Медиана (статистика)

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

Окружность девяти точек

  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией

    Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

    . Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.

  • Теркем доказал теорему Теркема. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (т. е. 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Неуникальность значения

Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1, 3, 5, 7} медианой может служить любое число из интервала (3,5)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений (в примере выше это число (3+5)/2=4). Для выборок с чётным числом элементов можно также ввести понятие «нижней медианы» (элемент с номером n/2 в упорядоченном ряду из n{\displaystyle n} элементов; в примере выше это число 3) и «верхней медианы» (элемент с номером (n+2)/2; в примере выше это число 5). Эти понятия определены не только для числовых данных, но и для любой порядковой шкалы.

Связанные определения

Три медианы, проходящие через общую точку

На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 медианы: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 медиан разбивает каждую медиану на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем домедианой или предмедианой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем постмедианой.
С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии. Например, в любом треугольнике отношение пред- и постмедианы равно двум.

Основные соотношения

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

ma=2b2+2c2−a24,{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}
mb=2a2+2c2−b24,{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}
mc=2a2+2b2−c24,{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}
где ma, mb, mc{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}} — медианы к сторонам треугольника a, b, c{\displaystyle a,\ b,\ c} соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a=23−ma2+2mb2+2mc2=2(b2+c2)−4ma2=b22−c2+2mb2=c22−b2+2mc2,{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}
b=23−mb2+2ma2+2mc2=2(a2+c2)−4mb2=a22−c2+2ma2=c22−a2+2mc2,{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}
c=23−mc2+2mb2+2ma2=2(b2+a2)−4mc2=b22−a2+2mb2=a22−b2+2ma2,{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}
где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.

Площадь S{\displaystyle S} любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}
где σ=(ma+mb+mc)2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.