Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Таблица основных неопределённых интегралов

∫⋅dx=C;{\displaystyle \int 0\cdot dx=C;}
∫1⋅dx=x+C;{\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;}
∫xndx=xn+1n+1+C{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} (n≠−1);{\displaystyle (n\neq -1);}
∫1xdx=ln∣x∣+C;{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;}
∫exdx=ex+C;{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;}
∫axdx=axln⁡a+C,{\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,} (a>,a≠1);{\displaystyle (a>0,a\neq 1);}
∫cos⁡xdx=sin⁡x+C;{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;}
∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C;{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;}
∫dxcos2⁡x=tgx+C;{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;}
∫dxsin2⁡x=−ctgx+C;{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;}
∫dx1−x2=arcsin⁡x+C=−arccos⁡x+C′(C′=π2+C);{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C’={\frac {\pi }{2}}+C);}
∫dx1+x2=arctgx+C;{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;}
∫chxdx=shx+C;{\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;}
∫shxdx=chx+C;{\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;}

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа C{\displaystyle C} такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

Словарь синонимов

нож Л без ножа зарезать, быть на ножах, приставать с ножом к горлу, приступать с ножом к горлу, тупым ножом резатьножка Л подставить ножку, протягивать ножки по одежке, подставить ножку, протянуть ножки

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C.

Первообразная функции f(x) на промежутке (a; b) это такая функция F(x), при которое формула F'(x)=f(x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F(x)+C’=f(x).

Получается, что функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы C. Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫f(x)dx=F(x)+C. При этом, выражение f(x)dx является подынтегральным выражением, а f(x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫f(x)dx’=F(x)+C’=f(x)

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫d(F(x))=∫F'(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫k·f(x)dx=k·∫f(x)dx, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k·∫f(x)dx’=k·∫d(x)dx’=k·f(x)∫f(x)dx±∫g(x)dx’=∫f(x)dx’±∫g(x)dx’=f(x)±g(x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найдем первообразную функции f(x)=1x, значение которой равно единице при х=1.

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем:

d(ln x)=(ln x)’dx=dxx=f(x)dx∫f(x)dx=∫dxx=∫d(ln(x))

Используя второе свойство ∫d(ln(x))=ln(x)+C, мы получаем множество первообразных ln(x)+C. При х=1 получим значение ln(1)+C=0+C=C. Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид  ln(x)+1.

Ответ: f(x)=1x=ln(x)+1

Пример 2

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫2sinx2cosx2dx и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2sinx2cosx2=sin x, получим ∫2sinx2cosx2dx=∫sin xdx.

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

  • d(cos x)=cos x’dx=-sin xdx⇒sin xdx=-d(cos x)
  • То есть, ∫sin xdx=∫(-d(cos x))
  • Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫-d(cos x)=-∫d(cos x).
  • По второму свойству получаем -∫d(cos x)=-(cos x+C)
  • Следовательно, ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C.
  • Проверим полученный результат дифференцированием.
  • Продифференцируем полученное выражение:
    -cos x-C’=-(cos x)’-(C)’=-(-sin x)=sin x=2sinx2cosx2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫2sin x2cosx2dx=-cos x-C

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Почему вы не знаете, как решать интегралы

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

  • вычисление площади фигуры.
  • вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
  • определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
  • и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Таблица основных неопределённых интегралов

∫⋅dx=C;{\displaystyle \int 0\cdot dx=C;}
∫1⋅dx=x+C;{\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;}
∫xndx=xn+1n+1+C{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} (n≠−1);{\displaystyle (n\neq -1);}
∫1xdx=ln∣x∣+C;{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;}
∫exdx=ex+C;{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;}
∫axdx=axln⁡a+C,{\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,} (a>,a≠1);{\displaystyle (a>0,a\neq 1);}
∫cos⁡xdx=sin⁡x+C;{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;}
∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C;{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;}
∫dxcos2⁡x=tgx+C;{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;}
∫dxsin2⁡x=−ctgx+C;{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;}
∫dx1−x2=arcsin⁡x+C=−arccos⁡x+C′(C′=π2+C);{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C'(C’={\frac {\pi }{2}}+C);}
∫dx1+x2=arctgx+C;{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;}
∫chxdx=shx+C;{\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;}
∫shxdx=chx+C;{\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;}

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа C{\displaystyle C} такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

Интеграл от корня из дроби

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:, где  – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .

Выражаем «икс»:

Теперь найдем дифференциал:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !

Формулы замены таковы:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.

