взросления появляется все больше запретов, которые устанавливает общество.

Механизм работы проекции состоит из нескольких этапов:

1. Субъект чувствует дискомфорт, раздражение, стыд. Они связаны с неправильными мыслями, поведением, которое является запретным, если смотреть с точки зрения социальных правил.
2. Появляется стремление избавиться от любых негативных эмоций. Человек начинает выносить неприятные ощущения за границы своего сознания.
3. Начинает переносить свои эмоции, негатив на других людей, чтобы избавиться от чувства стыда.

Исходя из этого принципа, можно объяснить почему заядлые пьяницы обвиняют окружающих в том, что они много пьют. Чиновники обвиняют простых людей в воровстве, чтобы оправдать собственные грехи. Мужья, которые желают изменять, часто проявляются всплески ревности к своим женам. Таких ситуаций много, каждая из них отчетливо демонстрирует работу проекции в качестве защиты собственной психики.

1.5. Свойства ортогонального проецирования

1.
Любая точка пространства имеет на
заданной плоскости единственную
проекцию.

2.
Проекция прямой линии на плоскость есть
прямая линия.

3.
Если некоторая точка принадлежит
некоторой прямой, то и проекция заданной
точки принадлежит проекции заданной
прямой.

4.
Если точка в пространстве делит отрезок
в данном отношении, то проекция этой
точки делит проекцию заданного отрезка
в том же отношении.

5.
Проекции параллельных прямых линий
– параллельны.

6.
При параллельном переносе плоскостей
проекций (или фигуры) проекция фигуры
не изменяется.

7.
Точка пересечения проекций пересекающихся
прямых является проекцией точки
пересечения этих прямых.

8.
Если хотя бы одна из сторон прямого
угла
параллельна данной плоскости проекций,
то он проецируется на эту плоскость
без искажения.

9.
Длина отрезка, в общем случае, больше
длины его проекции.

10.Если плоскость
окружности не параллельна плоскости
проекций, то проекция этой окружности
есть эллипс.

11.Геометрическую
фигуру называют проецирующей, если
одна из её проекций имеет на единицу
меньшее измерение. Например, прямая
линия, перпендикулярная плоскости
проекций, проецируется на неё в виде
точки (рис. 1.2).

A

b

b
= A

Рис.
1.2

Проекция из трёхмерного пространства на плоскость

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной проекции.

Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это аксонометрическая проекция.

• При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае — когда отрезок лежит на проекционном луче — в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
• Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
• Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае — в отрезок или окружность).

Негативное проявление проекции

Однако в большинстве случае проекция в психологии считается защитным механизмом, который существует для того, чтобы ограждать человека от различных теневых, подавленных, скрытых аспектов его личности. Вследствие работы этого механизма человек может не чувствовать свою ответственность за чувства и мысли, которые он неосознанно приписывает другим. Казалось бы, эффективный и надежный вариант защиты, однако негативным его результатом является то, что человек начинает пытаться каким-либо образом исправить тот объект, на который он проецирует свои эмоции, или вовсе избавиться от него, лишь бы не видеть и не ощущать эти эмоции. При этом в реальности объект может не иметь абсолютно ничего общего с эмоциями или мыслями индивида, который их активно проецирует.

Так, например, люди нередко не видят своих недостатков, хотя с удивительным вниманием замечают их в других. Жадный человек может везде видеть одну лишь жадность и скаредность, склонный к воровству будет полагать, что все вокруг – одни воры и проходимцы

Здесь работает хороший совет психологов: чтобы понять свои минусы, стоит вглядеться в то, за что ты критикуешь окружающих тебя людей. Что интересно, такой же механизм работает и в случае с положительными чертами характера, которые мы также часто не замечаем в себе.

Зачем нам это?

Механизмы психологической защиты помогают нам решать внутренние конфликты и справляться с тревогой, напряжением, стыдом и другими эмоциями. Так, благодаря проекции, человек может переносить ответственность и вину за некоторые свои постыдные (в его понимании) наклонности на другого человека, приписывать ему свои качества или чувства.

Почему мы не видим эти явления в себе сами? Мы можем увидеть их, но столкнуться с ними порой бывает болезненно. А все наше существо запрограммировано на стабильное и спокойное существование, и все волнующие нас события вытесняются психикой в подсознание.

Механизм проекции можно сравнить с работой кинопроектора – он помогает нам увидеть частички собственной личности, все то, что мы в ней отрицаем. Не только увидеть, но и обрести. Любая сущность стремится к целостности, и при помощи проекции мы можем вступить в диалог с теми частями собственной личности, с которыми диалог внутри невозможен

Станет ли этот диалог дружеским – не важно, главное, что он состоится. А значит, наша личность, возможно, подобно мозаике, соберет несправедливо отвергнутые части и станет наконец цельной

Что делать?

