Геометрическая фигура многоугольник

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m — 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2m⋅p1k1⋅p2k2{\displaystyle 2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}} сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2{\displaystyle {p_{1}},{p_{2}}} — числа 3 и 5, а k1,k2{\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}} принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2kp1k1p2k2⋯psks{\displaystyle 2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}}}, где k{\displaystyle {k_{0}}} — целое неотрицательное число, k1,k2,…,ks{\displaystyle {k_{1}},{k_{2}},\dots ,{k_{s}}} принимают значения 0 или 1, а pj{\displaystyle {p_{j}}} — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

Свойства

  • Сумма внутренних углов плоского n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений равна (n−2)⋅180∘{\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}.
  • Число диагоналей всякого n{\displaystyle n}-угольника равно n⋅(n−3)2{\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}.

Площадь

Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,…,n{\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}, где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Варианты определений

Геометрическая фигура многоугольник
Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Варианты определений

Геометрическая фигура многоугольник
Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Треугольный многоугольник

Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.

В зависимости от особенностей, фигура может называться:

  • разносторонней — многоугольник, у которого все 3 стороны не равны;
  • равнобедренной — длины любых двух граней совпадают;
  • равносторонней (правильной) — все стороны фигуры одинаковые.

Геометрическая фигура многоугольник

Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.

Геометрическая фигура многоугольник

Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.

Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.

Свойства

  • Сумма внутренних углов плоского n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений равна (n−2)⋅180∘{\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}.
  • Число диагоналей всякого n{\displaystyle n}-угольника равно n⋅(n−3)2{\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}.

Площадь

Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,…,n{\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,…,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n{\displaystyle n}-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}, где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Четырехугольник

Четырехугольник имеет не меньшее количество разновидностей, чем треугольник. Но основных всего две, это параллелограмм и трапеция.

Параллелограммом называют выпуклый четырехугольник, у которого стороны попарно равны и параллельны

Обратите внимание, что в определении треугольника никогда не используют параметр «выпуклый», о котором мы говорили в начале. Дело в том, то треугольники всегда выпуклые, а вот уже четырехугольники могут быть и невыпуклыми

Параллелограмм в зависимости от равенства элементов: углов и сторон – подразделяется на следующие фигуры:

  • Квадрат.
  • Прямоугольник.
  • Ромб.
  • Произвольный параллелограмм.

Все эти, привычные нам, фигуры являются разновидностями параллелограммов.

Геометрическая фигура многоугольник

Рис. 3. Виды параллелограмма.

Трапецией зовется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. При этом существует множество четырехугольников, которые не входят ни в одну из групп. Такие фигуры называют произвольными четырехугольниками.

Именование

Слово многоугольник происходит от позднего латинского polygōnum (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), существительного, использующего средний язык от πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (а иногда классифицируют) в соответствии с числом сторон, сочетая греческий -derived числового префикса с суффиксом -угольник , например , пятиугольник , двенадцатиугольником . Треугольник , четырехугольник и девятиугольник исключение.

Помимо десятиугольников (10-сторонних) и додекагонов (12-сторонних) математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник.

Исключения существуют для боковых подсчетов, которые легче выразить в устной форме (например, 20 и 30) или которые используются не математиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные имена; например, правильный пятиугольник звезды также известен как пентаграмма .

