Многочлен

Коэффициенты членов многочлена

Пусть все члены многочлена являются одночленами стандартного вида. в этом случае называют коэффициентами членов многочлена. Часто можно слышать, что коэффициенты членов многочлена называют коэффициентами многочлена.

Приведем пример. Рассмотрим многочлен 2·x−0,5·x·y+3·x+7. Он состоит из четырех одночленов 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7, их коэффициенты равны 2, −0,5, 3 и 7 соответственно. Таким образом, 2, −0,5, 3 и 7 – это коэффициенты членов 2·x, −0,5·x·y, 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. — М.: Мнемозина, 2013. — 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / ; под ред. А. Б. Жижченко. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. — ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Умножение одночлена на многочлен

Напомним распределительный закон умножения:

Используя этот закон, можно производить умножение одночлена на многочлен.

Пример. Перемножьте выражения 5v2 и 9v3 + 2t4.

Решение: Запишем произведение выражений:

Многочлен

Такое раскрытие скобок можно объяснить с помощью «метода фонтанчика»:

Многочлен

От множителя 5v2 строят линии (синего цвета к) КАЖДОМУ слагаемому в скобке. Каждой такой линии соответствует отдельное произведение в получаемом полиноме.

После раскрытия скобок получили два произведения одночлена на одночлен, которые считаем по отдельности (см. урок 3):

Многочлен

Можно сформулировать следующее правило умножения многочлена на одночлен:

Многочлен

Ещё один пример. Перемножьте полином 2x2y + 4xy2 – 1 и моном – 3ху.

Решение:

Многочлен

Здесь метод «фонтанчика» будет выглядеть так:

Многочлен

Можно заметить, что после умножения монома на полином получится столько одночленов, сколько их было в исходном полиноме. Это правило можно использовать для самоконтроля.

Свойства

  • Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
  • Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
  • Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал

    Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

    может быть порождён одним элементом.

Делимость

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов pq{\displaystyle pq} делится на неприводимый многочлен λ{\displaystyle \lambda }, то p или q делится на λ{\displaystyle \lambda }. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4−2{\displaystyle x^{4}-2}, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x{\displaystyle x} разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать.
Над любым полем для любого n>2{\displaystyle n>2} существуют многочлены от n{\displaystyle n} переменных, неприводимые в любом расширении этого поля.
Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Многочлен и его стандартный вид

Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.

Выражение 5a2b – 3ab – 4а3 + 7 представляет собой сумму одночленов 5a2b, –5ab, –4а3 и 7. Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х3у – 4х2 + 9 являются одночлены х3у, –4х2 и 9.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).

Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.

Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х2у – х3 + 7у при х = –0,2, у = –1.Имеем:–0,3х2у – х3+7у = –0,3 • (–0,2)2 • (–1) – (–0,2)3 + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.

Стандартный вид многочлена

В многочлене 13х2у + 4 + 8ху – 6х2у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.

Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.

 Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х2у + 4 + 8ху – 6х2у — 9. Имеем: 13х2у + 4 + 8ху – 6х2у – 9 = (13х2у – 6х2у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х2у + 8ху – 5 = 7х2у + 8ху – 5.

В многочлене 7х2у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.

Рассмотрим многочлен стандартного вида За3 – 5а3b2 + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.

 Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

 Пример 3. Определим степень многочлена а6 + 2а2b – а6 + 1. Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а6 + 2а2b – а6 + 1 = 2a2b + 1. Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.

Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.

Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: ахn + а1хn-1 + а2хn-2 + … + аn-2х2 + аn-1х + аn, где х — переменная, а, a1 а2, …, аn-1, аn — произвольные числа, n ∈ N или n = 0. Коэффициент при хn называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это аn). Например, старший коэффициент многочлена х4 + 2х3– х2 + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.

Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.

Многочлен

Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту: 
  • Вернуться к списку конспектов по Математике.
  • Проверить знания по Математике.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на , находящихся в его составе.

Определение.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x3−4 равна 3, так как входящие в его состав одночлены 5·x3 и −4 имеют степени 3 и соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3, оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x2·y3−5·x4·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5, 4+1=5 и 1, то есть, 5.

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Определение.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите степень многочлена 3·a12−2·a·b·c·a·c·b+y2·z2−2·a12−a12.

Решение.

