Предел (математика)

Метод замены переменной в пределе

Весьма ходовой приём решения. Метод замены переменной применяют чаще всего для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу, намного реже – к другому замечательному пределу. Рассмотрим пару типовых образцов:

Пример 14

Найти предел

Решаем:

В пределе находится арктангенс, от которого хорошо бы избавиться. Логично и очень удобно превратить «арк» в одну единственную букву. Проведём замену переменной: .

Теперь в пределе нужно выразить всё остальное через «тэ».

Во-первых, выясним, куда будет стремиться новая переменная «тэ»:
Если , то , иными словами, новоиспеченная переменная тоже будет стремиться к нулю:

Осталось в знаменателе выразить «икс» через «тэ». Для этого на обе части равенства  «навешиваем» тангенсы:

В правой части две взаимно обратные функции уничтожаются:, откуда:

Взмахи волшебной палочки закончены, остальное просто:

Предел (математика)

Используемые формулы и приёмы решения завершающего этапа очень подробно разобраны в первой части урока Замечательные пределы.

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Предел (математика)

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице. Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены  выражаем: .

Завершаем решение:Предел (математика)

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(3) Используем формулу приведения , формулы приведения также можно найти в тригонометрических таблицах.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на  и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения, приходится использовать самые разные тригонометрические формулы, а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Предел числового ряда

Последовательности типа, о которой говорилось выше, принято именовать бесконечно большими. Это и значит, что предел их равен ∞. Но числовой ряд, задаваемый обратной формулой, то есть 1/an, в математике называется бесконечно малым, потому что значения каждого из последующих чисел становятся все меньше, стремясь к нулю.

Существуют и другие типы последовательностей. К примеру, ряд, заданный выражением an = 105 — 7n, приближается по значению членов не к нулю, а к бесконечности, только отрицательной. И начиная с n = 16, составляющие числового ряда обретают минусовые значения, поэтому он не считается возрастающим, как в первом случае, и называется убывающим.

Ряд, определяемый выражением an = 1 / 2n, является бесконечно малым. Но в данном случае последовательность, заданная обратной формулой, будет, напротив, бесконечно большой.

Числовые ряды могут стремиться не только к 0 и ∞, а к какому-то определенному числу. Можно указать сколько угодно таких последовательностей. К примеру, предел an = 5n / (n + 1) равен 5.

Возможно, что последовательность и вовсе не имеет предела, тогда ее именуют расходящейся.

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция ограничена:.

Пусть функция имеет в точке конечный предел, отличный от нуля:. Тогда, для любого числа из интервала , существует такая проколотая окрестность точки , что для ,,   если ;,   если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки ,   – постоянная, то .

Если существуют конечные пределы   и   и на некоторой проколотой окрестности точки , то .

Если , и на некоторой окрестности точки , то . В частности, если на некоторой окрестности точки , то если , то и ; если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки , и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:, то.

Доказательства основных свойств приведены на странице «Основные свойства предела функции».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:  и  . И пусть – постоянная, то есть заданное число. Тогда;;;,   если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице «Арифметические свойства предела функции».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала такая проколотая окрестность точки , что для любых точек   и   из этой окрестности, выполнялось неравенство:.

«Доказательство критерия Коши».

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции Пусть функции   и   имеют пределы:;. И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой. Тогда существует предел , и он равен . Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку .

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:. Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции Пусть существует предел функции при , и он равен . Здесь точка может быть конечной или бесконечно удаленной: . И пусть функция   непрерывна в точке . Тогда существует предел , и он равен .

Доказательство теоремы приводится на странице «Предел и непрерывность сложной функции».

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:  – это иррациональное число.

В качестве параметра  может выступать не только переменная , но и сложная функция

Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности

Пример 6

Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение  , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.

Нетрудно заметить, что при  основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать  . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Предел (математика)
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:Предел (математика)

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример. Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Предел (математика)

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Предел (математика)

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .
Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :

Предел (математика)

Наконец-то долгожданное  устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :

Предел (математика)

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :

Предел (математика)

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 8

Найти предел

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :

Выражение  со спокойной душой превращаем в букву :

Предел (математика)

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Предел (математика)

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

Предел (математика)

А что такое  и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.

Чтобы окончательно разобраться в пределах функций, и во 2-м замечательном пределе в частности, настоятельно рекомендую ознакомиться с третьим уроком – Методы решения пределов.

В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все приёмы решения 1-го замечательного предела работают и для остальных замечательных пределов, читайте 2-й параграф заключительной статьи Сложные пределы.

Да, так чему же равен предел ?

Если у Вас получился ответ , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = )

Желаю успехов!

(Переход на главную страницу)

Большой толковый словарь

ПРЕДЕЛ, -а; м. 1. Край, конечная часть чего-л. П. полей, лесов. Раскинулась степь без конца и предела. Кажется, нет предела пустыни. П. жизни (кончина, смерть). 2. обычно мн.: пределы, -ов. Естественная или условная черта, являющаяся границей какой-л. территории; рубеж. Раздвинуть пределы земельного участка. Оказаться за пределами страны, отечества. Не выезжал за пределы своего государства. // чего или какие. Местность, пространство, заключённые в какие-л. границы. Лесные, заповедные пределы. Ограничен пределами комнаты. Находиться в пределах города, области. // Трад.-поэт. Край, страна. Покинуть родные пределы. Опустошить чужие пределы. Из далёких пределов кто-л. 3. только ед. Разг. Участь, судьба, удел. Такой уж п. ему был — умереть на чужбине. Видно, мне такой п. положен. 4. обычно мн.: пределы, -ов. Граница, рамки чего-л. принятого, установленного, дозволенного. Выйти за пределы допустимого. Выйти из пределов. Пределы власти. Пределы коммерческих операций. Держаться в пределах приличия. Положить, поставить п. чему-л. (прекратить, приостановить что-л.). 5. Последняя, крайняя степень чего-л. Последний, крайний п. П. терпению, жестокости. Дойти до предела нищеты. Возмущение дошло до высшего предела. Всему есть п. Нет предела моей благодарности. Любовь матери не знает пределов. Силы людей доведены до предела. П. мечтаний, счастья, желаний. П. совершенства. // Спец. Критическая точка, характеризующая возможность проявления каких-л. свойств, качеств. П. прочности. П. выносливости. П. упругости. 6. Оптимальная мера, норма чего-л. П. температуры плавления. П. жизни деревьев. П. скорости. 7. Матем. Постоянная величина, к которой приближается переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. П. числовой последовательности. Понятие о пределе. Теория пределов. На пределе. I. в зн. нареч. В крайней степени напряжения. Работать на пределе. II. в функц. сказ. В крайней степени раздражения. Кто-л. на пределе. Нервы на пределе. ПРИДЕЛ, -а; м. Пристройка православного храма со стороны южного или северного фасада или специально выделенная часть основного здания с дополнительным алтарём для отдельных богослужений. Войти в северный п. Служба идёт в правом приделе. Придельный, -ая, -ое. П. иконостас, алтарь. ПРОДЕЛ, -а; м. Название крупы (гречневой, рисовой и др.), ядра которой расколоты на крупные или мелкие части. Рисовый п. Сварить кашу из гречневого продела. Продельный, -ая, -ое. Спец. П. цех. П-ая крупа.

Идея предела

Рассматриваемое нами понятие, относимое к математическому анализу, по праву считается одним из самых тонких в этой дисциплине. И хотя указанная наука возникла относительно недавно, саму идею предела использовал в своих работах еще великий житель древних Сиракуз – Архимед. Для вычисления площадей и объемов сложных геометрических форм он применял так называемый метод исчерпывания. В отдельных своих работах он изложил некую аксиому непрерывности, которая фактически содержала в себе интуитивную идею о пределах.

Предел (математика)

Как известно, в познании математических истин Архимед значительно опередил свое время, хотя и до него находились великие умы, которые высказывали подобные соображения. Но этот гениальный философ, инженер и ученый таким образом сумел вычислить площадь круга и самых разных многоугольников, определил объем конуса, пирамиды, цилиндра, призмы, большого количества других фигур. После смерти Архимеда идеи великого грека совершенствовались и развивались более двух тысячелетий, прежде чем превратились в теорию для вычисления дифференциалов и интегралов.

Понятие предела.

Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что \(\delta\) — окрестностью точки \(a\) называется интервал длины \(2\delta\) с центром в точке \(a\), то есть множество
$$
U_{\delta}(a)=\{x:|x-a| < \delta\}=\{x:a-\delta < x < a+\delta\}.\nonumber
$$

Если из этого интервала удалить точку \(a\), то получим множество, которое называют проколотой \(\delta\)-окрестностью точки \(a\) и обозначают \(\dot{U}_{\delta}(a)\), то есть
$$
\dot{U}_{\delta}(a)=\{x:|x-a|<\delta,\ x\neq a\}=\{x:0<|x-a|<\delta\}.\nonumber
$$

Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.