Имена многоугольников и прочие свойства
название Стороны Свойства
моногон 1 Обычно не считается многоугольником, хотя в некоторых дисциплинах, таких как теория графов, иногда используется этот термин.
Digon 2 Обычно не считается многоугольником на евклидовой плоскости, хотя может существовать как сферический многоугольник .
треугольник (или тригон) 3 Простейший многоугольник, который может существовать в евклидовой плоскости. Можно выложить самолет плиткой .
четырехугольник (или четырехугольник) 4 Самый простой многоугольник, который может пересекаться; простейший многоугольник, который может быть вогнутым; простейший многоугольник, который может быть нециклическим. Можно выложить самолет плиткой .
пятиугольник 5 Простейший многоугольник, который может существовать как правильная звезда. Звездный пятиугольник известен как пентаграмма или пентакль.
шестиугольник 6 Можно выложить самолет плиткой .
семиугольник (или септагон) 7 Простейший многоугольник такой, что правильная форма не может быть построена с помощью циркуля и линейки . Однако его можно построить с помощью конструкции Нойсиса .
восьмиугольник 8
нонагон (или эннеагон) 9 «Нонагон» смешивает латинский [ novem = 9] с греческим, «enneagon» — это чисто греческий язык.
десятиугольник 10
hendecagon (или undecagon) 11 Простейший многоугольник такой, что правильную форму нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла .
двенадцатиугольник (или двенадцатиугольник) 12
трехугольник (или трехугольник) 13
тетрадекагон (или тетракаидекагон) 14
пятиугольник (или пятиугольник) 15
hexadecagon (или hexakaidecagon) 16
гептадекагон (или гептадекагон) 17 Конструируемый многоугольник
octadecagon (или octakaidecagon) 18
enneadecagon (или enneakaidecagon) 19
икосагон 20
икоситетракон (или икосикаитетракон) 24
триаконтагон 30
тетраконтагон (или тессарактагон) 40
пятиугольник (или пятиугольник) 50
шестиугольник (или шестиугольник) 60
гептаконтагон (или hebdomecontagon) 70
восьмиугольник (или огдоэконтагон) 80
эннеконтагон (или эннеконтагон) 90
гектогон (или гекатонтагон) 100
257-угольник 257 Конструируемый многоугольник
чилиагон 1000 Философы, включая Рене Декарта , Иммануила Канта , Дэвида Юма , использовали хилиагон в качестве примера в своих дискуссиях.
мириагон 10 000 Используется в качестве примера в некоторых философских дискуссиях, например, в « Размышлениях Декарта о первой философии».
65537-угольник 65 537 Конструируемый многоугольник
мегагон 1,000,000 Как и в случае с хилиагоном, приведенным Рене Декартом, многоугольник с миллионной гранью использовался как иллюстрация четко определенной концепции, которую невозможно визуализировать. Мегагон также используется как иллюстрация сходимости правильных многоугольников к окружности.
апейрогон Вырожденный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Создание более высоких имен

Чтобы создать имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. Термин «кай» применяется к 13-угольникам и выше, использовался Кеплером и поддерживался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных чисел при именовании квазирегулярных многогранников .

Десятки и Единицы последний суффикс
-kai- 1 -hena- -угольник
20 icosi- (icosa- в одиночестве) 2 -ди-
30 триаконта- (или триконта-) 3 -три-
40 тетраконта- (или тессаракта-) 4 -тетра-
50 пентаконта- (или пентеконта-) 5 -penta-
60 гексаконта- (или гексеконта-) 6 -hexa-
70 гептаконта- (или гебдомеконта-) 7 -гепта-
80 октаконта- (или огдоэконта-) 8 -окта-
90 enneaconta- (или eneneconta-) 9 -ennea-

Компьютерная графика

В компьютерной графике многоугольник — это примитив, используемый при моделировании и визуализации. Они определены в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин , а также другие атрибуты многоугольника, такие как цвет, затенение и текстура), информацию о связях и материалы .

Любая поверхность моделируется как тесселяция, называемая полигональной сеткой . Если квадратная сетка имеет n + 1 точку (вершину) на каждой стороне, в ней есть n квадратов или 2 n прямоугольных треугольников, поскольку в квадрате два треугольника. Есть ( п + 1) , 2 /2 ( п 2 ) вершин в треугольнике. Если n большое, это приближается к половине. Или каждая вершина внутри квадратной сетки соединяет четыре ребра (линии).

Система визуализации вызывает структуру полигонов, необходимую для создания сцены, из базы данных. Это передается в активную память и, наконец, в систему отображения (экран, телевизионные мониторы и т. Д.), Чтобы можно было просматривать сцену. Во время этого процесса система визуализации визуализирует многоугольники в правильной перспективе, готовые для передачи обработанных данных в систему отображения. Хотя многоугольники двухмерны, с помощью системного компьютера они помещаются в визуальную сцену в правильной трехмерной ориентации.

