Острый угол

Угол и скалярное произведение

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x,y){\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x{\displaystyle x} и y.{\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя ||x||=(x,x).{\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского (Коши — Шварца) для скалярного произведения: |(x,y)|⩽||x||⋅||y||,{\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина (x,y)||x||⋅||y||{\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически — их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x,y)||x||⋅||y||{\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x{\displaystyle x} и y.{\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале a,b{\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f,g)=∫abf(x)g(x)dx,{\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как ||f||2=∫abf2(x)dx.{\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора gij.{\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u,v)=gijuivj,{\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов — ||u||=|gijuiuj|{\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и ||v||=|gijvivj|.{\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos⁡θ=(u,v)||u||⋅||v||=gijuivj|gijuiuj|⋅|gijvivj|.{\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}

См. также

  • Углы Эйлера
  • Двугранный угол
  • Трёхгранный угол
  • Телесный угол
  • Азимут (геодезия)
  • Магнитный азимут
  • Азимут (астрономия)
  • Угловой размер
  • Угол места
  • Угол скольжения
  • Румб
  • Кастор (угол)
  • Золотое сечение
  • Угол обзора
  • Угол поля зрения объектива
  • Угловое разрешение
  • Угол поворота
  • Угол (наклона, уклона)
  • Угловая скорость (& CAV)
  • Угловое ускорение
  • Угловая частота
  • Угловой коэффициент (Линейная функция)
  • Изогона
  • Закон постоянства углов
  • Решение треугольников
  • Ортогональность
  • Тригонометрия
  • Пентагон (значения)
  • Полигонометрия
  • Триангуляция
  • Позиционный угол и Угловое расстояние (Полярные координаты)
  • Аспект (астрология)
  • Склонение (астрономия) и Часовой угол (Системы небесных координат)
  • Дирекционный угол
  • Тригонометрический параллакс & Параллактический угол
  • Астрономическая рефракция

Виды углов: острый, прямой, тупой, полный

Острый угол

Острый угол это угол, значение которого меньше 90 градусов. В произвольном параллелограмме всегда есть два острых и два тупых угла, тогда как в произвольном треугольнике все углы прямые. Если хоть один из углов треугольника прямой или тупой, то фигуру уже нельзя считать произвольной.

Острый угол

Рис. 1. Острый угол.

Прямой угол

Прямой угол очень много значит в геометрии. Прямой угол в параллелограмме, означает, что перед вами квадрат или прямоугольник. Произвольный треугольник, если доказать, что в нем есть прямой угол, сразу же превращается в прямоугольный треугольник, для которого действует больший набор теорем и правил, нежели для произвольного.

Острый угол

Рис. 2. Прямой угол.

Тупой угол

Тупой угол, это угол больше 90 градусов. Это значение очень широко используется в задачах по тригонометрии. Но и в геометрии очень часто можно встретить задачи на тупоугольный треугольник. Считается, что тупоугольный треугольник сложнее воспринимается чисто визуально, но на деле, стоит только привыкнуть и задачи эти уже не будут казаться такими страшными.

Острый угол

Рис. 3. Тупой угол.

Полный угол

Полный угол это угол в 360 градусов. То есть тот самый момент, когда минутная и часовая стрелка совпадает.

Тогда с одной стороны будет полный угол, а с другой угол в 0 градусов. Чисто теоретически и нулевой угол тоже существует, он означает, что стрелки или лучи друг от друга не отклонялись.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое угол, определили виды углов, поговорили о том, какую роль каждый из видов играет в геометрии и привели примеры каждого из них.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 10

Начать тест(новая вкладка)

Центральный и вписанный угол

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

  • Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.
  • Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, , опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (розового цвета). То есть угол θ не меняет своей величины от вершины к вершине, взятой на окружности (зелёный и голубой углы). Внешний угол для вписанного с другой стороны угла окружности имеет ту же величину θ (коричневого цвета)

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (см. рис.).

Обозначение углов

«∠», обозначение угла в геометрии.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: ∠,{\displaystyle \angle ,} предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ABC.{\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B{\displaystyle B} — вершина, а A{\displaystyle A} и C{\displaystyle C} — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.
См. .

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠(bc){\displaystyle \angle (bc)} — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠BAC{\displaystyle \angle BAC}, α, который надо было бы обозначить ∠(cb){\displaystyle \angle (cb)}.