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:3·a12−2·a·b·c·a·c·b+y2·z2−2·a12−a12=
=(3·a12−2·a12−a12)−2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y2·z2=
=−2·a2·b2·c2+y2·z2.

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a2·b2·c2 и y2·z2. Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4. Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6, она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a2·b2·c2+y2·z2, а значит, и степенью исходного многочлена.

Ответ:

6.

Примеры

Пример 1. Приведите одночлен $2а^2\cdot (-3)^2b^3\cdot а\cdot а(-2)b$ к стандартному виду, назовите его коэффициент и степень.

Решение:

$2а^2\cdot (-3)^2b^3\cdot а\cdot а(-2)b = 2\cdot 9\cdot (-2)а^2\cdot а\cdot b^3\cdot b = -36a^3b^4$. Коэффициент данного одночлена равен (-36), а его степень равна 4.

-36a3b4; — 36; 4.

Пример 2. Упростите выражение $2х(х-3)^2 — (х-1)(2х^2+2)$.

Решение:

$2х(х-3)^2 — (х-1)(2х^2+2) = 2х(х^2-6х+9) — (2х^3+2х-2х^2-2) =$

$= 2х^3-12х^2+18x-2x^3+2x^2-2х+2 = 16x + 2 — 10x^2 = -10x^2+16x+2$

-10×2+16x+2.

Пример 3. Разложите на множители многочлен $x^3 — 8y^2 + 2х^2у + 4ху^2 + 8у — 5x$.

Решение:

$x^3 — 8y^2 + 2х^2у + 4ху^2 + 8у — 5x =$

$= (х — 2у)(х^2 + 2ху + 4) + 2у(х^2 + 2ху + 4) — 5x =$

$= (х — 2у + 2у)(х^2 + 2ху + 4) — 5х =$

$= х(х^2 + 2ху + 4 — 5) =$

$= х(х^2 + 2ху — 1)$

х(х2 + 2ху — 1).

Пример 4. Упростите выражение $(2-c)^2-c(c+4)$ , найдите его значение при c = 0,5.

Видео-решение:

Изучение и применение

Графики многочленов Бернулли

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Умножение многочлена на многочлен

Пусть нам надо перемножить два полинома, a+bи c+d. Запишем их произведение:

Заменим выражение a + b переменной k:

Теперь исходное произведение можно выразить как произведение монома и полинома:

Многочлен

Проведем обратное преобразование, заменив k на a + b:

Многочлен

Наконец, раскроем скобки в этом выражении:

Многочлен

Эту формулу можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и c + d:

Многочлен

Площадь этого прямоугольника, как и любого другого, равна произведению его сторон, то есть(a + b)(c + d).С другой стороны, она состоит из 4 прямоугольников, чьи площади также вычисляются как произведения их сторон, и составляют ac, bc, ad и bd. Поэтому можно записать равенство

Многочлен

Получается, что для умножения многочлена на многочлен нужно перемножать попарно все мономы, входящие в их состав, после чего сложить их.

Многочлен

Если в одном полиноме содержится m слагаемых, а в другом n, то результатом их перемножения окажется новый полином, содержащий m•n мономов (до приведения подобных слагаемых). Для перемножения многочленов также используется метод «фонтанчика».

Пример. Найдем произведение выражений 3a2 – 4ab + b2и 2a– b.

Решение: В первом полиноме содержится 3 монома, а во втором – 2, поэтому после их перемножения мы получим сумму 3•2 = 6 одночленов:

Многочлен

Раскрытие скобок «фонтанчиком» будет выглядеть так:

Многочлен

В результате действительно получилась сумма 6 мономов. Осталось вычислить каждый из них, после чего привести подобные слагаемые:

Многочлен

Заметим, что при перемножении полиномов происходит сложение степеней многочленов. Действительно, в рассмотренном выше примере мы умножили полином второй степени 3a2 – 4ab + b2 на полином первой степени 2a– b, и получили в результате многочлен 3-ей (2+1) степени.

Также возможно умножение многочленов в столбик. Особенно это удобно делать в случае с полиномами с одной переменной.

Пример. Найдите произведение выражений 2×3 + 3×2 +5x + 9 и x2 + 4x + 7.