В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто необходимо определить, лежит ли данная точка P = ( x , y ) внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков линии. Это называется тестом точки в многоугольнике .

Как найти площадь многоугольника

Все, что имеет больше двух углов, является многоугольником, в том числе и треугольник. Рассмотрим, как найти площадь многоугольников.

1

Как найти площадь многоугольника – треугольник

  • S = 1/2×h×b, где h – высота, а b – сторона.
  • S = 1/2 a×b×sinα, где а и b – стороны треугольника, а sinα – синус угла между ними.
  • S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), где p – половина периметра, а, b, c – стороны. Если известны все стороны треугольника, то найти площадь можно именно по этой формуле.
  • S = r×p, где r – радиус вписанной окружности, а p – половина периметра. Если в треугольник вписана окружность, то для нахождения площади можно использовать эту формулу.
  • S = abc/4R, где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности. Если треугольник вписан в окружность, для нахождения площади треугольника можно использовать эту формулу.

Прямоугольный треугольник

  • S = 1/2×ab, где a и b – катеты прямоугольного треугольника.
  • S = d×e, где d и e отрезки гипотенузы, образованные при касании вписанной окружности об гипотенузу.
  • S = (p-a)×(p-b), где p – половина периметра, а и b – катеты.

Равнобедренный треугольник

  • S = 1/2×a²×sina, где а – бедро треугольника, sina же – угол между бедрами.
  • S = b²/4tgα/2, где b – основание треугольника, а tgα – угол между бедрами.

Равносторонний треугольник

  • S = √3×a²/4, где а – сторона треугольника (любая, так как в равностороннем треугольнике все стороны равны).
  • S = 3√3×R²/4, где R – радиус окружности, в которую вписан треугольник.
  • S = 3√3×r², где r – радиус окружности, которая вписана в треугольник.
  • S = h²/√3, где h – высота равностороннего треугольника.

2

Как найти площадь многоугольника – квадрат

  • S = a², а – сторона квадрата. Так как все стороны квадрата равны, достаточно умножить одну его сторону на другую.
  • S = d²/2, где d – диагональ квадрата.

3

Как найти площадь многоугольника – прямоугольник

  • S = a×b, где a и b – стороны прямоугольника. Так как противолежащие стороны в прямоугольнике равны, достаточно умножить одну его сторону (длину) на не противолежащую, перпендикулярную сторону (ширину).
  • S = a²+b²=c², где a – ширина, b – длина, а c – диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора. После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b. Пример: Ширина прямоугольника – 3см, диагональ – 5 см. Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5².  x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Ответ: S прямоугольника = 12см²

4

Как найти площадь многоугольника – трапеция

  • S = (a+b)×h/2, где a – маленькое, b – большое основание трапеции, h – высота.
  • S = h×m, где h – высота, m – средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований – 1/2×(a+b).
  • S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 – диагонали трапеции, а sinα – синус угла между ними.
  • S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b – основания трапеции, c и d – остальные две стороны.

S = 4r²/sinα, где r – радиус вписанной окружности, а sinα – синус угла между стороной и основанием.

5

Площадь правильного многоугольника

  • S = r×p = 1/2×r×n×a, где r – радиус вписанной окружности, p – половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
  • S = n×a²/4tg(360°/2n), где n – число сторон правильного многоугольника, а – длина стороны.Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет данный онлайн сервис. Просто вставьте нужное значение и получите ответ.

6

Площадь неправильного многоугольника

Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:

  • Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
  • Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
  • Складываем все значение, получаем какое-то число.

Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.

От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.

Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.

Первая полоса

Беременность

Как не набрать лишний вес во время беременности

Определение многоугольника

      Рассмотрим n отрезков

[A1 A2],   [A2 A3],   …   , [An An +1] (1)

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Рис. 1

      Определение 1. Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L, составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

L = [A1 A2] U [A2 A3] U   ……  U [An An +1]

      В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Рис. 2

      Определение 2. Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию (звенья), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Рис. 3

      Определение 3. Многоугольник называют n – угольником, если он имеет n сторон.

      Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником, многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

      Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

      Величину, равную половине периметра, называют полупериметром.

Доказательства свойств углов многоугольника

      Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

      Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Рис.3

      Углы ABD и BAC . По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

      Теорема 2. равен сумме двух внутренних углов треугольника, не с ним.

      Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Геометрическая фигура многоугольник

Рис.4

      Углы ABC и BCE . Углы BAC и ECD. Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

      Замечание. является следствием теоремы 2.

      Теорема 3. Сумма углов равна

      Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Рис.5

      Получим n треугольников:

OA1A2,  OA2A3,  …  OAnA1

      Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Сумма внешних углов , взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

      В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Геометрическая фигура многоугольникГеометрическая фигура многоугольникГеометрическая фигура многоугольник

      Теорема доказана.

Геометрическая фигура многоугольник

Свойства

Координаты

Пусть xC{\displaystyle x_{C}} и yC{\displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ{\displaystyle {\phi }_{0}} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

xi=xC+Rcos⁡(ϕ+2πin){\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}
yi=yC+Rsin⁡(ϕ+2πin){\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i=…n−1{\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры

Геометрическая фигура многоугольник
Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos⁡πn{\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}},

а длина стороны многоугольника равна

a=2Rsin⁡πn=2rtgπn{\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} и длиной стороны a{\displaystyle a} составляет:

S=n4 a2ctg⁡πn{\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n}, вписанного в окружность радиуса R{\displaystyle R}, составляет:

S=n2R2sin⁡2πn{\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n}, описанного вокруг окружности радиуса r{\displaystyle r}, составляет:

S=nr2tgπn{\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} равна

S=nra2{\displaystyle S={\frac {nra}{2}}},

где r{\displaystyle r} — расстояние от середины стороны до центра, a{\displaystyle a} — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (P{\displaystyle P}) и радиус вписанной окружности (r{\displaystyle r}) составляет:

S=12Pr{\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr}.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны an{\displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L{\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

an{\displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника.
an=sin⁡180n⋅Lπ{\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр Pn{\displaystyle P_{n}} равен

Pn=an⋅n{\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n{\displaystyle n} — число сторон многоугольника.

Свойства

Координаты

Пусть xC{\displaystyle x_{C}} и yC{\displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ{\displaystyle {\phi }_{0}} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

xi=xC+Rcos⁡(ϕ+2πin){\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}
yi=yC+Rsin⁡(ϕ+2πin){\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i=…n−1{\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры

Геометрическая фигура многоугольник
Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos⁡πn{\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}},

а длина стороны многоугольника равна

a=2Rsin⁡πn=2rtgπn{\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} и длиной стороны a{\displaystyle a} составляет:

S=n4 a2ctg⁡πn{\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n}, вписанного в окружность радиуса R{\displaystyle R}, составляет:

S=n2R2sin⁡2πn{\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n}, описанного вокруг окружности радиуса r{\displaystyle r}, составляет:

S=nr2tgπn{\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} равна

S=nra2{\displaystyle S={\frac {nra}{2}}},

где r{\displaystyle r} — расстояние от середины стороны до центра, a{\displaystyle a} — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (P{\displaystyle P}) и радиус вписанной окружности (r{\displaystyle r}) составляет:

S=12Pr{\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr}.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны an{\displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L{\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

an{\displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника.
an=sin⁡180n⋅Lπ{\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр Pn{\displaystyle P_{n}} равен

Pn=an⋅n{\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n{\displaystyle n} — число сторон многоугольника.

В природе

Дорога гигантов в Северной Ирландии

Многоугольники появляются в горных породах, чаще всего в виде плоских граней кристаллов , где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого сделан кристалл.

Правильные шестиугольники могут возникать, когда при охлаждении лавы образуются области плотно упакованных столбов базальта , которые можно увидеть на Дороге гигантов в Северной Ирландии или в Дьявольской столбе в Калифорнии .

В биологии поверхность восковых сот, созданных пчелами, представляет собой массив шестиугольников , а стороны и основание каждой соты также представляют собой многоугольники.