Так, для рисунка справа записи γ, ∠ACB{\displaystyle \angle ACB} и ∠(ba){\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми AB{\displaystyle AB}и CD{\displaystyle CD} (обозначение: ∠(AB,CD){\displaystyle \angle (AB,CD)}) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB{\displaystyle AB} так, чтобы она стала параллельна прямой CD.{\displaystyle CD.} При этом углы, отличающиеся на n·180° (n — целое число), считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD{\displaystyle CD} и AB{\displaystyle AB} не равен ориентированному углу между прямыми AB{\displaystyle AB} и CD{\displaystyle CD} (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а) ∠(AB,BC)=−∠(BC,AB);{\displaystyle \angle (AB,BC)=-\angle (BC,AB);} б) ∠(AB,CD)+∠(CD,EF)=∠(AB,EF);{\displaystyle \angle (AB,CD)+\angle (CD,EF)=\angle (AB,EF);} в) точки A,B,C,D,{\displaystyle A,B,C,D,} не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда ∠(AB,BC)=∠(AD,DC).{\displaystyle \angle (AB,BC)=\angle (AD,DC).}

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую (−∞;+∞){\displaystyle (-\infty ;+\infty )}: вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается на рассматриваемый в стереометрии телесный угол.

Телесный угол

Основная статья: Телесный угол

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах — в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

  • двугранный угол — часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
  • трёхгранный угол — часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
  • многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре — прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ, то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ.

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке Р определяется как угол между касательными А и В в P.

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Угол в метрическом пространстве

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X,ρ){\displaystyle (X,\rho )} — метрическое пространство. Пусть далее, x,y,z{\displaystyle x,y,z} — элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y{\displaystyle y} и z{\displaystyle z} с вершиной в точке x{\displaystyle x} как неотрицательное число yxz^{\displaystyle {\widehat {yxz}}}, которое удовлетворяет трём аксиомам:

  • yxz^=zxy^{\displaystyle {\widehat {yxz}}={\widehat {zxy}}}
  • yxz^={\displaystyle {\widehat {yxz}}=0} тогда и только тогда, когда ρ(y,z)=|ρ(x,y)−ρ(x,z)|{\displaystyle \rho (y,z)=|\rho (x,y)-\rho (x,z)|}
  • yxz^=π{\displaystyle {\widehat {yxz}}=\pi } тогда и только тогда, когда ρ(y,z)=ρ(x,y)+ρ(x,z){\displaystyle \rho (y,z)=\rho (x,y)+\rho (x,z)}

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

yxz^w=arccos⁡ρ2(x,y)+ρ2(x,z)−ρ2(y,z)2ρ(x,y)ρ(x,z){\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y−x{\displaystyle y-x} и z−x{\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.

Плоские углы

Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия (в том числе двугранного, трёхгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

Вертикальные и прилежащие углы

  • Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.
  • Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями, лежащими в одной плоскости. Величина угла, образованного внешними (не общими) сторонами прилежащих углов равна сумме величин самих прилежащих углов (на рисунке α + β).

Частные случаи прилежащих углов.

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами

Углы с параллельными сторонами.

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180° (см. рисунок) — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы («склеив» сонаправленные стороны).

Внешний угол треугольника

Основная статья: Теорема о внешнем угле треугольника

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с внешним углом.

Углы многоугольника

Основная статья: Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов αi произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nαi=(n−2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.}

Так,

  • сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
  • четырёхугольника — 360°,
  • пятиугольника — 540° и так далее.

Следствие

Назовём внешним углом βi (внимание, это не обычное определение внешнего угла) угол, дополняющий внутренний угол αi до полного угла: βi = 360° − αi.

Сумма внешних углов произвольного n-угольника без самопересечений равна ∑i=1nβi=n⋅360∘−∑i=1nαi=(n+2)⋅180∘.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}=n\cdot 360^{\circ }-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=(n+2)\cdot 180^{\circ }.}

Литература

  • Барабанов О.О. Начала истории прямого угла // История науки и техники, 2015. №1. С. 16-27.*
  • Сидоров Л. А. Угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 459‒460. — 623 с. — 150 000 экз.
  • Двугранный угол // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 50. — 552 с. — 150 000 экз.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30‒31. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Угломерные приборы/Угол (плоский) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. XXVI. — С. 459‒460. — 624 с.
  • K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry (англ.) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — P. 721‒745.

Определение

Что такое угол? Существует три определения угла. Рассмотрим каждое из них, выберем наиболее простое и понятное.

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. То есть это просто два луча. Это определение дается практически в каждом учебнике геометрии. Оно правильное, но прочитав его, не совсем понятно, откуда берется значение угла.

Угол – это плоскость, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки. То есть, два луча “откусывают кусочек пространства”.

Угол – это мера поворота луча, вокруг своего начала. Это сложно понять, но легко представить. Представьте часы. Вот на часах 12 часов дня, минутная и часовая стрелка находятся на одном уровне, тут минутная стрелка начинает двигаться. И каждый раз, время, а значит положение стрелок можно определить именно углом между часовой и минутной стрелкой. Углы могут быть разными, но если выделять угол в каждый момент времени дугой, то можно заметить, что дуга в конце концов превратится в круг.

Именно круг и является началом отчета для градуса. Дуга $$1\over360$$ части круга это градус. А по количеству градусов в угле можно выделить основные виды углов между прямыми: острые, прямые, тупые и полные углы.