Что такое периметр и площадь

Изопериметрическая задача

Изопериметрическая задача — это задача нахождения фигуры с максимальной площадью среди фигур, имеющих заданный периметр.
Решение интуитивно — это окружность. В частности поэтому капли жира в бульоне имеют форму кружочков.

Задача выглядит простой, но строгое математическое доказательство сложно. Изопериметрическая задача иногда упрощается — найти четырёхугольник, треугольник или другую определённую фигуру с наибольшей площадью среди имеющих заданный периметр. Решение изопериметрической задачи для четырёхугольников — квадрат, для треугольников — правильный треугольник. В общем случае, многоугольник с n сторонами имеет максимальную площадь при заданном периметре, если он является правильным, что ближе к окружности по сравнению с неправильными многоугольниками.

Осмысление периметра

Чем мельче структура фигуры, тем меньше площадь и тем больше периметр. Выпуклая оболочка остаётся той же самой.

Периметр крепости Нёф-Бризах сложный. Кратчайший путь для обхода крепости — по границе выпуклой оболочки.

Периметр и площадь являются двумя основными измерениями геометрических фигур, их часто путают. Нередко также считают, что увеличение одной из этих величин приводит к увеличению другой. Действительно, увеличение (или уменьшение) размера фигуры приводит к увеличению (или уменьшению) её площади, так же как и её периметра. Так, например, если нарисовать карту поля в масштабе 1/10 000, действительные размеры периметра можно вычислить простым умножением на 10 000. Действительная площадь будет в 10 0002 раз больше площади фигуры на карте.

Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром фигур. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 чуть больше 2000, в то время, как периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Площади обеих фигур равны 1.

Прокл (V-й век) писал, что греческие крестьяне делили поля, опираясь на периметры, однако урожай с поля пропорционален площади, а не периметру, и много наивных крестьян получали поля с большим периметром, но малой площадью.

Если удалить часть фигуры, её площадь уменьшится, а вот периметр может и не уменьшиться. В случае очень неправильных фигур некоторые могут спутать периметр с выпуклой оболочкой. Выпуклую оболочку визуально можно представить как резинку, натянутую вокруг фигуры. На рисунке слева все фигуры имеют одну выпуклую оболочку (шестиугольник).

Цель инноваций

В первую очередь предполагается изменение качественных характеристик личности в сравнении с традиционной образовательной системой. Подобные преобразования возможны при внедрении в практическую деятельность учителей воспитательных и дидактических программ, благодаря которым формируется нешаблонное творческое мышление детей, в максимальной степени происходит раскрытие их природных задатков. Все инновации в образовании касаются развития самостоятельности подрастающего поколения, желания их постигать инновационные достижения науки, использовать в повседневной жизни навыки и умения, сформированные в процессе учебной деятельности.

Осмысление периметра

Чем мельче структура фигуры, тем меньше площадь и тем больше периметр. Выпуклая оболочка остаётся той же самой.

Периметр крепости Нёф-Бризах сложный. Кратчайший путь для обхода крепости — по границе выпуклой оболочки.

Периметр и площадь являются двумя основными измерениями геометрических фигур, их часто путают. Нередко также считают, что увеличение одной из этих величин приводит к увеличению другой. Действительно, увеличение (или уменьшение) размера фигуры приводит к увеличению (или уменьшению) её площади, так же как и её периметра. Так, например, если нарисовать карту поля в масштабе 1/10 000, действительные размеры периметра можно вычислить простым умножением на 10 000. Действительная площадь будет в 10 0002 раз больше площади фигуры на карте.

Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром фигур. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 чуть больше 2000, в то время, как периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Площади обоих фигур равны 1.

Прокл (V-й век) писал, что греческие крестьяне делили поля, опираясь на периметры, однако урожай с поля пропорционален площади, а не периметру, и много наивных крестьян получали поля с большим периметром, но малой площадью.

Если удалить часть фигуры, её площадь уменьшится, а вот периметр может и не уменьшиться. В случае очень неправильных фигур некоторые могут спутать периметр с выпуклой оболочкой. Выпуклую оболочку визуально можно представить как резинку, натянутую вокруг фигуры. На рисунке слева все фигуры имеют одну выпуклую оболочку (шестиугольник).

Купить эту книгу

Об этой статье

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры. Количество просмотров этой статьи: 166 673.

Категории: Геометрия

English:Find the Area of a Regular Pentagon

Italiano:Calcolare l’Area di un Pentagono

Português:Descobrir a Área de um Pentágono

Deutsch:Die Fläche eines Pentagons berechnen

Español:encontrar la superficie de un pentágono

Français:calculer l’aire d’un pentagone

中文:求五边形的面积

Bahasa Indonesia:Menghitung Luas Segi Lima

Nederlands:De oppervlakte van een vijfhoek berekenen

العربية:حساب مساحة خماسي الأضلاع

ไทย:หาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมธรรมดา

日本語:通常の五角形の面積を求める

हिन्दी:एक रेगुलर पंचकोण (Pentagone) का क्षेत्रफल निकालें

Türkçe:Bir Düzgün Beşgenin Alanı Nasıl Bulunur

Печать

Геометрия многоугольника

Полигон может быть абсолютно любой формы: это и кремлевская звезда, и заплатка на ткани, и ковер на стене, и даже строгие буквы на вывеске. Все полигоны делятся на две большие группы:

  • выпуклые, диагонали которых лежат внутри фигуры (все правильные многоугольники, а также треугольники, ромбы или трапеции);
  • невыпуклые, диагонали которых выходят за рамки фигуры (звезды, буквы и любые формации, образованные замкнутой ломанной).

Кроме выпуклых n-угольников существует целый класс невыпуклых, но при этом правильных полигонов. Звездчатый многоугольник — это полигон, образованный диагоналями правильного многоугольника. Углы и стороны звездчатой фигуры равны, что соответствует критериям правильности. Например, диагонали пентагона (пятиугольника) образуют пентаграмму — наиболее известный звездчатый полигон. Кроме него, существуют также гексаграммы, октограммы и даже додекаграммы.

Построение правильного выпуклого полигона с n-количеством сторон оставалось нерешенной задачей для геометров вплоть до 19-го века. В Древней Греции Евклид разработал метод построения правильных полигонов при помощи линейки и циркуля: ученому удалось построить фигуры с количеством сторон n = 3, 4, 5, 6, 8, 12 и 15. Однако построить полигон с n > 15 никому не удавалось вплоть до момента, когда Карл Гаусс доказал теорему, что при помощи чертежных инструментов можно построить только полигоны с количеством сторон, равным числам Ферма. На данный момент это числа 17, 257 и 65 537.

Периметр многоугольника

Периметр — это сумма сторон фигуры. Так как у правильного полигона все стороны равны, то формула для вычисления периметра фигуры предельно проста:

P = a × n,

где a — длина стороны, n — количество сторон.

Однако в школьных или практических задачах нам не всегда будет дана длина стороны. Не беда, так как вокруг любой правильной геометрической фигуры можно описать окружность или вписать ее внутрь. Между стороной многоугольника и радиусами соответствующих окружностей существуют зависимости:

a = 2 tg (pi/n) × r

a = 2 sin (pi/n) × R

Следовательно, для вычисления периметра любого правильного n-угольника вам, кроме количества сторон n, потребуется узнать всего одну переменную:

  • сторону a;
  • радиус вписанной окружности r;
  • радиус описанной окружности R.

Рассмотрим примеры для вычисления периметра полигональных фигур.