Один из способов обхождения с проекциями – это присвоение себе тех качеств, которыми мы наделяем других. Если вам кажется, что вам завидуют, спросите себя: «А кому завидую я? Для чего я обнаруживаю зависть в других людях, что мне это дает?» Или, если у вас есть ощущение, что вас все используют, ответьте себе, как вы используете других или что для вас значит использовать человека. Поразмышляйте, почему то или иное явление вас так сильно волнует, что оно говорит о вас.

Слышите чье-то мнение (то есть чью-то проекцию) о себе? Не спешите моментально реагировать и принимать все за чистую монету. Не отождествляйтесь сразу же с чужой картиной мира. Возьмите паузу и попробуйте отделить, где тут «ваше», а где «его», свойственное собеседнику.

Делая суждение о другом человеке, также не торопитесь. Даже если вы наложили призму своего опыта на него и вам кажется, что она пришлась ему почти впору, стоит проверить свою проекцию, задав прямой вопрос. Потому что непроверенная проекция – причина многих казусов. Чем меньше люди разговаривают о внутреннем, о том, что происходит между ними, тем больше они фантазируют друг о друге. И тогда проекция занимает все пространство отношений. Вплоть до того, что другому там может просто не остаться места.

По мере продвижения учебы диалоги в нашей психотерапевтической группе строились примерно так: «Я молчу? Что ты хочешь мне этим сказать? Почему тебя это цепляет?» И выяснялось, что у одного молчание вызывает страх, отвержение, у кого-то стыд, тревогу, а у кого-то уважение, в зависимости от проекций, эмоционального состояния и опыта.

Постепенно мы учились важному навыку – брать «ответственность за свое восприятие» (как говорил психиатр Фредерик Перлз) и возвращать проекции себе: говорили не о том, что другой молчалив, а о том, какие чувства это вызывает в нас. Например: «Мне очень жаль, что ты ничего не говоришь, потому что ты мне интересна и мне тебя не хватает!» Или: «Когда ты молчишь, я испытываю тревогу и чувствую себя менее безопасно и уверенно»

И подобное построение беседы, с уточнениями и высказываниями о себе и своих чувствах, помогало нам лучше понять самих себя и друг друга, узнать истинные мотивации и увидеть за пеленой своих собственных проекций другого человека – такого особенного, неповторимого и такого, на самом деле, другого.

Здесь вы можете задать вопрос психологу.

Фото: Unsplash.com

1.6. Разновидности графических задач

Все
графические задачи, встречающиеся при
построении и чтении изображений,
условно можно разделить на следующие
группы.

ПЗ
— позиционные
задачи,
которые связаны с определением по
чертежу взаимного расположения
геометрических фигур и их элементов
(точек и линий):

ПЗ.1
— разновидность позиционных задач,
связанных с определением по чертежу
порядка взаимного расположения
объектов проецирования:левее,
правее, дальше, ближе, выше, ниже.

ПЗ.2
— задачи,
связанные с определением по чертежу
принадлежности геометрическим фигурам
их элементов: точек
или линий.

ПЗ.3
— задачи,
связанные с определением по чертежу
результатов взаимного пересечения
геометрических фигур. Эти задачи
получили название: главные
позиционные задачи
(ГПЗ).

МЗ
— метрические
задачи,
которые связаны с определением по
чертежу мерных характеристик
проецируемых объектов (длин,
расстояний,
величин углов, площадей).

Всё
многообразие МЗ
решается
с использованием двух базовых задач,
получивших название основных
метрических задач
(ОМЗ):

ОМЗ.1
-задачи на
определение по чертежу длины отрезка.

ОМЗ.2
-задачи на
определение по чертежу перпендикулярности
прямых линий между собой.

КомЗ
— комплексные
задачи,
содержащие в себе несколько задач, как
позиционных, так и метрических.

КонЗ
— конструктивные
задачи,
которые связаны с построением чертежа
геометрических фигур и их элементов,
отвечающих определённым заданным
конструктивным условиям (например,
построить чертёж поверхности, все точки
которой равноотстояли бы от заданной
прямой линии).

Положительное проявление проекции

Однако проекция – это еще и тот же механизм, что лежит в основе эмпатии, позволяющей осознанно и контролируемо переживать эмоциональное состояние другого человека. Естественно, человек не может непосредственно ощутить то же, что и его собеседник, однако он может реагировать на различные проявления переживаний другого. Именно здесь включается механизм проекции в психологии индивида: он ощущает чувства другого так же, как если бы он испытывал их сам. Впрочем, в большинстве случаев мы отдаем себе отчет, что эти чувства поступают к нам будто бы извне.

Именно этот механизм позволяет нам понимать друг друга, улучшая тем самым наши отношения с друзьями и родными.