Пример 1

Исследуем функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}\) в окрестности точки \(x=1\).

\(\triangle\) Функция \(f\) определена при всех \(x\in\mathbb{R}\), кроме \(x=1\), причем \(f(x)=x+1\) при \(x\neq 1\). График этой функции изображен на

Рис. 10.1

Из этого рисунка видно, что значения функции близки к 2, если значения \(x\) близки к 1 (\(x\neq 1)\). Придадим этому утверждению точный смысл.

Пусть задано любое число \(\varepsilon>0\) и требуется найти число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\) из проколотой \(\delta\)-окрестности точки \(x=1\) значения функции \(f(x)\) отличаются от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на \(\varepsilon\).

Иначе говоря, нужно найти число \(\delta>0\) такое, чтобы для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) соответствующие точки графика функции \(y=f(x)\) лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми \(y=2-\varepsilon\) и \(y=2+\varepsilon\) , то есть чтобы выполнялось условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(2)\). В данном примере можно взять \(\delta=\varepsilon\).

В этом случае говорят, что функция \(f(x)\) стремится к двум при \(x\), стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow 1\) и пишут \(\displaystyle \lim{x\rightarrow 1}f(x)=2\) или \(f(x)\rightarrow 2\) при \(x\rightarrow 1.\quad\blacktriangle\)

Пример 2

Исследуем функцию
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-x,\ \mbox{если}\ x < 0,\\
0,\ \mbox{если}\ x=0,\\
1-x^{2},\ \mbox{если}\ x>0,
\end{array}\right.\nonumber
$$
в окрестности точки \(x=0.\)

Рис. 10.2

\(\triangle\) Из графика этой функции видно, что для любого \(\varepsilon>0\) можно найти \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(0)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(1)\). В самом деле, прямые \(y=1+\varepsilon\) и \(y=1-\varepsilon\) пересекают график функции \(y=f(x)\) в точках, абсциссы которых равны \(x_{1}=-\varepsilon,\ x_2=\sqrt{\varepsilon}\). Пусть \(\delta\) — наименьшее из чисел \(|x_{1}|\) и \(x_2\), т.e. \(\displaystyle \delta=\min(\varepsilon,\sqrt{\varepsilon})\). Тогда если \(|x|<\delta\) и \(x\neq 0\), то \(|f(x)-1|<\varepsilon\), то есть для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(0)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(1)\). В этом случае говорят, что функция \(f(x)\) стремится к единице при \(x\), стремящемся к нулю и пишут,
$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{f(x)}=1.\quad\blacktriangle\nonumber
$$

В первом примере функция не определена в точке \(x=1\), а во втором функция определена в точке \(x=0\), но значение функции в точке \(x=0\) не совпадает с ее пределом при \(x\rightarrow 0\).

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…}, если

∀{\displaystyle \forall } ϵ>{\displaystyle \epsilon >0}, ∃{\displaystyle \exists } N(ϵ){\displaystyle N(\epsilon )}, ∀{\displaystyle \forall } n>N(ϵ){\displaystyle n>N(\epsilon )} |xn−a|<ϵ{\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }.

Предел последовательности обозначается limn→+∞xn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}. Куда именно стремится n{\displaystyle n}, можно не указывать, поскольку n{\displaystyle n} ∈N{\displaystyle \in \mathbb {N} }, оно может стремиться только к +∞{\displaystyle +\infty }.

Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  • limc=c{\displaystyle \lim c=c} ,c−const{\displaystyle ,c-const}
  • lim(xn+yn)=limxn+limyn{\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}} (если оба предела существуют)
  • lim(qxn)=qlimxn{\displaystyle \lim(qx_{n})=q\lim x_{n}} ,q−const{\displaystyle ,q-const}
  • lim(xnyn)=limxnlimyn{\displaystyle \lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}} (если оба предела существуют)
  • lim(xnyn)=limxnlimyn{\displaystyle \lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}} (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если an>xn>bn∀n{\displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n} и liman=limbn{\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}} , то limxn=liman=limbn{\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}} (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Критерий Коши существования предела функции.

Будем говорить, что функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x=a\) условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\) и
$$
\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x’,x″\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x’)-f(x″)| < \varepsilon.\label{ref17}
$$

Лемма

Пусть существует число \(\delta >0\) такое, что функция \(f(x)\) определена в проколотой \(\delta\) — окрестности точки \(a\), и пусть для каждой последовательности {\(x_n\)}, удовлетворяющей условию \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n\in\mathbb{N}\) и сходящейся к \(a\), соответствующая последовательность значений функции \({f(x_n)}\) имеет конечный предел. Тогда этот предел не зависит от выбора последовательности \({x_n}\), то есть если
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A,\nonumber
$$
и
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(\widetilde{x_{n}})=\widetilde{A},\nonumber
$$
где \(\widetilde{x}_n =\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n \in\mathbb{N}\) и \( \widetilde{x}_{n}\rightarrow a \) при \(n\rightarrow\infty\) то \(\widetilde{A}=A.\)

\(\circ\) Образуем последовательность
$$
x_{1},\widetilde{x}_{1}, x_{2},\widetilde{x}_{2},\ldots, x_{n},\widetilde{x}_{n},\ldots\nonumber
$$
и обозначим k-й член этой последовательности через \(y_{k}\). Так как \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}y_k=a\) (см. ) и \(y_k\in \dot{U}_{\delta}(a)\) при любом \(k\in\mathbb{N}\), то по условию леммы существует конечный \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}f(y_{k})=A’\) Заметим, что \(\{f(x_{n})\}\) и \(\{f(\widetilde{x}_{n})\}\) являются подпоследовательностями сходящейся последовательности \(\{f(y_k)\}\). Поэтому \(A=A’,\widetilde{A}=A’\) откуда получаем, что \(A=\widetilde{A}.\ \bullet\)

Теорема 3

Для того чтобы существовал конечный предел функции \(f(x)\) в точке \(x = a\) необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке a условию Коши \eqref{ref17}.

\(\circ\) Необходимость. Пусть \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\); тогда
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref18}
$$

Если \(х’,x″\) любые точки из множества \(\dot{U}_{\delta}(a)\), то из \eqref{ref18} следует, что
$$
|f(x’)-f(x″)|=|(f(x’)-A)-(f(x″)-A)|\leq|f(x’)-A|+|f(x″)-A| <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,\nonumber
$$
то есть выполняется условие Коши \eqref{ref17}.

Достаточность. Докажем, что если \(\exists\delta_{0}:\dot{U}_{\delta}(a)\subset D(f)\) и выполняется условие \eqref{ref17}, то существует предел функции \(f\) в точке \(a\). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть \(\{x_{n}\}\) — произвольная последовательность такая, что \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) и \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a.\) Докажем, что соответствующая последовательность значений функции \(\{f(x_{n})\}\) имеет конечный предел, не зависящий от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\)

Если выполняется условие \eqref{ref17}, то для каждого \(\varepsilon>0\) можно найти число \(\delta=\delta_\varepsilon>0\) такое, что
$$
\forall x’,x″\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x’)-f(x″)| <\varepsilon.\label{ref19}
$$

Так как \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x_{n}=a\), то, задав число \(\delta=\delta(\varepsilon)>0,\) указанное в условии \eqref{ref19}, найдем в силу определения предела последовательности номер \(n_{\delta}=N_{\varepsilon}\) такой, что
$$
\forall n>N_{\varepsilon}\rightarrow 0<|x_{n}-a| <\delta.\nonumber
$$
Это означает, что для любого \(n\geq N_{\varepsilon}\) и для любого \(m\geq N_{\varepsilon}\) выполняются условия \(x_{n}\in \dot{U}_{\delta}(a),\ x_{m}\in \dot{U}_{\delta}(a)\) и в силу \eqref{ref19} \(|f(x_n)-f(x_m)| <\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\{f(x_{n})\}\) является фундаментальной и согласно критерию Коши для последовательности имеет конечный предел. В силу леммы этот предел не зависит от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\) сходящейся к точке \(a\). Следовательно, функция \(f(x)\) имеет конечный предел в точке \(a\). \(\bullet\)

Замечание.

остается в силе, если точку \(a\) заменить одним из символов \(a-0, a+0,-\infty, +\infty\); при этом условие \eqref{ref17} должно выполняться в окрестности этого символа.