Опять – двадцать пять, заключительный пример:

Пример 25

Найти неопределенный интеграл

Проведем замену:

В данном примере: Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Таким образом:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:

Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку  и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:Проведем замену:Интегрируем по частям:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 3: Ответ:

Пример 4: Ответ:

Пример 6: Решение:Интегрируем по частям:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задачТаким образом:В результате:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 8: Решение:Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задачТаким образом:

Пример 10: Решение:Проведем замену: Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 11: Решение:Замена: Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 12: Решение:Замена: Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 14: Решение:Дважды используем рекуррентную формулу Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задачПервообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 16: Решение:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 18: Решение: Используем формулу приведения:  и формулу двойного угла: .Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 19: Решение:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 21: Решение:–3 – 3 = –6 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ числоПервообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 23: Решение:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 24: Решение:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

(Переход на главную страницу)

Метод интегрирования по частям.

Пусть функции \(u(x)\) и \(v(x)\) имеют непрерывные производные на промежутке \(\Delta\). Тогда функция \(uv\) также имеет непрерывную производную на \(\Delta\) и согласно правилу дифференцирования произведения выполняется равенство
$$
uv’=(uv)’-vu’.\nonumber
$$

Интегрируя это равенство и учитывая, что
$$
\int (uv)’dx=uv + C,\nonumber
$$
получаем
$$
\int uv’dx = uv + C — \int vu’ dx.\nonumber
$$

Относя произвольную постоянную \(C\) к интегралу \(\displaystyle \int vu’dx\), находим
$$
\int uv’dx = uv-\int vu’dx,\label{ref21}
$$
или
$$
\int udv = uv-\int vdu,\label{ref22}
$$

Формула \eqref{ref21} или \eqref{ref22} называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла \(\displaystyle udv\) к вычислению интеграла \(\displaystyle vdu\).

Пример 15.

$$
\int x\cos x dx=\int x d(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x-\cos x+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Пример 16.

Вычислить интеграл
$$
J=\int \sqrt{x^2+a}dx.\nonumber
$$

\(\triangle\) Полагая \(u=\displaystyle\sqrt{x^2+a},\ v=x\), по формуле \eqref{ref21} находим
$$
J=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx,\nonumber
$$
где
$$
\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=\int \frac{x^2+a-a}{\sqrt{x^2+a}}dx=J-a\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}.\nonumber
$$

Отсюда получаем уравнение относительно \(J\):
$$
J=x\sqrt{x^2+a}-J+a\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}.\nonumber
$$

Используя результат , находим
$$
\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}\operatorname{ln}|x+\sqrt{x^2+a}|+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Пример 17.

Пусть
$$
J_n=\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n},\quad n\in\mathbb{N},\quad a\neq 0.\nonumber
$$
Выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла \(J_n\).

\(\triangle\) Пусть \(u=(x^2+a^2)^{-n},\ v=x\). Тогда \(u’=-2nx(x^2 + a^2)^{-n-1},\ v’=1\) и по формуле \eqref{ref21} получаем
$$
J_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx,\nonumber
$$
где
$$
\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=\int \frac{(x^2+a^2)-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=J_n-a^2J_{n+1}.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
J_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nJ_n-2na^2J_{n+1},\nonumber
$$
откуда
$$
J_{n+1}=\frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}J_n.\ \blacktriangle\label{ref23}
$$

Замечание 7.

Так как
$$
J_1=\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C,\nonumber
$$
то из формулы \eqref{ref23} находим
$$
J_2=\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{x}{2a^2(x^2+a^2)}+\frac{1}{2a^3}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C.\nonumber
$$

Замечание 8.

Повторное применение формулы \eqref{ref21} позволяет получить обобщенную формулу интегрирования по частям
$$
\int uv^{(n+1)}dx=\\=uv^{(n)}-u’v^{(n-1)}+u″v^{(n-2)}+…+(-1)^n u^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx\label{ref24}
$$
в предположении, что существуют непрерывные производные \(u^{(n+1)},\ v^{(n+1)}\) на рассматриваемом промежутке. При \(n=1\) формула \eqref{ref24} принимает вид
$$
\int uv″dx=uv’-u’v+\int u″vdx.\label{ref25}
$$

Пример 18.

Вычислить интеграл
$$
J = \int x^2 e^x dx.\nonumber
$$

\(\triangle\) Полагая \(u=x^2,\ v = e^x\) и учитывая, что \(u’=2x,\ u″ = 2,\ v’=v″=e^x\), получаем по формуле \eqref{ref25}
$$
J = x^2 e^x-2x e^x+2\int e^x dx,\nonumber
$$
откуда
$$
\int x^2 e^x dx=(x^2-2x+2)e^x+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Пример 19.