Решение: Запишем полиномы в столбик, один под другим:

Многочлен

Далее умножим самый правый моном второго многочлена, то есть число 7, на первый полином, и запишем его ниже:

Многочлен

Далее умножим следующий моном, 4х, на первый полином, и запишем результат ещё ниже, причем сместим запись чуть влево, чтобы подобные члены оказались друг под другом:

Многочлен

Также умножим последний одночлен, x2, на первый полином:

Многочлен

Осталось сложить подобные слагаемые (то есть переменные х с одинаковыми степенями), которые записаны друг под другом:

Многочлен

Ещё раз цветом выделим подобные слагаемые и результаты их суммирования:

Многочлен

Ответ: 2х5 + 11х4 + 31х3 + 50х2 + 71х +63.

Бином Ньютона

Знаменитыми полиномами являются полиномы Ньютона, выведенные ученым для нахождения коэффициентов выражения (х+у)n.

Достаточно посмотреть на несколько первых степеней разложения бинома, чтобы убедиться в нетривиальности формулы:

Для каждого коэффициента существует выражение, позволяющее его вычислить. Однако запоминать громоздкие формулы и каждый раз производить необходимые арифметические операции было бы крайне неудобно для тех математиков, которым часто требуются подобные разложения. Им значительно облегчил жизнь треугольник Паскаля.

Фигура строится по следующему принципу. В вершине треугольника пишется 1, а в каждой следующей строке становится на одну цифру больше, по краям ставят 1, а середина строчки заполняется суммами двух соседних чисел из предыдущей.

При взгляде на иллюстрацию все становится понятно.

Многочлен

Разумеется, приведенными примерами, наиболее широко известными, применение многочленов в математике не ограничивается.

Многочлены, или полиномы

Определение. Множество элементов называется полем, если для этих элементов определены действия: сложение и умножение и выполняются свойства

относительно сложения:

1) коммутативность ;2) ассоциативность ;3) существование нуля: ;4) существование противоположного элемента: ;

относительно умножения:

5) коммутативность ;

6) ассоциативность ;7) существование единицы ;8 ) для любого ненулевого элемента существование обратного .

относительно сложения и умножения:

9) дистрибутивность (распределительный закон) ;10) в поле должно существовать хотя бы два элемента .

Определение. Множество элементов называется кольцом, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения, и выполняются свойства:\\

относительно сложения:

1) коммутативность ;2) ассоциативность ;3) существование нуля: ;4) существование противоположного элемента: ;
относительно сложения и умножения:

5) дистрибутивность (распределительный закон) — правосторонний распределительный закон.

5′) дистрибутивность (распределительный закон) — левосторонний распределительный закон.

Поскольку коммутативности умножения не требуется, то распределительных закона два.

Кольцо называется коммутативным, если есть коммутативность умножения, ассоциативным, если ассоциативность, унитарным (или кольцом с единицей), если в нем есть .

Определение. Многочленом (полиномом) называется выражение вида

где — элементы некоторого поля , — буква, — коэффициенты полинома, — старший коэффициент.

Если , то число называется степенью многочлена. Степень нулевого многочлена не будем считать равной какому-либо конкретному числу, но будем считать, что она меньше степени любого ненулевого многочлена.

Обозначение. — степень многочлена .

Условимся считать, что многочлен не меняется, если приписать к нему слагаемое .

Пусть и — многочлены над одним и тем же полем, пусть

Будем говорить, что , если и .

Пример (метод неопределенных коэффициентов). Требуется найти значения такие, чтобы выполнялось равенство

Отсюда .

Можно определить обычным образом сумму, разность, произведение многочленов и доказать, что при этом выполняются обычные законы действий.

Свойства степени многочлена

1) ,2) .

Задачи.

1) Найдите все значения параметров и такие, что многочлены и равны, если

2) Найдите все значения параметров такие, что при всех выполняется равенство

3) Найдите все значения параметров и такие, что многочлен является кубом двучлена .

4) Найдите многочлен третьей степени со старшим коэффициентом единицей и такой, что .

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5, , −1, x, 5·a·b3, x2·0,6·x·(−2)·y12, и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x, a2+b2 и — это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x4−2·x·y+3−y3 состоит из четырех членов: 3·x4, −2·x·y, 3 и −y3. Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x3·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b, где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x2+b·x+c, где a, b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1, x·7,2−4, а вот примеры квадратных трехчленов: x2+3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые. Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3, а также 5·x и 2·x. Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3, как и пара 5·x и 2·x, являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов.

admin
Оцените автора
( Пока оценок нет )
Добавить комментарий