Вычислить интеграл
$$
J=\int e^{\alpha x}\cos \beta x dx,\quad \alpha\beta\neq 0.\nonumber
$$

\(\triangle\) Положим \(u= \cos \beta x,\ v=\displaystyle\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2}\). Тогда \(u’=-\beta \sin\beta x,\ u″=-\beta^2\cos\beta x,\ v’=\displaystyle\frac{e^{\alpha x}}{\alpha},\ v″=e^{\alpha x}\). По формуле \eqref{ref25} находим
$$
J =\frac{e^{\alpha x}}{\alpha}\cos\beta x+\frac{\beta}{\alpha^2}e^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\beta^2}{\alpha^2}J + C,
$$
откуда
$$
J=\frac{\alpha \cos\beta x+\beta\sin \beta x}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}+C_1.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла.
Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения   и, после того, как мы возьмем интеграл .

Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный.

Пример 8

Вычислить определенный интеграл

Решаем.

Интегрируем по частям:

У кого возникли трудности с интегралом , загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций, там он подробно разобран.

Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

(1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям.

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл  также разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Далее ответ доводится «до ума». Повторюсь, будьте ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫ при подстановках и заключительных вычислениях. Здесь допускают ошибки чаще всего.

Если честно, я недолюбливаю формулу  и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален.

Вычислить определенный интеграл

На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл:

Интегрируем по частям:

Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач
Первообразная функция найдена. Константу  в данном случае добавлять не имеет смысла.

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования

На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно.

Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле  (первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку.

Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла.

Уважаемый студент, распечатай и сохрани:

Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов.

2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием. Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО  –  тут самое слабое звено задания.

И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9

Вычислить определенный интеграл

Решение и ответ где-то рядом.

Следующий рекомендуемый урок по теме – Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла? Там речь пойдет о геометрическом смысле определенного интеграла. Дополнительные материалы по определенному интегралу также можно найти в статье Эффективные методы вычисления определенных интегралов. Данный урок содержит ряд очень важных технических приёмов и позволит существенно повысить навыки вычисления определенного интеграла.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 4: Решение:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 6: Решение:

Проведем замену переменной: ,Новые переделы интегрирования:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Примечания: В рассмотренном интеграле – как раз тот случай, когда уместно применить свойство определенного интеграла . Если не совсем понятно, почему из арктангенса можно вынести минус, рекомендую обратиться к методическому материалу Графики и свойства элементарных функций.

Пример 7: Решение:Замена: Новые пределы интегрирования:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Пример 9: Решение:Интегрируем по частям:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач

Вы точно их прорешали и получили такие ответы? 😉 И на старуху бывает порнуха.

(Переход на главную страницу)

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть означает рациональную функцию от переменных . То есть, где – многочлены от переменных .

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида:, где   – рациональные числа, – целые числа. Пусть – общий знаменатель чисел . Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:.

См. подробнее: Интегрирование дробно-линейной иррациональности >>>

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл: , где – рациональные числа, – действительные числа. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

  1)   Если – целое. Подстановка , где – общий знаменатель дробей и .   2)   Если – целое. Подстановка , где – знаменатель числа .   3)   Если – целое. Подстановка , где – знаменатель числа .

Если ни одно из трех чисел     не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям и . Это можно сделать с помощью формул приведения: ;.

См. подробнее: Интегрирование дифференциального бинома >>>

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:  , при ;  , при ;  , где – корень уравнения . Если это уравнение имеет действительные корни.

См. подробнее: Подстановки Эйлера >>>

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Также эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В некоторых случаях этот способ вычисления интеграла является самым простым. См. подробнее: Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

Интеграл вида: , где – многочлен степени .

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество: Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты .

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочлена дробь квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

II тип

Интеграл вида: , где – многочлен степени .

Подстановкой   этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если , то у дроби     следует выделить целую часть.

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочлена дробь степень от двучлена квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

III тип

Третий и наиболее сложный тип:.

Здесь нужно сделать подстановку:. После чего интеграл примет вид:Первообразная. неопределенный интеграл. правила интегрирования. таблица интегралов. примеры решения задач. Далее, постоянные нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при обратились в нуль:. Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов: ; , которые интегрируются, соответственно подстановками:;.

См. подробнее: Вычисление интегралов от двучлена дробь степень от трехчлена квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

Общий случай

Самый общий интеграл вида: , сводится к интегралам трех предыдущих типов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать подынтегральную функцию к виду:, где – рациональные функции от , . Далее,, где – рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получаются интегралы трех рассмотренных типов. См. подробнее: Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена >>>

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий